问题探究与数学学科核心素养的培养

马佑军

(重庆市巴蜀中学校 400013)

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力．数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的．

问题探究是中学数学教学过程的重要环节，通过对问题的探究，不仅可以逐步提升学生的“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)水平，引导学生自觉养成用数学的眼光发现和提出问题、用数学的思维分析和解决问题、用数学的语言表达和交流问题的习惯，更有助于数学学科核心素养的培养．

问题探究，可以从多层面去体现．一是同一问题的不同角度、不同方法，如本文的问题探究1；二是逐步深入，求得更精确的结果，如本文的问题探究2；三是推广，获得更一般的结论，如本文的问题探究3．

1 对问题进行多角度探究，可以培养学生有效提取信息和数据处理能力，在思路的探索中选择更合理的推理模式，不断进行自我反思和建构，数学学科核心素养在潜移默化中得以培养

问题探究的价值在于：体现课程的基础性、选择性和发展性，促进学生数学学科核心素养的形成和发展．

问题探究1

设△ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为R和r,求证：R≥2r(Euler,欧拉不等式)．

为了叙述的方便，设△ABC中的角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积和半周长分别为S和p.

探究方向(1)

=rR(sinA+sinB+sinC)，

当△ABC是锐角三角形时(如左图)：

S=S△AOC+S△BOC+S△AOB

当△ABC是直角三角形时：上述三角形之一蜕化为直线，上式依然成立；

当△ABC是钝角三角形时(如右图):

S△ABC=S△AOB+S△BOC-S△AOC

所以S△ABC等于圆心三角形面积的代数和.

⟹(sin 2A+sin 2B+sin 2C)R2

=2S=2rR(sinA+sinB+sinC),

又sin 2A+sin 2B+sin 2C

=sin (B+C)cos (B-C)+sin (C+A)·

cos (C-A)+sin (A+B)cos (A-B)

=sinAcos (B-C)+sinBcos (C-A)+

sinCcos (A-B)≤sinA+sinB+sinC;

所以R≥2r.

探究方向(2)

又根据“琴生不等式”得

由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)

探究方向(3)

⟹pr2=(p-a)(p-b)(p-c)

探究方向(4)

探究方向(5)

其中x,y,z>0,

因此R≥2r⟺

(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz，

由二元平均值不等式即得．

2 对问题进行深化探究，可以增强学生的学习积极性和主动性，激发学生更强的内在学习动力，让学生体验探究活动带来的愉悦感和成就感，可使数学学科核心素养在持续的探索中得以升华

问题探究2

探究方向(1)

逻辑推理，就是能够对与学过的知识有关的数学命题，通过对其条件与结论的分析，探索论证的思路，选择合适的论证方法予以证明，并能用准确的数学语言表述论证过程．

⟹lnan=(lnan-lnan-1)+(lnan-1-lnan-2)+…

+(lna2-lna1)+lna1(n≥2)

探究方向(2)

数学运算，就是一种演绎推理，能够在关联的情景中确定运算对象，选择合理的运算方法、设计可靠的运算程序，通过进一步探究，新的发现由此诞生．

易求得a2=2,同探究(1)知an+1>an(n∈N*)，在探究过程中我们可以发现：本题的条件x>ln(x+1)(x∈R+)，不是必需的，而且可以探究出比原问题更强的结论．

当n≥2时，

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+

(a3-a2)+a2,

故an<5(n∈N*)．

探究方向(3)

能够在综合的情境中 ，通过不断地探究、归纳和类比，用数学的眼光去发现更有价值的探索路线，从而找到问题探究新的突破口．

探究方向(4)

在不断的探索中发现新的方法，挖掘问题更加美妙的结果，充分揭示问题探究历程中无限美好的心境，这是数学学科核心素养更有价值的展现．

故bn

3 对问题探究的拓展思维，可以有效培养学生自主学习的能力，不失时机地培养学生的创造力和数学迁移能力，促进优秀学生数学学科核心素养的发展，提高学生数学鉴赏能力，提升学生数学的品位

问题探究3

已知xi∈(0,1)(i=1,2,…,n,n∈N，n≥2),且x1+x2+…+xn=1.求证：

高中生的知识储备达到了一定的程度，数学活动经验也有一定的积累，这些都为学生的逻辑推理素养的培养创造了有利条件．根据教学的实际情况，以问题探究的形式为载体，采取恰当措施促进学生逻辑推理素养得到有效的提升．

充分发挥不同推理形式在数学探究过程中的不同作用，注重它们之间的功能互补．引导学生通过观察、实验、比较、分析、抽象概括、推理证明等多种活动，在相互之间的交流中，对探究对象所蕴含的数学本质、规律进行思考，为做出更为科学的判断提供可靠的保证，数学学科核心素养在不断的探究中得以优化．

探究方向(1)

以简驭繁，直达结论．

从而原不等式的证．

探究方向(2)

瞄准目标，殊途同归．

探究方向(3)

条件不变，可以发现：

若m∈N,m≥2,有

探究方向(4)

改变条件，探索发现：

问题探究与数学学科核心素养的培养是不可分割的有机整体．数学教育的可持续性发展提醒我们始终秉持这样的理念：教育面对的是充满好奇、充满活力、情感丰富的群体，不得不承认学生个性差异的客观现实，依据数学特有的逻辑顺序和形式结构，依据高中数学课程理念，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，让数学教育能最大限度地满足每一个学生(包括数学资优生)的数学需求，最大限度地开启每一个学生的智慧潜能，为每一个学生提供多样化的弹性发展空间．在未来的学习与生活中，学生的数学素养才能得以充分的展示．