平面中“探”特性 折叠中“究”关联

[摘  要] 与折叠相结合的空间几何问题具有鲜明的特点，平面与空间的转换过程，促成了平面几何特性与空间位置关系的融合. 问题解析应分步进行，把握其中的不变与变量，利用关键点串联条件. 文章结合具体问题加以探究，总结解题策略，提出相应的学习建议.

[关键词] 空间几何;折叠;关键点;变量;平面几何

立体几何中的折叠是高中数学的重难点问题，问题包含两方面内容：一是平面图形的折叠，涉及空间中的线面关系、空间角或距离的求法等;二是几何体表面展开，涉及几何体的表面积、几何体上的最短距离等. 问题突破需要关注折叠过程，把握图形特性，下面深入探究解法策略.

[⇩] 问题呈现，分析解读

问题：如图1所示，在平面四边形ABCD中，已知AB=AD，BC=CD=，并且BC⊥CD. 现以BD为折痕将△ABD和△CBD向上折叠，使得点A到达点E的位置，点C到达点F的位置（点E和F不重合），试回答下列问题.

（1）证明：EF⊥BD;

（2）如果平面EBD⊥平面FBD，点E在平面ABCD内的正投影G恰好为△ABD的重心，而直线EF与平面FBD所成角为60°，试求二面角A-BE-D的余弦值.

分析：本题目为空间几何中的折叠问题，题干信息共分两部分：一是平面图形的性质;二是图形折叠的过程. 解题时需要把握图形性质，以及折叠的过程，然后结合空间几何知识定理来破解.

平面图形解读：根据条件可知，平面四边形ABCD的对角线BD将其分割为两个特殊的三角形，即△BCD为等腰直角三角形，可确定斜边BD为2;△ABD为普通的等腰三角形.

折叠过程解读：对平面四边形ABCD进行了折叠，共用折痕BD，形成了新的四面体，但在折叠前后具有图形对应关系，即△BDC→△BDF，△ABD→△EBD，故图形的特性不变.

[⇩] 过程突破，问题点评

基于上述问题解读，结合问题来探索思路构建，具体如下.

（1）该问要证明EF⊥BD，将EF放置在某一平面内，证明BD与该平面垂直即可.

取BD的中点为O，连接EO和FO，如图2所示. 由題意可知△EBD和△FBD均为等腰三角形，并且EB=ED，FB=FD，则EO⊥BD，FO⊥BD. 又因为FO与EO的交点为O，所以可证BD⊥平面OEF，而EF是平面OEF内的一条直线，所以EF⊥BD.

（2）该问设定了三个条件：

①平面垂直——平面EBD⊥平面FBD;

②点在平面的投影——点E在平面ABCD内的正投影G恰好为△ABD的重心;

③直线与平面所成角——直线EF与平面FBD所成角为60°.

探索二面角的余弦值，问题较为复杂，不易直接构建二面角的平面角，可采用空间向量法，利用所涉平面的法向量的角度关系来突破. 但构建之前，需要合理处理题干的三大条件，挖掘隐含信息. 故可分两阶段突破：第一阶段，处理题干条件;第二阶段，构建空间向量破解，具体如下.

阶段1——处理题干三大条件

条件①：已知EO⊥BD，平面EBD⊥平面FBD，而EO⊂平面EBD，可推知EO⊥平面FBD.

条件②：因为FB=FD=，FB⊥FD，且点O为BD的中点，可得FO=1，EO=，从而有BE=ED=BD=2，即△EBD为等边三角形，则△ABD也为等边三角形，从而可得EG=.

条件③：由于直线EF与平面FBD所成角为60°，而∠EFO为两者的平面角，故∠EFO=60°.

阶段2——构建空间向量破解

以点O为坐标原点，方向为x轴正方形，方向为y轴正方形，建立如图2所示的空间直角坐标系.

由已得条件可得如下关键点坐标：A（0，，0），B（-1，0，0），D（1，0，0），E

0，，

. 则由点坐标可得如下关键向量：=（-1，-，0），=（2，0，0），=

1，，

.

设n1为平面ABE的法向量，根据向量之积为0，可推得平面ABE的法向量n1=（-，，1）;设n2为平面BED的法向量，同样可得n2=（0，2，-1），则cos〈n1，n2〉==，所以二面角A-BE-D的余弦值为.

[⇩] 策略总结，应用探究

上述对一道空间几何折叠问题进行了深入探索，题干所述折叠过程是该类问题的特点所在，促进了平面特性与空间位置的融合，综合考查了学生的读图能力和动态建模能力. 与折叠相结合的空间几何问题中含有一定的几何特性，问题解析可采用对应的策略，下面具体总结，并举例探究.

1. 折叠问题的特性

原则1：充分提取问题中的不变量和不变关系;

原则2：通常折叠前后位于折线同一侧的几何量和位置关系保持不变.

2. 折叠的破题策略

基于上述特性可采用两大解题策略：

策略一，根据折叠前后的变量、不变量以及平面图形来绘制直观的空间图，对比分析平面图及空间图来提取其中的线面关系. 对于不变的关系，应在平面图形中处理;而变化的关系则应放置在空间图形中.

策略二，把握翻折前后的关键点的位置，尤其是翻折过程变化的点，这些关键点会带动几何要素的变化. 分析确定关键点的具体位置，以此为参照则可以确定关联点、线、面的位置，进而完成相关问题的证明和求解.

3. 应用探究

例题：在图3所示的梯形BFEC中，已知BF∥CE，CE=3，BF=2，四边形ABCD为边长等于1的正方形. 现沿着AD将四边形EDAF折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，可得图4所示的几何体，回答下列问题.

（1）试证明平面AEC⊥平面BDE;

（2）如果點H位于线段BD上，且EH与平面BEF所成二面角的正弦值为，试求DH的线段长.

<D：＼DW＼数学教学通讯（下旬）＼2021年＼2021年中等教育下旬12期＼12-梁毅3.tif>[A][B][C][D][E][F][D][A][B][C][E][F][图3][图4]

分析：利用上述总结的策略来分析问题，折叠前图3中，四边形ABCD是边长为1的正方形，而梯形AFED中DE∥AF，且AF=1.

图4中，以AD为折痕折起，使得平面EDAF⊥平面ABCD，相关联的，使得平面ABF和平面DCE均垂直于平面ABCD. 同时折痕AD两侧的图形特性不变，梯形AFED和正方形ABCD的性质不变.

而点E和F是折叠运动中的关键点，其促成了平面ABF和平面DCE的形成，根据线段边长可知△ABF为等腰直角三角形，而△DCE为普通的直角三角形.

详解：（1）由于ED⊂平面ADEF，AC⊂平面ABCD，而平面EDAF⊥平面ABCD，所以ED⊥AC. 又知四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD. 综合可知AC⊥平面BDE，结合AC⊂平面ACE，可证平面AEC⊥平面BDE.

（2）该问设定了二面角正切值，求点H的位置，所涉线段EH与平面BEF的二面角不易直接构建，可采用空间向量法. 结合线段长可知AF=1，DE=2，可以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，建立如图5所示的空间直角坐标系.

由已知条件可得如下关键点坐标：点E（0，0，2），F（1，0，1），B（1，1，0）. 设平面BEF的法向量为n，由向量之积为0，可推得n=（1，1，1）. 设点H（a，a，0），则=（a，a，-2）. 线段EH与平面BEF所成二面角的正弦值为，则

cos〈，n〉

=

=，可解得a=或a=（舍去），所以点H

，，0

，可推知线段DH=.

[⇩] 解后反思，学习建议

1. 解读平面信息，挖掘隐含特性

与折叠相关的空间几何问题，其题干信息往往分为两部分：第一部分是关于平面几何的性质条件，第二部分是折叠过程的描述. 问题解析首先需要深入解读平面几何的信息条件，并以折痕为界分析两侧的几何特性，这些特性在折叠变化中是保持不变的，是后续破题的关键. 如上述原问题关于折痕，两侧的图形均为特殊等腰三角形，而例题中则形成了正方形和梯形. 教学中要引导学生关注问题中的平面特性，并以特性为基础进行深入思考，挖掘隐含信息.

2. 关注关键动点，提取关联条件

折叠过程必然存在点动，折叠后这些点的位置是空间图形构建的关键，这些关键点的变化会带动其他点、线、面的位置变化，其中的几何关联是后续推导的基础. 实际分析时要注意提取折叠中的关键点，确定其准确坐标，然后以点连线、由线成面，探索空间几何中的线、面关系. 如上述例题中点E和F是折叠运动中的关键点，所形成的新平面垂直于底面，同时以点为基础形成了等腰直角三角形. 教学中教师要引导学生提取折叠运动的关键点，进行几何条件串联.

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