“量的积累”到“质的飞跃”

孟勇

[摘  要] 反思是数学学习中的一个重要环节，高中的知识点多，题型多变，很多学生在题海中苦苦作战却始终不见成效，不会反思、提炼、总结、内化是原因之一. 教学过程中，教师都会留一些時间让学生整理、归纳，对于一些学生而言却毫无收获，所以教学中有必要做一些适当的引导，教学生如何反思.

[关键词] 学习反思;数学教学;解析几何;反思教学

笔者在2020年带的高三班级为艺术班，高三上学期基本没有上课，下学期第六周的数学检测中，解析几何的解答情况引发笔者进行了思考.

题目再现：高三下学期第六周周练第18题

原题：如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：+=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率.过点T（1，0）作斜率为k（k>0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值;

（3）记直线l与y轴的交点为P，若=，求直线l的斜率k.

1. 解答情况的反馈

本题选自2017届南京市、盐城市高三数学第一次模拟考试第18题，属于常见的直线与椭圆问题. 艺术班共42位学生，仅有13位学生能完成第一问的解答，第二问可以做到韦达定理;能够做到第二问的答案、拿到10分的只有一位学生，但这位学生的解题过程比较烦琐，没有利用韦达定理整体代入的求值思路，而是用斜率k表示点的坐标，然后代入两点之间的距离公式进行计算，整个计算过程相当麻烦！万幸的是“功夫不负有心人”，这位学生最后居然算出来了！本题共16分，该班的平均分是4.21分，得分率仅为26.3%.

这道题这么低的得分率，读者们可能认为对艺术班的学生来说是正常的，毕竟他们用于文化学习的时间相对较少，而且计算能力又普遍较弱. 但是，此题作为高考数学的必考题型，经过六周的训练、评讲，仍然只有部分学生能完成第一问的解答，这不得不让笔者反思“教”“学”两方面是否存在问题.

2. 旧题回顾

以上是六周内笔者引导学生解决过的解析几何问题，笔者在教学过程中，对艺术班解决解析几何问题的得分定位是突破10分，在训练、讲评过程中特别注意解题的规范化，注重“一题多解”，比较解题方法，强化学生优化解题过程的意识. 尽管解决过这么多的直线与椭圆问题，但学生在考试中仍然是普遍不会做解析几何问题的第二问，因此“教”与“学”两方面都需要反思.

（1）“教”的方面：教师在讲评过程中易着重讲解“如何算”，而忽略“如何分析”. 解析几何问题的解决过程正是要关注好这两个任务，才能保证学生良好的计算正确率及引发学生去思考如何优化计算过程. 对于计算能力一般的学生，一但开始了计算，一般很少会有精力再去关注优化的问题，所以教师在解析几何的突破方面应引导学生重视问题分析过程，通过分析确定好解题路径. 原题的得分率较低的一个主要原因，就是学生对解题目标不清晰，在解答之前没有一个明确的解题路径. 大部分学生是根据以往的经验猜测需要联立方程、利用韦达定理，但并不清楚这一过程与解答问题之间的联系，所以没有继续解答下去的信心和方向，更不要说学生在解答问题前会好好思考如何优化计算过程.

（2）“学”的方面：学生的课后反思不到位，或者说学生不会反思. 笔者所在的学校比较重视学生的课后反思，每天都会有一节自修课引导学生自主整理、消化一天所学的知识内容. 但从检测效果来看，学生并没有在已经解决过的问题中总结出实用的解题经验去提升自己的解题能力. 学生对解析几何问题的反思往往被烦琐的计算过程所阻碍，即使能顺利地自我反思，也往往是模仿教师再去计算一遍，而不是去思考为什么要这样计算，解决过的问题之间的相同点有哪些、不同点有哪些，以及这些不同点在解决策略上有怎样的区别.

基于该想法，笔者设计了一节“通过解题路径的预设，确定解析几何问题的解题目标，优化计算过程，增强学生解题信心”的专题反思课.

教学过程

展示学生对原题的解答过程，问：为什么不再算下去？

答：不知道该怎么算了.

问：前面我们已经解决过的问题是如何处理的？

1. 旧题回顾，总结提升

通过学案的形式展示最近解决过的一些解析几何问题（前文已经罗列）. 笔者在课堂上留下了一些时间让学生回顾各题的解决方法，并鼓励学生在课堂上说出来，笔者把每道题的解答路径在黑板上写了出来.

问：以上问题的解决过程中比较重要的环节在哪里？

答：分析环节，能得到问题的解决方法.

问：你们的看法跟我一样，为什么是分析环节比较重要呢？

答：通过分析得到解题方法后，计算就有了明确的目标.

问：通过对以上题目的回顾，你们发现了它们之间的相同点和不同点吗？

答：相同点是它们都是直线与椭圆问题;不同点是有些直线与椭圆已知一个交点，有些直线与椭圆的两个交点都不确定.

问：那么在处理的过程中有什么不同？

答：一般情况下，已知一个交点，另一个交点比较容易求出;而若两个交点都不确定，则可以使用韦达定理得到两个交点坐标之间的关系.

本环节花了大概25分钟的时间，一共分析了6道解析几何问题常规的解答思路，并总结了6道解析几何问题解法的共同点和不同点，目的是让学生再遇到类似问题时能找到正确的解答方向.

2. 学以致用

问：通过以上的回顾小结，你们能告诉我试卷上这道题应该从哪里开始解答吗？

接下来，只需要在解题路径的引导下，完成每一步计算就可以了. 前期的分析直接决定了解析几何问题的解答成功率.

3. 教学反思

这是一节比较特殊的讲解解析几何的专题课，涉及了7道解析几何问题. 经过以上的分析，明确了直线和椭圆联立方程的目的，明确了原题的解题路径，更重要的是借助于直线方程优化了计算过程，同时增强了学生的解题信心. 本节课的主要任务是克服学生不敢算的心理，计算能力的培养不是一两节课就可以解决的，需要经过一定的独立解决解析几何问题的经验积累.

本节课通过对考题的讲解及对旧题的回顾、反思、总结，第一个目的是让学生对解析几何中的直线与椭圆问题的解决形成一个固定的思维模式——先分析后演绎;第二个目的是通过对比让学生发现不同样条件下的不同解法. 常见的直线与椭圆问题大致可以分为两类：一类是直线与椭圆有一个已知交点，解决方法一般是直接解出另一个交点;另一类是直线与椭圆的两个交点都不确定，解决方法一般是通过韦达定理构造两根之积、两根之和，然后用整体代入、设而不求的方法求解.

结束语

著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔指出，“反思是数学思维活动的核心和动力”. 他强调，学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，其核心是数学过程的再现. 《普通高中数学课程标准（实验）》也提到了“反思与建构”及“关注学生能否不断反思自己的数学学习过程”等词条. 足见反思在学习过程中的重要性. 教师在平时的教学过程中，除了留足时间让学生反思，还应指导学生该如何反思！这样的教学才能起到事半功倍的效果.