浸润数学文化 发展核心素养

刘星滟 曹军才

[摘  要] 培养学生数学核心素养是数学课堂的重要目标，在课程标准的指导下渗透在每一节课堂中. 通过长期循序渐进地学习有助于提高学生的核心竞争力，顺应素质教育的发展方向. 文章以“随机事件的概率（第一课时）”教学为例，阐述了如何在实践中创新方法，优化教学设计，提升课堂教学效率，有效地落实数据处理、数学抽象等数学核心素养的培养目标.

[关键词] 核心素养;课堂数学;随机事件的概率

[⇩] 指向数学核心素养的教学内容分析[1]

“随机事件的概率”是《人教A版普通高中课程标准实验教科书·数学（必修3）》3.1.1节第一课时的内容. 本课时前承统计内容，后启古典概型、几何概型，同时为大学继续学习“概率论”打下基础. 其主要内容是事件的分类、概率的意义、概率的统计定义及统计算法.

学生在初中已对概率有了一定的感性认识，以人教版（2014年3月版）为例，在七年级下册、八年级下册安排了统计内容，在九年级上册安排了概率初步：首先介绍了随机事件和概率的有关概念，然后用列举法求简单随机事件（古典概型）的概率，最后从统计试验结果的频率的角度研究概率问题，通过投掷硬币试验加深对概率意义的理解.

我们不仅要思考，高中教材编排的意图是什么？为何要再次进行投掷硬币试验？

初中阶段的概率处在比较初级的水平，重点是对概率意义的理解和随机观念的培养. 学生在已知概率为0.5（古典概型比值法）的前提下进行投掷硬币试验，是为了突出用频率估计概率的合理性及必要性，观察频率的规律性.

相对于初中教材内容，高中教材重在让学生获得一种估计概率的方法;重在进一步运用统计思想，培养其数据分析的核心素养;重在试验探索规律的过程，培养试验、观察、归纳、总结等技能，渗透“特殊到一般”的数学思想，培养概念抽象的核心素养.

[⇩] 围绕核心素养的教学设计思路

基于学生已有的统计知识、对生活常见概率现象的感性认识，以及在物理、生物学科中积累的挖掘隐藏数据的经验，本节课采用“问题驱动式”的教学模式，以“问题串”来联络各个教学节点，以活动探究来推进各个认知要点. 通过“环节一：创设情境”“环节二：投掷硬币”等六个环节，以达成“感知概念—生成概念—应用概念”的目的，如图1.

在学习中培养数据处理、数学抽象等核心素养，增强学生自主探究知識的兴趣.

[⇩] 聚焦数学核心素养的教学目标

（1）教学目标：①通过生活实例，感受随机事件的普遍性与规律性;②通过投掷硬币试验，抽象、生成概率的统计定义;③通过实例，运用概率，诠释和理解生活中的现象;④通过概念认知，提高数据分析、处理等能力.

（2）教学的重点和难点：理解概率的定义，理解概率和频率的关系.

[⇩] 发展核心素养的教学过程

1. 创设情境，做好铺垫

教学过程设计：

【情境问题】事件A：（天气预报）明天早上7点本地降雨. 降雨可能性是7%，你会带雨伞吗？（再问“降雨可能性是70%”）事件B：有两位同学都想看同一本书，通过投掷硬币来决定顺序，公平吗？

【追问】（1）对于事件B，为何公平？（2）如何论证你的观点？（3）结合物理、生物学科的学习经验，如何获得一个客观存在的隐藏信息？如重力加速度、遗传规律等.

【引入主题】试猜想并论证投掷硬币“正面朝上”的概率，并分析频率与概率的区别.

设计意图：在这一环节中，通过两个事件、一个视频（足球赛场上投掷硬币选边）激发学生的学习兴趣，确立知识生长点;再通过对现象的剖析，在连续追问下生成解决问题的线索——试验. 为了让学生明确感受到由感性到理性的认知升华，学生先猜想再论证. 在这一环节中，让学生完成感知概念的任务，实现“教学目标1”.

2. 投掷硬币，动手试验

教学过程设计：

【收集数据】为保证在相同条件下试验，试验中应满足要求：（1）一枚质地均匀的硬币;（2）硬币竖直向下;（3）距离桌面30 cm;（4）落在桌面上.

【学生】分工合作：3人一组，取一枚质地均匀的硬币，一人投掷硬币（至少10次），一人监督，一人记录、计算并输入电脑Excel：

【分析数据】问题引导：（1）对比各组数据，结果一致吗？为什么？（2）把每组的结果累加，用折线图表示频率，这个折线图有特点吗？（3）投掷硬币时，“正面朝上”这个事件的发生有规律吗？如果有，有怎样的规律？

【学生】各组频率不一致，因为随机事件的发生具有不确定性，但频率均在[0，1]区间内波动，且频率有随着试验次数增多而波动幅度减小的趋势.

设计意图：学生亲自动手“做数学”是抽象概念过程中必不可少的环节，课堂上给学生提供收集数据的条件及足够空间，关注学生的主体性，以便于培养学生的核心素养“数据处理”.

3. 深挖数据，抽象概念

教学过程设计：

【问题推进】能否发现频率与猜想的概率0.5的具体关系？如何让规律更明显？

【学生】增加试验次数，图表呈现数据.

【规律再探】用计算机大量重复试验，你能发现投掷硬币时，“正面朝上”这个事件的发生有规律吗？如果有，有怎样的规律？

【学生】在大量重复试验下，频率趋于稳定，且稳定于0.5.

【教师】今天的我们在上演昨天的故事，历史上数学家同样经历了艰辛而漫长的探索过程，来看看他们的发现是否和我们一致（如图3）.

设计意图：借助信息技术手段，学生克服了试验次数少、规律不明显的弊端，同时在感知数学文化的过程中产生了成就感，培养对数学的热爱. 至此，学生经历了三次从收集数据到分析数据的过程. 虽然这三个阶段的意义不同，但都渗透着用频率估计概率的思想，反复强调着频率、概率之间的区别与联系，突出了“变中有不变”的数学思想.

4. 反思归纳，形成概念

教学过程设计：

【追问】如果同学们再重复一次上面的试验，得到的数据还会一致吗？数据的规律会改变吗？为什么？

【学生】数据不一定一致，因为随机事件的发生具有不确定性，但规律一致，在大量重复试验下，频率仍然会趋于概率. 但是，为什么概率不能是0.501呢？

【教师】再次增加试验数据，统一认知，论证了投掷硬币“正面朝上”的概率为0.5.

【学生】结合抢答任务，梳理概率与频率的区别和联系.

设计意图：学生头脑中已有了对概率的丰富感知，经过反思获得了概率的理性认识，同时学会了寻找随机事件发生概率的方法. 在解决了认知冲突之后，概念自然成型，学生便能完成认知概念的任务，实现“教学目标2”. 至此，本节课的重点得以实现，难点得以突破.

5. 应用巩固，深化认知

教学过程设计：

【问题1】你能设计一个思路来探索“掷骰子掷出点数1”的概率么？

【问题2】例1：易错警示——事件判断中的误区.

【问题3】例2：应用频率估计概率.

设计意图：应用体现理解，应用深化认知，以三个问题为载体，体现概念从“一般到特殊”的演绎过程. 通过博弈中另一个经典方式——掷骰子，让学生运用求概率的统计方法;通过例1、例2及追问的思考，能让学生进一步深化对概念的理解，完成内化概念的学习任务，实现“学习目标3”.

6. 归纳小结，课外拓展

让学生从知识、思想方法、经验三个方面对本课进行总结，培养学生的表达能力和归纳概括的能力;同时安排课外探究（电脑键盘的字母位置分布规律）及课外阅读栏目（天气预报），让数学回到生活中去.

[⇩] 回归核心素养的教学反思

本节课的四个学习目标，数据处理、数学抽象等核心素养的培养均借助具体的学习任务得以达成. 在完成任务的过程中，通过学生的课堂表现检测并反馈了目标达成的效果，课堂评价贯穿始终. 从设计到实施这一过程，让笔者对如何更好地培养数学核心素养有了更加深入的理解.

罗增儒教授指出：数学核心素养是适应个人终身发展和社会发展需要的具有数学基本特征的思维品质与关键能力. 素养的指向告诉我们“去哪儿”，基于素养的教学方式告诉我们“怎么去”，尽管每个学科、每个阶段的素养重心有所差异，但“不积跬步，无以至千里;不积小流，无以成江海”. 核心素养都是在学习的过程中逐步形成和发展的，最终让学生能够在真实情境中应用数学知识与技能理性地处理问题，从数学的角度认识问题、以数学的态度思考问题、用数学的方法解决问题[2]. 这便是数学的价值所在，顺应时代的数学教学.

另外，学生动手试验是本节课必不可少的，从本节课学生的表现可以发现，不是学生缺乏动手实践的能力和兴趣，而是教师给的机会太少. 笔者思想，在以后的课堂中，应尽可能多地放手让学生真试验、真思考、真表达.

最后，在本课中，既有前人的智慧，又有學生的实践操作，更有科技的运用. 在这个过程中，数学文化在渗透，数学科技在发生，我们的学生站在时代的浪头上，未来可期.

本节课依然留有遗憾，为了让学生更直观地、多角度地感受频率随着试验次数增多而不断趋于稳定，趋于一个常数的特点. 笔者本想将试验数据体现在一个一维数轴中，以依次闪现的方式展示数据所对应的点越来越接近于一定点，最终在其附近极小范围内波动，体现数的稳定性. 可惜，因为技术问题而没能实现，后续还需提高信息技术的运用能力.

参考文献：

[1]  胡学贵. 基于数学核心素养的课堂教学——以《两个变量的线性相关》（第一课时）教学为例[J]. 中学数学，2020（11）.

[2]  李亚琼. 树立学生主体地位，提高课堂参与效果——基于《随机事件及其概率》谈“核心素养”下的数学教学[J]. 数学之友，2018（02）.

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