近五年高考概率与统计试题的统计与分析——以全国Ⅰ卷(理科)为例①

廖艺捷 朱展霖 胡典顺

(华中师范大学数学与统计学学院 430079)

1 问题提出

概率与统计是《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下简称“2017年课标”)中的主题之一，其蕴含着抽样思想、统计推断思想、随机思想[1]、小概率思想以及误差控制思想等，是考核学生数学核心素养的重要媒介．这类问题与现实生活之间的联系较为紧密，解决相关问题需要经历问题情境的数学化、模型的建构、数据分析、数学运算、还原为现实问题的解等步骤，是学生数学建模能力的重要体现；另一方面，统计试题中有时会出现大量的数据，需要依据题目要求对数据进行合理的筛选和处理，对于学生的数据分析、数学运算能力要求较高．

近几年的概率与统计试题形式多变，颇具创新性，使得不少一线教师难以把握高考复习的方向．鉴于全国Ⅰ卷使用地区较多，具有较强的代表性，因此本文以全国Ⅰ卷(理科)为例对其概率与统计命题特点进行分析，有利于清楚地把握高考的考核方向，以更好地辅教导学，同时也可以为其他内容领域的高考命题研究提供参考．

2 研究框架

本文采用定性和定量研究相结合的研究方法，从情境领域、知识点、数学思想方法、综合难度四个维度对试题进行统计和分析，以便于进一步得到概率与统计试题的命题特点．在统计编码过程中，作者经过和相关专家进行多次讨论后确定统计结果，以确保统计数据的准确性．

2.1 情境领域

概率与统计试题相较于其余内容领域的试题而言具有鲜明的情境性，要求学生能够从复杂的问题情境中抽象出数学问题，并建立数学模型进行解决，最终将数学问题的解还原为现实问题的解释或决策．本文依据2017年课标中对于情境的维度划分(科学情境、数学情境、现实情境)[2]进行问题情境的统计和分析．

2.2 知识点

对于考查知识点的梳理有利于把握核心知识点，明确考试重难点.由于2020年没有单独编写高考考试大纲，而是继续沿用2019年的高考考试大纲，且仅在此基础上作部分修订：提出增加基础性、综合性、应用性、创新性的能力要求；增加数学文化内容；但考试大纲未对具体考点进行修订[3]．为便于统计，本文在参考2019年高考考试大纲的基础上，对概率与统计部分的考点(共8个一级考点，22个二级考点)进行编码，具体内容如表1所示：

表1 2019年高考考试大纲概率与统计部分考点编码

续表

用字母表示一级考点，数字表示二级考点.例如A1表示简单随机抽样，B3表示用样本的数据特征估计总体.部分题目除了以上涉及的主要知识点外还融合了其余内容领域的知识点，但由于数量较少，因此未对其进行单独的编码，而是直接在后续具体分析的表格中列出．

2.3 数学核心素养

数学核心素养是具有数学基本特征的思想品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现[4].在高考逐渐从“知识立意、能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”转变的总体趋势下[5]，数学核心素养越来越展现出其在人才培育方面的重要价值.相较于其余知识领域而言，概率与统计所蕴含的数学核心素养更为丰富，且存在一些细节上的差异，例如传统内容主要是在定义、假设基础上的演绎推理，概率与统计内容是在个体的基础上进行的归纳推理[6]，本文依据2017年课标中对于核心素养的维度划分(数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析)[2]进行试题的统计和分析．

2.4 综合难度

试题难度也是试题的重要特点之一．对于试题难度的分析，较多学者采用鲍建生综合难度模型，该模型涵盖“探究”“背景”“运算”“推理”“知识含量”五个难度影响因素[7]；武小鹏指出，在标准化测试中该模型的应用效果存在欠缺，因此他在鲍建生综合难度模型基础上进行了改进，增加了“是否含参”和“思维方向”两个维度．鉴于对综合评价模型维度的全面性和合理性的考虑，本文采用武小鹏构建的综合难度模型进行试题难度评估，具体等级划分见表2[8]．

表2 难度因素等级划分

3 特点分析

考虑到非解答题(包括选择题和填空题)与解答题在考查重点及考查方式上通常存在一定的差异，故本文分非解答题和解答题两类进行2016-2020高考数学全国Ⅰ卷(理科)的概率与统计试题命题特点分析．

3.1 非解答题命题特点分析

依据本文第二部分构建的研究框架，对2016—2020高考数学全国Ⅰ卷(理科)非解答题部分的概率与统计试题进行统计，具体内容如表3.

表3 2016—2020年全国Ⅰ卷(理科)概率与统计试题非解答题统计

由上表可知，近五年概率与统计非解答试题的问题情境以现实情境为主，数学情境和科学情境较少．这充分体现出概率与统计研究与现实应用的紧密关系，尤其在当今数据化时代背景下概率与统计理论与应用研究凸显出巨大价值．为了体现概率与统计在人类文明的发展中所具有的重要作用，近五年高考数学全国Ⅰ卷(理科)将概率与统计命题与人文艺术、社会发展、科技创新等多个领域相互渗透，展现出概率与统计领域所独具的理性之美．例如2018年第3题充分彰显了数据统计和分析对于明确新农村建设成果在各个领域的变化趋势研究中的重要价值，在帮助学生感受数学之美时，更弘扬了一种应用数学知识解决实际问题从而服务社会的责任和担当意识；2019年第6题将文理相互交融，既展现了中华民族传统文化之魅力，又凸显了深度思考之理性，是数学高考改革趋于文理不分科的初步实践．

从知识点统计维度来看，概率与统计非解答题通常只考查1—2个知识点，且考查水平以理解和简单应用为主，部分题目中还融入了函数、几何等知识点．在近五年间呈现出明显的变化趋势，2016—2018年全国Ⅰ卷(理科)选择题均考查了几何概型这一知识点，而该知识点在近两年均未考查，更加偏向于对数据分析、数学抽象等能力的考查，这一定程度上反映了高考目标逐渐从知识的考查转向能力的考查的变化趋势．

就非解答题中数学核心素养的融入而言，从以上统计结果可以看出近五年数学全国Ⅰ卷(理科)中的概率与统计领域命题涉及对学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的考查．尤其在2020年的命题设计中，数据分析这一能力素养的考核在概率与统计题目中得到了落实，这在一定程度上体现出高考数学命题顺应时代特征的趋势．例如在2020年全国I卷第5题以温度与发芽率关系这一科学背景作为问题情境，考查了学生对现实问题进行数学抽象从而进行模型构建的能力，并在问题解决的过程中让学生感受到了回归方程在实际生活中的价值.

为研究近五年的题目难度变化特征，对同一年出现多道非解答题的难度进行平均，并绘制折线图如图1，其中参考线为五年试题的平均难度0.57，由图可见除2018年、2020年难度略有提升，其余各年难度呈现下降趋势，且均位于五年平均水平之下.难度系数的偏度值为1.279，故数据呈现明显的右偏态，表明概率与统计非解答题的难度偏低，即试题中概率与统计以基础题为主．其中2018年第10题难度系数最高，达到0.70．仔细分析其各个难度因素可知，其问题情境为数学情境，不需要学生对现实情境进行抽象，但需要学生仔细分析各个图形之间的面积关系，设出直角三角形三边长度并表示出各个部分的面积，进一步基于面积关系得到概率关系．其难点主要在于运算过程中含有参数，故对数学运算的水平要求较高．单独从概率与统计的维度来看，几何概型在解题中所占的比重并不高，其考查水平也相对较为基础．

图1 非解答题难度趋势

3.2 解答题命题特点分析

依据第二部分构建的研究框架对2016—2020高考数学全国Ⅰ卷(理科)解答题部分的概率与统计试题进行统计，具体内容如表4.

表4 2016—2020年全国Ⅰ卷(理科)概率与统计试题解答题统计

续表

在解答题部分，问题情境以现实情境为主，含有少量的科学情境．从对具体题目的相关统计分析可以看出，近五年非解答题的问题情境设计逐渐贴近学生日常生活，充分顺应了学生的心理认知发展规律．例如从产品的包装和加工生产到研制药实验，再到羽毛球赛制，数学问题解决与社会、经济、科技等各方面的发展充分融合，有助于学生理解题目中的信息，并有利于促进其将更多的注意力集中在问题解决上．另一方面，基于学生已有认知水平的问题情境设计也可帮助学生切实感受到概率与统计相关知识在生活中的应用价值，从而提升数学学习兴趣并认识到数学学习对未来发展的重要意义．

相较于非解答题而言，解答题所考查的知识点更多，通常涵盖3—5个知识点，水平多为应用和分析，在部分试题中融入了函数中的部分知识点．从表4的统计数据可以看出，其中的高频考点为D3、G2、B3，但在近两年的试题中所考查的知识点不尽相同，知识点数量也相对减少，且近两年的命题设计中考查的知识点更加隐蔽，即未告知求解问题的方向，而更加偏向在复杂情境中考查学生的数学建模能力．

就解答题在问题解决过程中所需的数学核心素养来看，每一个问题的解决过程中都涉及了多种核心素养的综合运用，且命题中对应素养的考查水平均在2—3等级之间，几乎所有的题目都需要将现实问题抽象为数学问题，并在此基础上对数据或者其他已知条件进行建模，再通过一定的逻辑推理对问题进行转化．例如用样本数据估计总体数据，用先验概率推知事件发生概率等．以2020年第19题为例，以学生日常生活中非常熟悉的羽毛球比赛情境作为问题背景，要求学生将其中的关键信息用数学语言予以表征，讨论事件可能出现的情形，对数学抽象、逻辑推理和数学建模素养要求较高.

为检验解答题与非解答题难度上是否有显著性差异，进行独立样本t检验可得，概率与统计解答题难度显著高于非解答题(P=0.000<0.05)，非解答题的平均难度为0.79，其中2019年第21题难度最高，为0.89．为研究近五年的解答题的难度变化趋势，进一步作出折线图如图2所示，由图可见除2018、2020年难度略有下降外，题目难度总体呈现上升趋势，这表明在解答题部分对概率与统计要求上升．仔细分析解答题的各个难度因素，可分析出其难度较高的原因主要有以下几个方面：

图2 解答题难度趋势

①存在逆向思维．由于在列举事件可能发生的情况时极容易存在遗漏或重复，因此正难则反这一解题策略在概率与统计这一知识领域中显得尤为的重要．例如2020年第19题第二问中，直接讨论进行五场比赛的概率相对较复杂，就需要从事件的反面来考虑，即只需赛四场的情况；2017年第19题第一问若直接计算16个零件中尺寸在规定区间外的个数大于等于1的概率，则需要对零件的故障个数进行分类讨论，而若从反面则直接利用独立事件的概率计算公式即可解决.

②含有参数．在近五年的解答题中有四道题均含有参数，一类参数来源于分布中的参数估计值，另一类则是题目中设置的参数．第一类如2017年第19题，其中含有正态分布的均值方差等参数，虽然参数对于解题的影响不大，但一定程度上会增加学生对于题目的恐惧心理；第二类如2019年第21题，由于第一问中未给出两种药治愈率的具体数值而需要进行一定的符号运算，第二问虽然直接给出两种药的治愈率数据，可代值计算出a,b的值，但又出现了新的参数pi，而导致其推理过程变得较为复杂.

③综合性较高．既表现在涵盖知识点的丰富性，又表现在与函数、数列等跨章节或医学、工程学、物理的跨学科的知识上的交互性．在各章节的学习中常常集中于某一知识点，有助于知识点的深度理解，但是实际的问题解决却比教学中的出现的问题复杂得多，往往不是某一个知识点就能够解决的，而是需要综合多个知识进行分析．因此这种综合性的提升是解决现实问题的必然要求，也可为学生更好地融入和适应社会提供帮助．

4 教学建议

(1)丰富情境设计，拓展学生认知广度

概率与统计的内容及思想推动着人类文明的发展进程，其应用是无处不在的．这为在教学中需创设合适的问题情境提供了极大的便利——既可以在所处的时代中挖掘具有时代特色的素材，也可以从历史中挖掘具有人文气息的素材；既可以是来源于数学的问题，也可以是来源于其余学科领域的问题；既可以以中国的传统文化为背景，又可以以全球多元文化为背景．从不同的问题情境出发，帮助学生感受到概率与统计的独特魅力，体会其蕴含的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值[2]．但情境设计的丰富性并不是无限制的，也需要结合学生的认知能力和认知方式选取一些学生熟悉的或感兴趣的生活材料，在学生的最近发展区进行适当地延伸和拓展．

情境的真实性也是情境创设是否合理的重要判断依据，真实的问题情境有助于学生数学抽象、数学建模素养的发展，由于概率与统计相关知识不同于其余内容领域的知识，其灵活性较大，数据分析的维度和模式并不是固定的，因此教师也可以适当地给予学生一些机会根据情境提出相关问题并进行解决，并鼓励学生比较和分析不同解决方式的优劣．

(2)整体把握知识，构建完整认知图式

知识本身具有多维性，如果仅将目光局限于高中教材的某一章节则会导致知识失去其本来的色彩．F.克莱因认为优秀的中学数学教师应当站在更高的视角去审视和理解初等问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单[9]．高中阶段概率与统计中的部分概念并未给出准确的定义，例如将概率中的样本点与统计中的样本混为一谈，但结合概率论相关知识即可知两者在本质上存在一定的区别，而理解清楚这一概念是理清概率与统计之间关系的重要一步；其次，高观点也为解释一些高中阶段的问题提供了一些途径，例如2019年的第21题如果将其过程理解为带吸收壁的随机游动问题，则其解决过程会更加直观易懂．

此外，随着高考改革的逐渐推进，对于学生的综合应用能力的要求会越来越高，这就要求教师要在教学内容中适当地融入一些其他知识领域的内容，并启发学生关注到不同知识的这种关联性，构建完整的认知图式，以促进对于知识的全面认识和把握．

(3)打破思维定势，渗透数学思想方法

一方面，由于概率与统计试题相较于其余内容领域的题目而言阅读量和信息量偏大，因此学生可能遗漏一些关键信息或者理不清楚题目意思，为帮助学生理解题意寻求问题解决方法，教师可在相关教学中引导学生对问题进行不同维度表征，例如将题干中的数据或文字用一定的图表来加以呈现，从顺向和逆向进行思考等，打破学生的固有思维，以培养学生的发散性思维．

另一方面，由于课时的限制，高中阶段的教材中概率与统计部分以案例为主，导致许多学生只能机械地模仿进行解题，而并不理解为什么要这样建立模型或者分析数据，从而导致在命题不再按照固定的模式出现时学生无从下手．为改变这一现状，教师可在教学中给予学生更多的思维空间，让学生经历包括数据收集、数据处理、数据分析等问题解决的全过程，并在这些过程中逐渐拓展学生的思维广度和深度．尤其注重渗透概率与统计内容中所特有的一些数学思想方法，例如随机思想与学生一直以来所学习的确定性思想在很大程度上存在差异，尤其在当今时代背景下，这一思想对学生适应社会发展具有重要影响．因此教师应在相关问题中渗透这一思想并重视评估学生在解决现实问题的过程中是否进行了准确表达或推理．

(4)重视知识本质，挖掘数学教育价值

数学高考命题不仅是为了考查学生数学知识技能的掌握程度，更重要的价值在于能够引导学生在数学知识的学习过程中深入体会其中蕴含的数学思想方法及其本质内涵，并为学生树立正确的数学学习观和人生价值观指明方向．尤其在当今大数据迅速发展的时代背景下，基本的知识和技能传授已经不能满足培养社会未来优秀人才的需要．而只有从“授人以鱼”向“授人以渔”的方向转变，从强调解题技巧过渡到在解决数学问题的过程中启发学生领悟其中蕴含的智慧源泉，才能真正让学生的数学核心素养发展得以落地生根．

概率与统计作为学生适应大数据时代的必备知识，同时也是数据分析、数学建模素养的重要载体，为了确保所有的学生都能树立一定的概率意识，科学地看待事件的发生情况以及事物之间的变化，教师应在相关教学中要重视对于核心概念、方法的本质揭示，引导学生认识到知识所蕴含的思想内涵．在命制相关试题时，逐渐从简单情境到复杂情境，从单一知识到综合应用，从正向思维到逆向思维进行过渡，循序渐进地提升学生相关知识的应用能力．