例谈立体几何中直线与平面平行的证明策略

摘 要：每年的数学高考中，6道解答题大题，立体几何必是其中一道，立体几何大题通常会设置2问，其中第一小问多为证明题，证明平行或垂直关系，而平行证明题型主要考点是线面证明，因为在证明线面平行的过程中经常会涉及两个考点，其一是线线平行的证明，其二是面面平行的证明。本文借助泉州质检题中一道线面平行解答题的探讨，进行一题多解，一题多变，从变中总结解题方法，从变中发现解题规律，从变中发现不变，引导学生多思多想，养成在学中求异，学中求变的习惯，使学生学一道题，会一类题，加深对问题实质性的掌握，增强应变能力。

关键词：线面平行;线线平行;面面平行;几何法;向量法

一、问题提出

证明线面平行，最容易想到的是使用它的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。关键是如何在平面内找到一条与已知直线平行的直线。既然要证明直线a//平面α，那么直线a肯定是平行平面α的，若a//α，那么经过直线a的平面β，要么与平面α相交，要么与平面α平行。当时，依据线面平行的性质定理知;当时，依据平行平面的性质知。因此过已知直线作平面，既可以构造交线使线线平行也可构造面面平行从而证明线面平行。

证明线面平行，除了可利用上述提到的这两种几何构造法外，还可以利用空间向量的线性关系或数量积关系，通过代数运算来解决。下面一起探索空间线面平行关系证明中的常用策略。

二、例题示范

例（2020年泉州5月质检）如：图四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BAD=1200，AB=2.平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD，E，F分别是BC，PD的中点。

（1）求证：EF//平面PAB;

（2）若直线PB与平面ABCD所成的角为450，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值。

本文只分析第（1）小题，第（2）小题略。

分析1：借助线面平行的判定定理构造相交平面找线线平行→线面平行

线线平行两个常见模型（构造平行四边形或三角形）

（一）平行四边形的对边互相平行（需要能证明平行四边的条件）

（二）三角形的中位线平行于第三边（需要构造三角形的两个中点）

策略一、构造平行四边形——线线平行→线面平行

取PA的中点M构造平行四边形EFMB，得EF//BM，又EF在平面PAB外，BM在平面PAB内，所以EF//平面PAB。

【点评】构造平行四边形需包含要证的直线并能够证明要证直线的一组邻边平行且相等。此题涉及中点E、F又涉及平行且相等线段AD、BC，符合条件构造平行四边形。

策略二、构造中位线——线线平行→线面平行

连接DE并延长交AB的延长线于点N，则点E是DN的中点，在ΔDPN中，EF是中位线，则EF//PN，又EF在平面PAB外，PN在平面PAB内，所以EF//平面PAB。

【点评】构造中位线时，需想办法将待证明线段及中点所在线段纳入同一个三角形，利用中位线的平行关系找到平面内的直线。此题平面PDE与平面PAB已有一个公共点P，由公理3“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”顺藤摸瓜找到公共直线PN。

策略三、构造平行平面——线线平行→线面平行→面面平行→线线平行

取AD中点Q，连接EQ，FQ，可证平面QEF//平面PAB，又EF在平面QEF内，所以EF//平面PAB。

【点评】在构造平行线和平行平面两个方法上，一般构造平行平面更容易些，思维量相对比较小，但书写过程中只能依据面面平行的判定定理：一个平面两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行。而学生易犯的错误是：直接由线线平行→面面平行。

分析2：向量是一个具有代数与几何双重属性的量，为我们用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具，灵活使用直线的方向向量和平面的法向量来证明线面平行，有时也会起到意想不到的效果。

策略四、向量法——建系、点坐标、向量坐标、法向量、套公式、下结论

取CD的中点R，由PC=PD得PR⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD

所以PR⊥平面ABCD，设AC∩BD=O，以OC，OD所在直线分别为x轴，y轴，过点O作直线与PR平行为z轴建立空间直角坐标系

平面PAB的一个法向量为

又EF在平面PAB外，所以EF//平面PAB。

【点评】由于几何体结构的特殊性，且明确了线段的长度，为我们建立空间直角坐标系提供了方便。利用向量数量积运算解决线面平行问题，思路简单，程式化的流程，降低了立体几何的空间难度，给学生一个比较低的门槛。

策略五、基底法——以为基底：

又EF在平面PAB外，所以EF//平面PAB

【点评】只要能在几何体中寻找到合适的基向量，就可以很容易地说明向量共面。而且，有時可以省略求相关坐标的过程，使证明过程更加简洁。对于不方便建立坐标系的几何体，这种方法就更具有优越性。

变式题1：四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BAD=1200，AB=2.平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD，E是BC的中点，试问在棱PD上是否存在点F使EF//平面PAB？

思路一、先猜后证，如何猜才能准确呢？回顾前面种种策略，构造平行平面。

（一）从中点E出发，取线段AD的中点Q，则EQ//AB;

（二）从中点Q出发，取线段PD的中点F，则QF//PA;

可得平面QEF，再证平面QEF//平面PAB，又EF在平面QEF内，所以EF//平面PAB。

【点评】构造平行平面法的基本步骤：①选点——在所证直线上任取一点记作A;②选线——在所证平面内任取一线记作a;③优化组合——使点A作所选线a的平行线，交棱于一点，记作B;再由点B出发，选线，重复上述过程。

思路二、向量法，建系与前面例题中的策略四一样

可得平面PAB的一个法向量为

点F在PD上，一般设点F的向量坐标式：即设

所以

【点评】向量法的基本步骤：先假设存在——建系设点、列式解方程，利用方程是否有解来判断所探索的问题是否有解。其中设探究中的点是关键：

1.如果点F在AB上有两种设法：

①坐标式：直接设点F（x，y，z），利用已知条件寻找x，y，z的关系;

②向量式：假设存在常数λ，使得，然后用λ表示点F的坐标

2.如果点F在平面ABC上，一般存在常数λ，μ，使得（当然也可选用其他基底向量），然后用λ，μ来表示点F坐标。

变式题2：如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BAD=1200，AB=2.平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD，点E是BC的中点，点M在四棱锥P-ABCD内部或表面上，且EM//平面PAB，则动点M的轨迹。

思路分析：已知动直线平行定平面，寻找定平面包含动直线，从而面面平行得线面平行。

回想变式题1中的构造平行平面法

（1）从中点E出发，取线段AD的中点Q，则EQ//AB;

（2）从中点Q出发，取线段PD的中点F，则QF//PA;

可得平面QEF，再证平面QEF//平面PAB，若EM在平面QEF内，则EM//平面PAB。

所以点M的轨迹是三角形QEF内部以及它的边界。

【点评】觅得规律明轨迹——动中有静，动态立体几何体在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，用定平面包含动直线，通过作截面寻找动点M的轨迹，从而找到解决问题的突破口。

变式题3、如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BAD=1200，AB=2.平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD，E，Q分别是BC，AD的中点，点F是直线PD上的一动点，求证：AB//平面QEF。

思路分析：证明定直线与动平面平行，几何法？向量法？一般会在动平面内找一定直线与已知的定直线平行。由中点E、Q易想到AB//EQ，由线面平行的判定定理可知AB//平面QEF。

【点评】在解决立体几何中的“动态”问题时，探寻变化过程中的不变关系，是解决动态问题的常用手段。利用动平面内一定直线与已知定直线平行的不变性证得线面平行。

三、提炼思想方法

证明直线与平面平行的基本思路：

思路一、证线面平行，由线面平行的判定定理可知需先找线线平行，要找线线平行，往往要找面面交线，要找面面交线，需构造辅助线（构造平行四边形，或三角形中位线，或等比例线段等加以证明）。

思路二、證明线面平行，也可先找面面平行再由面面平行的性质得以证明。

思路三、证明线面平行，还可利用空间向量的线性关系或数量积关系，通过代数运算加以证明。而空间向量中最主要的两个手段就是选基底与建立空间直角坐标系。

总的来说证明线面平行有两种方法：几何法与向量法。几何法是一种定性的研究方法，表现为识图与作图（常添加辅助线与面），利用所学的定义、公理、定理去分析，推理论证。从而能培养我们的空间想象能力，逻辑思维能力，在探索性问题或动态平行问题中更能显示它的威力。而向量法是一种定量的研究方法，把形的问题转化为数的计算，体现了几何解题的一种通用方法。在高考中，特别是解答题中，试题一般采取几何法和向量法的“双轨制”，不管选用哪种方法，各有千秋，各有优缺点，只要做出来，书写规范，结果正确，哪种方法都可以，都是满分。

参考文献

[1]鲍启静.线面平行之常见题型[N].中学生数理化.2008（2）.

[2]向鸿.空间向量在立体几何中的运用[J]凯里学院学报，2008年6月.

作者简介：林巧红，（1980—），女，福建晋江人，汉，晋江养正中学，中学一级教师，大学本科。高中数学教学。

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