更高、更全、更远

钱卫刚

[摘  要] PISA测试是由OCED（世界经济合作与发展组织）开发与实施的一项辐射全世界的大型国际教育成效评估研究，它主要针对处于义务教育阶段的15周岁学生，评测他们在阅读、数学、科学这三个领域的素养及能力，以此来反射出各国教育的成果，展现各国教育发展状况，从而促进各国间相互学习、共同进步. PISA从2000年第一次正式实施起就吸引多个国家的参与，在全球引起较大的反响，它的价值远远超出传统意义上的成就测试.

[关键词] 初中数学;PISA测试;问题;技能

我国自2009年起每隔三年便会派遣学生参加PISA测试，在2009年和2012年均获得了3个领域的第一名，在2015年成绩稍有下滑，但是2018年重回巅峰，再次包揽3个领域的第一名. 这个结果在世界范围内产生了不小的影响，吸引了多个国家的学习与效仿. 笔者是一名初中数学教师，长期关注该测试，为中国孩子在测试中的卓越表现喝彩的同时也从专家们的深度点评中获得了关于数学教学的最新认知. 对此，笔者最大的感悟就是教学要促进学生的全面发展. 以数学中最具代表性的解决问题来说，其中的思维过程所涉及的数学技能就包括了“交流”“数学化”“表达”“推理与论证”“运用数学语言并运算”“设计策略”“运用数学工具”这七个方面，如何在教学中落实并发展这些技能是教师需要反复思考与斟酌的. 对此，笔者结合自身的教学实际，就如何在解决问题中体现数学基本技能及如何培养学生各方面能力来谈一谈看法.

展示问题：交流技能

交流技能是学生数学思维过程中最基本的技能，即学生能够阅读与解码数学问题，从而清晰地解答问题，为交流、解释和论证数学问题做好准备. 交流技能渗透于整个数学学习中，而非突然体现在某个学习环节中. 如学生在阅读数学问题时能准确获知问题的已知信息，清楚理解所要求解的对象;在运用数学方法时能够清晰地展示或表达解决问题的方法，并总结和提供所需的内容知识及数学思想;在解释和应用数学结果时能够构建数学模型，论证数学方法.

交流技能不仅体现于数学学习中，而且贯穿于其他学科学习或日常生活中. 在常态教学中，交流技能没有固定的教法，教师也无法通过机械地指导学生来提高他们在该方面的技能，而应该更多地给予学生交流与表达的机会，让学生在学习中自然而然地提高交流技能.

看待问题：数学化技能

数学化技能就是学生用数学的眼光看待问题的技能，也是我们通常所讲的“数感”，从心理学的角度来看，数感一部分源于先天，是人和动物与生俱来的一种心理品质，另一部分来自后天的学习与培养. 在初中数学解决问题的过程中，数感的最明显体现在于数学模型的建立过程中.

例1 如图1所示，在平面直角坐标系中有一个等腰直角三角形ABC，∠B=90°，点A在x轴上，点B在y轴上，已知点A（4，0），B（0，3），求点C的坐标.

该问题的解决只需过C点作y轴的垂线，垂足为D，根据“一线三等角”模型可以证出△AOB≌△BDC，从而根据AO=BD，BO=CD的结论求出点C的坐标. 在这个问题中，数学化技能得以体现，发现隐藏其中的一线三等角模型是关键.

通俗地理解，数学化技能就是用数学的眼光来看待问题、看待世界的技能，教师在数學教学中要有意识地强化学生对数学模型、数学思想的认识，这样可以于无形中促进学生数学化技能的提升.

理解问题：表达技能

表达技能建立在数学化技能的基础上，即能够在数学问题中用不同的方式揭示或表达数学结果的能力. 该能力很大程度上体现于对问题的理解上，这是解决问题过程中极其重要的一步，是问题得以解决的重要保障.

在数学教学中，我们常说的数学语言包括三种：文字语言、图形语言、符号语言. 如表达三角形全等可以采用这三种语言，文字语言为“两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形”，图形语言如图3所示，符号语言为“△ABC≌△A′B′C′”. 浅层次的表达技能是能够在这三种语言之间进行切换，深层次的表达技能是能够理解这三种语言之间的内在联系.

数学表达技能不仅对于数学问题的解决，而且对于数学概念的学习、数学定理的理解及几何图形的解读都有着积极的促进作用. 在课堂中，教师大胆放手，给学生更广阔的空间及更宽泛的时间，让学生有更多深入理解问题及表达想法的机会，促进表达技能的发展.

分析问题：推理与论证技能

推理与论证是在数学教学中谈及较多的一项技能，即学生在解决问题的过程中运用数学知识进行解释、辨析、概括及证明的过程，它是解决问题的中心环节，是学生理解问题、分析问题所必需的.

例2 甲、乙两人晨跑锻炼身体，同时同地出发，所跑路程y（米）与所用时间t（分）之间的关系如图4所示，当时间为多少时两人相距的路程为50 m？

分析过程 解决该问题的关键在于读懂图像，由图像可以获知的信息有：甲始终匀速前进，8分钟跑了800米;乙2分钟之前的速度比甲快，2分钟后的速度比甲慢，8分钟共跑了700米;甲、乙在跑步过程中相遇一次. 根据观察可以发现，当0<t<2、2<t<5及5<t<8时均会出现两人相距50米的情况. 由于问题中甲、乙均涉及了路程和时间这两个变量，且路程随时间的变化而变化，因此可以用函数的相关知识来解释，甲对应的是连续函数，乙对应的是分段函数，列出两个函数解析式，在对应的t取值范围内进行加减即可求解相关问题.

分析问题的能力就是会灵活利用数学知识“解锁”问题的能力，分析的过程依托了推理与论证技能. 在教学中，教师应引导学生重视解决问题的过程，强化过程，弱化结果，让学生形成分析问题的能力.

规划问题：运用数学语言并运算的技能

运用数学语言并运算是较为高级的数学技能，它对学生的数学基础有着较高的要求，要求学生能够基于数学定义、数学规则、数学体系来理解和使用数学语言及数学技能.

例如“3.1 勾股定理”（苏科版八年级上册第三章）的教学中，对勾股定理的证明是教学重点，也是教学难点. 在定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的探索中，学生将文字命题转化为“已知：如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，求证：a2+b2=c2”就是运用数学语言并运算的技能的落实.

运用数学语言并运算的技能是建立在数学化技能及表达技能基础之上的一次发展，是解决问题中的高级能力. 在教学中，变式问题的编制、一题多解的引导及发散思维的激发，都是提高该能力的有效途径.

解决问题：设计策略技能

设计策略技能就是常说的数学方法，它体现于在通向数学解答、数学论证或数学归纳的过程中，学生选择或指定计划及策略的技能，它是解决问题的关键环节.

接着以上述勾股定理的证明为例，将文字命题转化成由符号语言和图形语言构成的几何证明题是对问题的规划，依托了运用数学语言并运算的技能，那么实现该定理的证明便需要践行设计策略的技能. 在这个过程中，我们需要选择合适的方法并设计出证明的策略，如课本的证法（图6）、毕达哥拉斯证法（图7）、总统证法（图8）等. 设计策略技能在证明的过程中真正得以最完整的体现.

设计策略的技能不仅是学习数学的技能，更是学习其他学科及我们生活所必备的技能. 在数学教学中，教师应突出方法及策略的作用，重视总结与归纳，在潜移默化中锻炼学生的设计策略技能.

描绘问题：运用数学工具的技能

运用数学语言描绘问题建立在表达技能之上，它要求學生能够了解并能正确使用各种数学工具（包括有形的和无形的），从而对数学问题进行合理的描绘.

如常见的有形数学工具包括三角板和量角器等简单学具或计算器、计算机等，无形的数学工具包括自身储备的数学知识、数学语言、数学符号等. 在现代化的数学学习中，好的使用计算机的技能显得尤为重要，如利用计算机中的“几何画板”可以直观体现纸笔无法实现的图形，促进学生对相关问题的理解;使用Mathematica可以解决各类数学运算及数学实验;MathCAD可以完美呈现立体图形，帮助学生建立空间感.

各类数学工具的运用不仅是教师必备的技能，也应该让学生有所触及. 在新时期的数学教学中，倡导教师将数学工具的运用也落实成为学生学习的日常需要，发展该技能的同时让学生拥有最全、最新的资源，从而进行更深、更广的数学探索.

PISA测试是一项轰动全球的大型测试，大部分师生无法亲历，但它并非遥不可及、高不可攀，它的问题不追求“难”，而追求“全”，以朴实常规的问题反映出学生的日常. 从某个程度来讲，PISA就渗透于常态教学的每一个环节. PISA测试给教师呈现了一次完整的涵盖知识、能力及素养的测试，也给师生提供了一个共同学习及改进的范本，那就是教学的视角要高、看待问题的眼光要远、知识及能力的覆盖要全，追求更高、更远、更全的教学.

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