一道二次根式比较大小问题的解法探究与推广

阳晓慧 白雪峰

[摘  要] 文章针对一道二次根式比较大小的问题展开解法探究，基于问题深度解析，给出多种解题思路和具体方法;基于题后回顾反思，点评解法，指出学生思维障碍点，提出初中数学解题学习和解题教学具体建议;基于总结与拓展，阐明一题多解、解法比较、解法优化以及拓展思考等数学学习过程的育人价值.

[关键词] 二次根式;比较大小;一题多解

在初中数学学习中，比较两个实数的大小是一类典型问题，涉及的知识点多、思路面广、方法灵活，内容可以涵盖整式、分式和二次根式等. 而比较两个二次根式大小的方法多达十余种，且是二次根式学习中的一个难点[1]. 学生除了需要掌握二次根式的基本性质和运算法则外，还要根据问题中具体二次根式的结构特征，多角度地探索思考，灵活选用不同的思维方法进行解题[2]. 因此，学生在遇到这类问题时，常常感到困难而无从下手. 下面笔者就以北京市朝阳区八年级下册数学目标检测中的一道综合实践问题为例展开解法探究.

问题与解析

问题解析 这是在学生学习了“二次根式”一章后，在综合实践活动中给出的一道比较两个实数大小的问题，要求学生进行多种解法的探究. 事实上，比较两个实数大小的方法是明确的，主要包括作差和作商等基本方法;解题步骤是清晰的，具体包括作差（商），变形，与0（或1）比较，进而得出结论. 但是，由于本题中所给两个实数的形式相对来说较为复杂，所以解决本题的难点在于需要反复利用作差（或商）比较法，或者利用等价转化的思想方法，将原数转化为较为容易比较的两个数. 这种方法的活用与转化的思想常常是学生想不到的.

思路与解法

这个问题对于多数学生来说是很具有挑战性的. 通过教师的持续鼓励与小组的合作学习，大部分学生在解法探究过程中表现积极，思维活跃，敢于提出不同的思路，坚持进行各种尝试. 在获得多种解法的过程中，学生的数学学习思维品质和解题能力均得到了锻炼与提升.

方法1：作差比较法

思路分析 作差比较法是最基本也是最核心的方法.在初一下册“不等式”一章的学习过程中学生已经初步接触该方法，其具体步骤是两数作差、变形，再与0比较大小.

方法2：作商比较法

思路分析 对于两个正数而言，作商比较法也是一种最基本、最核心的方法.借助正数的特性，通过作商法与1进行比较，来判断两数的大小.第一次作商以后，将分子中的四个数分成两组，分别比较它们与1的大小，从而达到比较分子与2的大小的目的.

题后反思 作商法比较大小，思路虽简单，但操作起来并不容易.其难点在于分母有理化后，所得分式的分子是含有四项的式子. 四个数的加减法直接用平方法去根号操作起来比较困难. 这里需要学生认真观察并合理分组，在每组数中比较与1的大小，利用转化和化归的思想化繁为简，获得答案. 在教学中，教师要引导学生注意使用作商比较法的基本条件.

方法3：直接平方法

思路分析 直接平方法是比较无理数大小时常用的方法，是将无理数转化为有理数，将两个数进行“同化”的有效手段. 在实际操作时往往需要先平方，再作差与0比较大小，从而达到比较两个数的大小的目的.笔者在这里先平方，然后作差，再平方，最后作差比较大小（中间有一个估算放缩的过程）.

题后反思 在本解法中，学生本能性地会直接平方，但很快发现平方后的两数依然无法比較大小，从而陷入困境，有些学生就此放弃了平方这条路.本解法的关键在于要处理好“二次作差”的环节，在教学实践中，教师要善于鼓励学生“不妨再算一次”，培养学生坚持不懈、勇于挑战的品质.

方法4：取倒数比较法

思路分析 两个正数比较大小，可以先比较其倒数的大小，从而得到原数的大小关系.倒数大的反而小，倒数小的反而大.

方法5：化为值相等的式子

思路分析 借助本题中两数都是正数这一特性，通过观察可以发现，两组被开方数的数字之间都相差2，据此可以构造两个乘式，通过比较两个乘式中一对因数的大小，得到另一对因数的大小关系.

题后反思 当观察到数字具有一定的规律或者共性时，通过构造新数，往往可以起到“化腐朽为神奇”的效果.因此，仔细观察、归纳特征、发现规律是产生联想，发现解题思路的不二法门.

方法6：构造新数比较法

思路分析 根据等式和不等式的性质，等式（或不等式）左右两边同时乘一个正数，结果（或方向）不变.利用正数的这一特性，可以通过两数同时乘以某个正数，或者两数同时加上某个正数再平方，将问题转化为比较新数的大小，进而得到原数的大小关系.笔者在这里提供几种构造新数的方法.

题后反思 同样是利用原数的非负性以及所加数的非负性，并通过巧妙的变形来实现比较大小的目的.需要注意的是，如果原数不是非负数，此种方法也就不可行了.

总结与拓展

数学研究往往聚焦于研究对象之间的共性和差异性，根据事物间的共性寻找规律，再根据规律产生联想，提炼解决问题的方法，并用数学符号语言表达该方法. 因此，我们不能止步于此，还要在此基础上进一步思考能否将问题进行推广，形成更一般化的解题方法.

（一）探寻问题的一般化推广

由特殊到一般的推广，对于开阔解题思路、增强符号意识、提高数学的抽象推理和语言表达能力具有十分重要的意义. 对此，笔者给出上述问题的两种推广方式：

事实上，上述其他解法也都可以用于证明推广2的问题. 由此可见，从特殊到一般、由具体到抽象是学习数学的一条必经之路. 针对一个具体的问题寻找一般性的解决方法，对于数学学习大有裨益.

（二）探寻问题的直观化解释

众所周知，数学是一个有机的整体，往往数不离形，形不离数，数和形相互依存，你中有我，我中有你. 因此，数形结合是数学中常用的基本思想方法，也贯穿数学学习的始终. 下面，笔者给出原问题的两种几何直观解释.

事实上，随着数学学习的不断深入以及数学知识的逐渐丰富，学生今后还可以从函数和导数的角度来看待和解决这道题. 彼时，此类问题的解题思路会更加开阔，学生对问题本质的理解也会更加深刻.

数学题目种类繁多，千变万化. 师生如何从题海战术中解脱出来？如何通过探究一道题，打通一类题？如何通过一个好问题，既激发了学生的学习兴趣，又发展了学生的数学核心素养？相信，这道比较大小的“小问题”，一定会带给同行更多的启发. 总而言之，在初中数学教学过程中，教师要注重设计具有一定挑战性的任务，善于通过小组合作与问题解决的方式，引导学生学会分析问题、探究思路、执行解法、回顾反思，也要基于深度实践和充分交流，指导学生总结提炼蕴含在问题解决过程中的基本思想方法和基本活动经验. 长此以往，学生必然会在不断地观察、分析、猜想、探索、求解或证明等一系列研究活动中提升解决数学问题的能力，发展数学核心素养[3].

参考文献：

[1] 侯国兴. 比较二次根式大小的若干方法[J]. 数学教学通讯，2003（S2）.

[2] 赵冬梅. 怎样比较二次根式的大小[J]. 语数外学习（初中版），2021（01）.

[3] 白雪峰，张彦伶. 经典问题演变拓展，推理素养落地生根——以一道常见几何问题的溯源拓展为例[J]. 中学数学，2019（08）.

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