从一道立体几何的基本题型谈数学解题教学的维度

周敏鑫 陈晓停 陈泽娟 王海青

[摘  要] 数学学科的特性决定了解题教学是数学教学中的重要环节，适当的解题训练有助于学生巩固和深化对概念、原理及法则的理解与掌握. 但数学解题教学不等于大量做题及一系列的解题技巧训练，而是要重视对解题思路的剖析，注重对题型和方法的归纳，强调变式引申和通性通法的教学，结合学生的实际情况考虑解题教学的广度和深度. 好的数学解题教学设计有助于学生形成灵活完善且联系丰富的整体知识结构，促进学习的迁移. 本研究以一道立体几何的基本题型为例，从“一题多解”“一题多变”“多题一解”探讨数学解题教学的维度，以使教师提高解题教学的能力，学生掌握解题的策略、思维方法，从而提高解题教学的有效性.

[关键词] 立体几何;解题教学;一题多解;变式教学

数学解题教学是数学教学中的重要环节，适当的解题训练有助于学生巩固和深化对概念、原理及法则的理解与掌握.关于如何有效地解题，数学家与数学教育家波利亚的著作《怎样解题》[1]一书对此做了深刻剖析，将解题过程分解为理解题意、拟定计划、执行计划、回顾反思四个步骤. 每个步骤都对应一系列的启发性问题，如“我应该从哪里开始”“我能做什么”等，通过不断地启发与自我启发提问的方式去理解题目并找到解决的办法，然后在回顾反思中优化解法、拓展问题.

因此，数学解题教学要重视对解题思路的剖析，注重通过“一题多解”“一题多变”“多题一解”等方式对题型和方法进行归纳，强调变式引申和通性通法的教学，结合学生的实际情况考虑解题教学的广度和深度. 下面将以一道立体几何的基本题型为例，从“一题多解”“一题多变”“多题一解”“回顾反思”等方面探讨数学解题教学的维度，将之与课本习题、高考试题相连接，以达到“由一题通一类”“由点带面”的效果，使学生掌握解题的策略与思维方法，并形成灵活完善的整体知识结构.

题目：在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中（如图1所示），E，F，G分别为棱BB，DD和CC的中点.

（1）求证：CF∥平面DEG;

（2）试在棱CD上求一点M，使DM⊥平面DEG.

理解题意

教师首先要引导学生了解题目的背景，挖掘隐含的信息，根据题目的条件和结论回顾与之有关的知识点和解题思路或方法，以寻找到解题的突破口. 此题是高中立体几何中的基础题型，也是典型题目. 该题题干与图形都十分清晰明了，以正方体为载体证明线面平行、线面垂直. 处理空间中各几何量位置关系的基本策略是根据实际情况注重空间与平面的互相转化. 具体到平行或垂直问题，就常常涉及线线、线面与面面之间的转化关系，且平行关系与垂直关系也可根据具体情况进行位置转换. 立体几何位置问题的相互转化如图2所示.

剖析解题思路

数学解题教学的重要目的之一是让学生学会解题、学会思考. 因此，教师应重视引领学生剖析思考过程，揭示解题的思路，进而掌握相应的思想和方法，提升数学思维.

1. 对问题（1）的剖析

求线面平行的常用方法：定义法、利用线面平行的判定定理转化为线线平行、利用面面平行的性质、利用线上两点到面的距离相等、建立空间直角坐标系等. 根据题目条件容易得到以下三种解题思路.

思路一：利用线面平行的判定定理证明（将线面平行转化为线线平行）.

根据判定定理“平面外一条直線与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行”，需要在平面DEG内找到一条直线与直线CF平行. 如图3所示，由条件易知四边形CFDG是平行四边形，所以CF∥DG;因为DG在平面DEG内，从而有CF∥平面DEG.

思路二：利用面面平行的性质证明（将线面平行转化为面面平行）.

根据面面平行的性质“两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面”，需要构造另一个包含直线CF的平面与平面DEG平行. 如图4所示，连接BF得到平面FBC，根据中点以及正方体的性质可知CB∥GE. 易知四边形DFBE是平行四边形，所以BF∥DE，所以平面FBC∥平面DEG. 又CF？奂平面FBC，所以CF∥平面DEG.

思路三：构造空间直角坐标系证明（将几何问题转化为代数问题）.

如图5所示，根据正方体的性质可建立相应的空间直角坐标系并求出对应点的坐标，再利用向量工具进行求解. 这里有两个思考方向：一是利用平面DEG的法向量与直线CF的方向向量垂直证得线面平行. 设平面DEG的法向量n=（x，y，z），利用线面垂直的判定有·n=0，·n=0，从而求出n的坐标;再由·n=0，证得CF∥平面DEG. 二是利用平面DEG内一直线的方向向量与直线CF的方向向量平行求证结论.根据点的坐标容易求出直线CF的方向向量与直线DG的方向向量，再利用=k（k为常数）证得CF∥平面DEG.

2. 对问题（2）的剖析

求线面垂直常运用到线面垂直的判定定理、面面垂直的性质、线面垂直的性质、面面平行的性质、向量法等. 题目的关键是在线段DC上找到满足题意的点M. 从求证的结论出发，显然，若DM⊥平面DEG，则有DM⊥DG. 因此可将问题转化为“在DC上求作一点M，使DM⊥DG”. 沿着这个方向可以得到两种解题思路.

思路一：利用线面垂直的判定定理以及全等三角形证明（将线面垂直转化为线线垂直）.

运用线面垂直的判定定理“一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直”，需要在平面DEG内找到两条相交的直线与直线DM垂直. 如图6所示，过点D作DM⊥DG交DG于点O，交DC于点M. 利用中点及正方体的性质易知EG⊥平面CCDD，DM？奂平面CCDD，所以EG⊥DM. DG与EG相交于点G，所以此时DM⊥平面DEG. 由角的互余关系可得∠2=∠3，又DD=DC，∠DDM=∠DCG=90°，所以△DDM≌△DCG，有DM=CG，得出点M是DC的中点.

思路二：利用空间直角坐标系证明（将几何问题转化为计算问题）.

如图7，利用正方体的性质建立空间直角坐标系，设点M（0，x，0），平面DEG的法向量为n，利用∥n，即=kn（k为常数），求出x值，即可得出点M是DC的中点.

梳理思想方法及其价值

在引导学生多角度思考问题，尽可能运用相关知识进行“一题多解”，完成解答之后，教师应帮助学生一起梳理解题过程中所涉及的知识点、思想方法及其价值，强调通性通法的作用. “通性”是指概念所反映的数学基本性质，“通法”是指概念所蕴含的基本思想方法. 解题教学中只有注重基础知识及其蕴含的数学思想方法，才是追求数学教学的“长期利益”[2]. 因此，教师需要对题目的通解与特解进行分析，总结解题思想方法及一般规律.

本题涉及立体几何与平面几何的众多知识点，包括线面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、空间向量及其位置关系，平行四边形、全等三角形及直角三角形的性质等，运用到了数形结合、转化与化归、直观想象、数学模型及向量工具等重要的思想方法.

在问题（1）中，思路一利用线面平行的判定与平行四边形的性质直接求证，是最简洁自然的常规方法;思路二利用面面平行的性质，构造两平面平行来证明结论，这个过程将问题复杂化了;思路三构建空间直角坐标系，利用向量工具将线面平行问题转化为两向量的垂直问题，这也是解决此类问题的通法. 但思路一和思路三在平面内找到一条直线与目标直线平行的方法可以看作是一种特殊方法，很多情况下并不容易直接找到满足条件的直线. 在问题（2）中，思路一运用线面垂直的性质，由线面垂直得到线线垂直，将原问题转化为对相应直角三角形的探讨，巧妙化解了难点，但当线面角不再是90°时，此法也就不再适用;思路二的空间向量法简单且易于理解，可看作是解决此类问题的通法.

解决立体几何问题要么运用传统的综合法，要么选择向量法. 综合法更有助于学生直观想象能力与空间思维能力的培养;向量法则显示了向量工具的强大运算功能，要求学生能建立恰当的坐标系、灵活运用相应公式进行计算并能解释代数运算结果的几何意义. 两类方法并无孰优孰劣之分，要结合具体的问题选择合适的方法. 正方体是最特殊的六面体，几何量之间的位置关系与数量关系比较简单明了，也容易建立空间直角坐标系，所以本题既可以选择综合法也可以选择向量法，且两类方法中还有多种思考方向.

关于正方体相关问题的考查是高考的一个重点，如2020年北京高考理科数学第16题：如图8所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点. （1）求证：BC1∥平面ADE;（2）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.

这里问题（1）的思路和方法与上题的问题（1）是一致的，直接利用线面平行的判定定理或建立坐标系运用向量法容易证明结论. 问题（2）是求线面所成角的正弦值，若运用综合法需构造出线与面所成的具体角，难度较大;而建立坐标系选用向量法比较方便，解答思路与上题的问题（2）相同.

有序变式巩固提升

变式引申是解题教学的重要步骤，是进行题型归类与理解思想方法的有效途径，帮助学生提高方法的选择能力并理解通性通法的重要价值，形成完善的知识结构. 教师在变式教学中应有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识与方法的内在联系，促进学习的迁移[3]. 对问题进行多角度、多层次的变式与推广，应注重依据学生的实际情况和题目的条件与结论，运用特殊与一般、类比联想、化归等数学思想由浅入深地进行拓展引申.

变式1：同等难度，改变提问形式，加深对原题的理解.

如图9所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BB1，DD1的中点. （1）求证：BD1∥平面AFC;（2）在线段AC上求一点M，使得EM⊥平面ACF.

变式1与原题的解题思路基本类似，目的是加深学生对此类题目及其解决方法的认识. 变式1的问题（1）是人教版教材必修2第56页的一道习题[4].

变式2：条件与问题一般化，体现基本思想和方法.

如图10所示，在长方体ABCD-ABCD中，AB=a，BC=b，BB=c，E，F，G分别为棱BB，DD，CC的中点. 求证：（1）CF∥平面DEG;（2）试在棱CD上求一点M，使DM⊥平面DEG，此时DM的长度是多少？

变式2是将原题的条件一般化，其隐含的信息没有变化. 问题（1）与原题的思路和方法一致;问题（2）则是将原来对两个全等的直角三角形的讨论转化为了对两个相似的直角三角形的讨论，基本思想和方法相同，但计算难度稍有加深. 当条件中的长方体改为更一般的平行六面体时，面与面所成的角不是90°，问题（2）中满足要求的点M则不存在.

变式3：拓展问题的深度与广度，提升综合运用能力.

如图11所示，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E，G分别为棱BB，CC的中点. （1）求点A到平面ADE的距离;（2）求二面角D-EG-B的正切值.

变式3是立体几何教学中不可忽视的重要问题，是学生学习的难点，也是近几年高考的热点. 解决问题（1）的关键在于转化，将求斜线上的点到平面的距离问题，运用等体积思想转化为求三棱锥的体积. 由V=V得×S×d=（d是点A到平面ADE的距离），进而求得相应的距离d. 解决问题（2）的难点在于找到二面角的平面角. 因为点A∈平面DEG，连接AE，易知∠AEB（角θ）为该二面角的一个平面角. 在直角三角形AEB中，根据已知条件可得tanθ=2. 当然，变式3如果通过建立空间直角坐标系，利用向量法将几何问题代数化，则直接运用相关公式进行求解而无需具体找出相应的角或线段，这也是向量法的优势所在.

回顾和反思

解题后的回顾和反思有助于教师对问题的深刻认识，也有助于增强学生的数学学习能力、思辨能力及数学思维.教师引导学生回顾解题过程，反思解题方法，进而优化过程与解法，对题目与方法进行归类，理解通性通法的重要性，使之强化对问题的深入理解和知识体系的整体把握，做到“既见树木又见森林”.

从对这道立体几何基本问题的多种解法探究、解题思想及其价值梳理、变式拓展等可以发现：特殊解法简洁，但具有一定的技巧性和适用范围;通性通法具有一般性，可以处理同一类问题.通过“一题多解”将与问题相关的知识点和方法紧密联系在一起，有助于学生形成灵活的知识结构并运用其解决其他相关问题.因此，在数学解题教学中重视“一题多解”“一题多变”“多题一解”，从多个角度和程度思考问题，可以实现“由一题通一类”“由点带面”的教学效果，促进数学的高效教学和学生的学习迁移能力.

参考文献：

[1]  波利亞.怎样解题[M]. 上海：上海科技教育出版社，2007.

[2]  章建跃. 注重课堂生成才是好数学教学[J]. 中小学数学（高中版），2011（12）.

[3]  黄良云. 实施变式教学，促进课堂优效发展[J]. 福建中学数学，2020（04）.

[4]  人民教育出版社课程教材研究所. 普通高中课程标准实验教科书A版·数学（必修2）[M]. 北京：人民教育出版社，2015.