条件引领思路展开 教学微设激发思维

程中曜

[摘  要] 问题探究要注重两方面内容：一是注重对问题条件与图像的拆解;二是注重思路构建的方法，这也是教学指导的关键点. 下面以一道抛物线综合题为例，进行思路突破，并结合教学实践，提出相应的建议.

[关键词] 解析几何;定值;面积;反思;微设计

[⇩] 问题呈现，考点分析

问题：已知直线l的解析式为2x-y-4=0，与x轴的交点为E，抛物线Ω的方程为y2=2px（p>0），点F为抛物线的焦点，其中点O为坐标原点，且=，回答下列问题.

（1）试求抛物线Ω的方程.

（2）如果直线l与抛物线Ω相交于点P和B（点P在第一象限），直线PA与抛物线的交点为A，与x轴的交点为D，直线PC与抛物线的交点为C，与x轴的交点为G，且点E为DG的中点. 设直线PA和PC的斜率分别为k和k，试证明+为定值.

（3）在（2）的条件下，试求△PBC面积的取值范围.

考点分析：上述是关于抛物线与直线相交问题，涉及了向量、直线斜率、面积模型等知识. 第（1）问求抛物线的方程，考查抛物线方程的求法;第（2）问证明+为定值，实则考查抛物线与直线相交、直线斜率构建;第（3）问求三角形面积的取值范围，考查抛物线中三角形面积的构建方式，以及取值范围分析方法等.

[⇩] 思路突破，过程评析

问题突破需要把握考点，合理构建图像来逐步分析转化，下面逐问探究.

（1）由直线l的解析式可求得点E（2，0），由向量条件=可知点F为OE的中点，故点F坐标为（1，0）. 所以=1，可解得p=2，则抛物线的方程为y2=4x.

（2）联立抛物线Ω与直线l的解析式，有2x-y-4=0，

y2=4x，可求得点P（4，4），B（1，-2），点E是DG的中点，则+=0，可设点D（2-t，0），点G（2+t，0），其中t>0. 结合点坐标可求直线斜率，有k=，k=，则+=+=1，可证+为定值.

（3）可将△PBC视为是以点C为顶点，PB为底边的三角形，则S=×PB×d，其中d表示点C到直线PB的距离. 在（2）的条件下，则直线PC的方程为y-4=（x-4），整理可得4x-（2-t）y-4t-8=0，与抛物线的方程联立，可得y2-（2-t）y-4t-8=0，可解得y=-t-2或y=4（舍去），所以x=，即C

，-t-2

，故点C到直线PB的距离为d==. 由点P和B的坐标可得PB==3，所以关于△PBC的面积函数为S=×3×=.

设过点P的抛物线的切线方程为y-4=k（x-4），联立y-4=k（x-4），

y2=4x，可得ky2-4y+16-16k=0，由Δ=0可得k=，所以切线方程为x-2y+4=0，令y=0，可得x=-4，所以要使过点P的直线与抛物线有两个交点，需满足条件2-t>-4，则有0<t<6.

综上可知，S=，其中0<t<6，则0<S<54，所以△PBC面积的取值范围为（0，54）.

[⇩] 教学探讨，创新微设

上述抛物线综合题涉及了众多考点，所涉三问相互独立，又紧密关联，且难度逐问递增，在实际教学中建议采用数形结合的方式，引导学生从问题出发，理解题意，绘制图像，逐步构建思路. 下面具体探讨数形结合的构建方式，以及创新微设计的环节引导.

1. 数形结合图像构建

考题的第一问是基础问题，后两问是核心之问，构建图像有助于条件转化和思路构建.

第（1）问是关于直线l与抛物线Ω的相交，根据向量条件“=”可知点F为OE的中点，故可根据该信息绘制图像，主要包含两个信息：直线l与x轴的交点为E;点F是OE的中点. 可绘制图1所示图像.

第（2）问涉及众多直线与抛物线相交，总体上有三条直线，且直线之间存在相对关系：直线l与抛物线Ω相交于点P和B，直线l位于中间;直线PA与抛物线交于点P和A，直线在左侧;直线PC与抛物线交于点P和C，直线在右侧. 由此可绘制图2所示图像.

第（3）问是在（2）问基础上的构建，以交点为基础构建了△PBC，需要关注其中的两个信息：直线PA与抛物线有两个交点;直线PC与抛物线相交于点P和C.

2. 创新微设计引导环节

实际教学中建议采用“微设计”的方式，让学生逐步感受考题构建，通过设问引导的方式指导学生思考问题，转化条件，体验思路构建. 下面分三大环节进行教学设计，由浅入深，深刻理解问题.

环节（一）——基础巩固，初绘图像

题设：已知直线l：2x-y-4=0，与x轴的交点为E，抛物线Ω：y2=2px（p>0）的焦点为F，其中点O为坐标原点，且=.

设问1：从向量“=”中可以获得哪些位置关系和数量关系？

设问2：试求点F的坐标，并求出p的值.

设问3：根据直线l的方程确定与坐标轴的交点，结合点E和F的位置绘制图像.

教學引导：引导学生确定点F的坐标，确定抛物线的方程参数p，求解方程，然后把握直线与抛物线的位置关系绘制图像.

环节（二）——能力强化，关系探究

题设：根据如下信息绘制图像.

信息1：直线l与抛物线Ω相交于点P和B（点P在第一象限）;

信息2：直线PA与抛物线的交点为A，与x轴的交点为D;

信息3：直线PC与抛物线的交点为C，与x轴的交点为G;

信息4：确保点E为DG的中点.

绘图过程引导学生思考如下问题：直线PB，PA和PC的相对关系;三条直线的交点P的位置;点E和点D，G的相对关系.

问题探究中引导学生合理设定坐标，构建直线斜率：

设问1：根据直线l与抛物线相交求点P和B的坐标.

设问2：E是DG的中点，则+等于多少？若设点D（2-t，0），如何表示点G？

设问3：请根据点P和D的坐标求直线PA的斜率k，根据点P和G的坐标求PC的斜率k，并求+的值.

环节（三）——知识综合，建模解析

题设：连接BC，构建△PBC，绘制相应的图像.

求△PBC面积的取值范围需要经历构建模型、转化面积函数、定义域分析三个阶段，教学可根据上述三阶段来设问引导.

设问1：若将△PBC视为是以点C为顶点，PB为底的三角形，可构建怎样的面积模型？

设问2：请根据点P和G的坐标表示直线PC的解析式，与抛物线方程联立求点C的坐标，设点C到直线PB的距离为d，利用“点到直线的距离公式”求d的值.

设问3：结合上述信息来构建△PBC的面积函数，S=×PB×d.

设问4：要使直线PA与抛物线有两个交点，则与过点P的抛物线的切线方程有怎样的位置关系？过点P的抛物线的切线与x轴的交点为（-4，0），则点D（2-t，0）与（-4，0）有怎样的关系？可得出哪些结论？

设问5：请根据上述△PBC的面积函数及关于参数t的取值范围求面积的取值范围.

[⇩] 解后反思，教学建议

上述基于一道抛物线综合题进行了解题突破、教学探讨，整个过程侧重解题思路的构建，培养学生的數学思维，下面深入反思，提出几点建议.

1. 无图问题提信息，精心构图探方向

部分解析几何问题没有给出图像，但问题又涉及众多的曲线特征和几何性质，分析难度较大，因此理解题意，精准构图是突破的关键. 教学中建议首先指导学生绘制图像，然后进行思路构建. 构图环节需要注重两点：一是引导学生明辨条件与结论，提取图像信息;二是转化文字信息为几何信息，根据几何语言来绘制图像. 后续的探究分析则只需立足图像特征，采用数形结合的方法探讨突破方向即可.

2. 解后反思评过程，结构分析生策略

教学中要注重解后反思，引导学生反思解题过程，分析问题结构，生成合理的解题策略. 以上述问题为例，要引导学生总结问题类型、结构特点及问题解法. 必要时可开展“一题多解”“多题一解”，指导学生总结问题的“通性通法”，合理进行方法拓展，探究关联性问题的解法. 教学中要充分发挥经典问题的价值，利用考题探究来提升学生的能力.

3. 教学微设勤互动，追问对话促思维

解题教学建议采用“微设计”的方式，围绕考题开展微设计，将问题条件与结论拆解为多个模块，引导学生逐步探究，可帮助学生构建思路，形成正确的解题思维. 而“微设计”环节需要采取“互动探究”与“追问对话”相结合的方式，重视学生的主体地位. 设置具有启发性的问题，让学生在互动思考中“生成”观点，通过追问对话促发学生新的“思想”.

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