WFRFT识别中高阶累积量与减法聚类级联设计

梁 源，向 新，王 瑞，刘 坤，尹立言，王 鹏

(1 空军工程大学航空工程学院，西安 710038；2 空军工程大学研究生院，西安 710051)

0 引言

加权分数阶傅里叶变换(weighted-type fractional Fourier transform,WFRFT)作为一种新型时频域分析手段，由Shih在1995年首次提出[1]，并最先在信息光学领域中得到应用。WFRFT能够使得基带信号星座呈现出丰富的旋转、发散特性，在通信抗截获[2-4]、抗干扰[5-8]方面展现出独特的优势。考虑到非协作通信场景中，接收端信号的调制识别对于正确识别发送信号进而还原出原始发送信息至关重要[9-10]，因而对WFRFT信号的调制识别也成为WFRFT系统研究的一个重要方面。

高阶累积量(higher order cumulants,HOC)作为一种重要的调制识别方式，在传统星座信号调制识别中取得了较好的效果[11-14]。文献[15]通过定性分析，指出HOC的四阶、六阶、八阶累积量取值与WFRFT调制阶数内部存在一定关联性，但未得出相关定量结论；根据“带通信号低通复等效”原理，基带信号变换特性可以最终反映至相应等效的频带信号上，因而在文献[16]中，通过基于HOC的识别概率测试分析，指出WFRFT的调制阶数会影响通信系统的载波特性，进而影响WFRFT信号的正确识别与解调；文献[17]进一步通过理论推导，证明了通过最小化四阶累积量模值(|C42|)可实现接收端WFRFT调制阶数的恢复。文献[15-17]在不同程度上指出了可以利用HOC进行基于WFRFT通信系统调制识别，但是关于基于WFRFT的调制识别仍然缺乏具体定量研究，特别是，在与其他常见基带调制方式相结合条件下的联合调制识别有待进一步深入探索。基于此，在文献[17]对WFRFT调制阶数恢复理论研究的基础上，文中针对WFRFT信号识别问题，提出了高阶累积量与自适应减法聚类联合设计的识别算法，期望实现对WFRFT调制阶数、基带星座类型、星座大小的综合识别，进而实现对发射信号的良好接收。

1 WFRFT基本原理

四项WFRFT(4-WFRFT)可以与现有的单、多载波体制实现良好的兼容，因而在通信系统中往往以四项为研究重点。在后面的论述中，如不进行特别说明，WFRFT均代表4-WFRFT。此外，根据“带通信号低通复等效”原理，基带信号在理论上与频带信号具有完全一致的特性，因而在后面的理论分析、公式推导均从基带形式展开。令输入序列为X0=[x0,x1,…,xN-1]T，进而X1,X2,X3分别表示X0的一、二、三次归一化离散傅里叶变换(discrete Fourier transform,DFT)。X0的WFRFT变换可表示为[18]：

Wα(X0)=ω0(α)X0+ω1(α)X1+
ω2(α)X2+ω3(α)X3

(1)

采用矩阵运算形式，则X1=FX0,X2=F2X0,X3=F3X0,其中，F为归一化DFT矩阵，且第m行、第n列的元素为Fm,n=exp(-j2πmn/N),m和n取0,1,…,N-1。考虑到F矩阵具有如下特性：F0=I,F2=P，F3=F-1，I为单位阵，P为序列反转矩阵(序列首项不变，后(N-1)项反转)，F-1为归一化的逆DFT变换矩阵。进而式(1)可转化为：

Wα(X0)=[ω0(α)F0+ω1(α)F1+ω2(α)F2+

ω3(α)F3]X0= [ω0(α)I+ω1(α)F1+

ω2(α)P+ω3(α)FP]X0

(2)

WFRFT可以视为一种混合载波的通信方式，其基本数学模型实现形式如图1所示[8]

图1 WFRFT数学模型实现结构图

考虑到α的取值范围为0～4，当取值1、3时对应频域，取值0、2时对应时域，取值其他非整数时对应时频域，从而WFRFT系统可实现与单载波、多载波体制的良好兼容。

2 基于WFRFT的调制识别系统

基于WFRFT调制解调通信系统如图 2所示，信道主要受高斯噪声干扰的影响。为了便于区别及描述，统一将WFRFT称为系统的调制解调方式，将基带星座基本变换(ASK、PSK、QAM)称为基带星座映射方式。图 2中，对于非协作通信而言，要实现正常的调制解调，需要对WFRFT的调制阶数α与基带基本星座映射样式进行识别。

图2 基于WFRFT的调制解调通信系统

文献[17]研究表明，可通过最小化信号四阶累积量C42的模值实现WFRFT的调制阶数识别，使解调WFRFT阶数满足：αr=-αt。在此基础上，提出通过C42模值的进一步分类优化，对常见的3种基带星座(ASK、PSK、QAM)进行初步筛选；进而结合文中提出的一种基于高斯噪声功率的自适应半径软判决聚类算法(adaptive radius soft decision sub-cluster algorithm,ARSCA)来进一步确定具体的基带星座大小。

根据图2中基于WFRFT系统的基本识别思路，将WFRFT基带调制信号的识别分为：1)基于HOC的WFRFT调制阶数识别；2)基于自适应减法聚类的基带星座大小识别。具体的调制识别流程如图3所示。

图3 WFRFT调制信号识别流程图

3 WFRFT信号联合调制识别

3.1 ASK,PSK,QAM的识别及基本映射

图2中，s表示ASK,PSK,QAM的通用信号形式，WFRFT调制、解调阶数分别为αt,αr，且认为WFRFT阶数存在偏差为Δα，Δα=αt+αr，则接收端信号可以表示为：

r=WΔαs+Wαrn

(3)

式中:WΔα对应WFRFT变换矩阵与式(2)对应；n为N维列向量且服从高斯分布。考虑到归一化的WFRFT变换为线性酉变换，则噪声经过WFRFT处理之后的信号Wαrn与原噪声信号n服从相同均值、方差的高斯分布。

对于接收信号r而言，其C42计算如下：

C42(r)=C42(WΔαs+Wαrn)=C42(WΔαs)+C42(Wαrn)

(4)

高斯噪声的高阶累积量理论值为0，即C42(Wαrn)=0，式(4)可转化为：

(5)

鉴于X1,X3为X0,X2的DFT变换，C42(X1),C42(X3)具有类高斯特性，即C42(X1),C42(X3)也可近似为0[11]，进而式(5)可转化为：

(6)

令C42(X0)=C42(X2)=S，并将加权系数ωl代入式(6)化简可得：

C42(r)=0.5{[cos(Δα·π)]4+[cos(Δα·π)]6}S

(7)

通过求导法可知，C42(r)在Δα=0处可取得最大值。由文献[19]知，当X0进行功率归一化处理(对应S=1)之后，相应ASK,PSK,QAM的C42取值范围分别是：C42∶-2～-1.2(ASK)；C42∶-1(PSK);C42∶-1～-0.6(QAM)。通过合理设定门限进行ASK,PSK,QAM初步分类，从而实现图 3中初步识别，即“基于HOC的WFRFT的调制阶数αr的识别”。

3.2 自适应半径减法软判决聚类识别星座大小

考虑到实际高斯噪声通信环境，文中在对已有减法聚类算法研究基础上提出了一类基于高斯噪声功率的自适应半径软判决聚类算法(ARSCA)。具体实现过程如下：

传统的减法聚类算法中，通过聚类半径的设定来进行循环迭代选择密度指标最高的数据点作为当次的聚类中心，对于N个数据样点{x1,x2,…,xN}，每个点的密度指标值定义为[18]：

(8)

式中，γ1表示第i个数据样点的一个领域，又称为减法聚类的“密度”半径。

传统减法聚类算法性能整体上受聚类半径的影响较大，而一般聚类半径的选择是基于固有经验，从而存在不确定性和性能不稳定性，对于高斯信道下的基带星座大小聚类识别更是如此。基于此，文献[21]中提出基于信噪比的自适应减法聚类算法，在一定程度上根据信道高斯噪声功率大小自适应设计聚类半径，但未给出具体的设计原则及聚类半径与信道噪声的定量表达式。在文献[21]的基础上，文中结合高斯噪声概率密度函数的指数分布特性，同时考虑半径的设计具有一定的上、下界，因而设计的基于高斯噪声自适应半径表达式为：

(9)

式中:P为噪声功率，可以通过实时检测信道获取；a1,a2对应半径的上、下界;a3对应变化速度。

将式(9)新定义的半径代入式(8)求出第一个聚类中心。令xc,1为第一个聚类中心点，Dc,1为其密度指标，则进一步得到修正的数据点xi的密度指标为：

(10)

式中，γ2为一个密度显著减小的领域，为避免出现相距很近聚类中心的情况，通常取值γ2=2γ1。

重复软判决过程，直至所有数据点包含在聚类中心辐射范围内。

4 仿真结果

为了测试分析文中提出的WFRFT通信系统中基于HOC与ARSCA的联合调制识别性能，对不同WFRFT调制阶数和基带映射方式(ASK,PSK,QAM)下的系统性能进行测试分析。仿真中为研究分析一致性，统一利用信号噪声功率比RSN来定量描述信道噪声大小。

4.1 基于HOC的WFRFT阶数识别性能

设定信道中的信号比值RSN=20 dB，并使接收端WFRFT调制阶数偏差Δα在[0,1]变动，且变动步长为0.3，对不同基带映射方式、不同星座大小的|C42|结果进行了仿真测试。在仿真中对发射基带信号功率归一化处理，即相当于使得式(7)中S取值为1，经运算值处理最终得到|C42|，测试结果如图4所示。各个子图对应取值边界与3.1节中的理论相一致，且在Δα=0时，|C42|均可达到最大值，即能够通过最小化接收信号的四阶累积量模值(|C42|)来实现WFRFT调制阶数的识别。此外，图4中除了4PSK对应取值为1之外，其余星座大小对应的|C42|均在0.6～0.8之间，且考虑到4PSK与4QAM主要区别在于星座整体的相位初始角度差异，在某种意义上可以视为同一种星座映射方式，因而后续分类识别仅仅研究4PSK基带映射方式。进而通过选择中值门限0.8、1.1来初步实现对ASK,PSK,QAM三类星座映射方式的识别。

图4 不同调制阶数偏差Δα下的|C42|

4.2 基于ARSCA星座聚类识别性能

图5 基带星座聚类示意图

为进一步分析文中所提出联合识别算法的性能，设定RSN取5～20 dB，对不同基带映射、不同星座大小情景下WFRFT系统的整体识别率进行测试分析。为了保证测试的普遍适用性，对于图3中“基于HOC的WFRFT调制阶数识别”设定单次测试时随机产生WFRFT调制阶数αt，且取值范围是[0,1]。最终联合识别测试结果如图6所示。为了更进一步分析本联合算法性能，对常规固定半径减法聚类性能进行了对比测试，根据固有经验规则选定λ1=0.25，最终测试对比结果如图6所示。

图6表明相较于传统的固定半径设计，自适应半径设计可以不同程度提升系统的识别性能，且对于PSK方式提升性能更为明显。这主要是因为：在统一进行归一化功率之后，PSK星座整体分布在单位圆上，且星座点间距相对变化较小；而ASK,PSK方式在不同的M取值下星座点间距会发生较大变化，从而影响整体的识别性能。此外，从图6(b)、图6(c)可以看出，在RSN较小时，存在M取值较小反而对应识别率减小的情况，这主要是因为ASK,PSK星座预映射至x轴后，噪声较强时聚类算法更容易使得聚类点数大于实际星座大小M，从而造成整体识别率的降低。自适应半径聚类算法能够根据实际噪声功率合理动态选择聚类半径，从而可以有效减弱高斯噪声对聚类的影响，能够适应多种星座大小、多种基带映射方式。

图6 自适应减法星座聚类识别性能

5 结论

基于WFRFT调制解调系统，提出了一种联合高阶累积量与自适应减法聚类调制识别算法，通过最小化接收信号的四阶累积量模值(|C42|)来实现WFRFT调制阶数的识别，并确定基带星座的基本类型及相应的预映射方案，进而通过改进的自适应减法聚类算法来进一步确定基带星座具体大小。仿真结果表明所提联合识别算法的有效性，可以运用于WFRFT通信信号的调制识别之中，进而运用于非协作机制下WFRFT信号接收恢复。由于文中基本理论分析是建立在通信载波理想恢复、星座相差近似忽略的情况下，因此，下一步工作考虑更加复杂的通信场景，考虑典型的信道通信信噪比条件，结合载波频偏、星座相差抑制、补偿技术，并考虑结合其他非聚类的联合识别算法，进一步增强所提出识别算法的有效性、实用性，提升系统整体的识别性能。