带投资和障碍分红的破产时刻Laplace变换

孙宗岐，杨 鹏

1) 西京学院医学院，陕西西安 710123；2) 西京学院理学院，陕西西安 710123

在保险资金的管理中，线性障碍分红和阈值分红是保险公司常考虑到的分红机制，因此，在复合风险下，带投资与线性障碍分红的Gerber-Shiu函数问题也是一个值得研究的问题．GERBER等[1]提出一种分析保险盈余过程精算特征的Gerber-Shiu期望折现惩罚函数(Gerber-Shiu函数)，其在刻画保险公司破产时刻的Laplace变换、破产概率、破产时瞬间盈余及破产时的赤字分布时均有统一的微分-积分方程，因此，该函数受到广泛研究关注．LIN等[2]将该函数引入考虑分红的经典风险模型中，研究破产时刻的Laplace变换．赵金娥等[3]利用Gerber-Shiu函数研究障碍分红下赔付到来为P-稀疏过程破产时刻的Laplace变换问题．陈洁等[4]研究离散风险模型中带障碍分红的Gerber-Shiu函数，在指数分布下得到破产时刻的Laplace变换显式解；韩树新等[5]考虑两类稀疏风险模型中带障碍分红的Gerber-Shiu函数问题，也在指数分布下得到破产时刻的Laplace变换显式解．然而以上研究都没有考虑保险实务中普遍存在的免赔额规定和无赔款保费折扣优待制度．

毛泽春等[6]基于保单免赔规定和无赔款保费折扣优待制度，提出复合Poisson-Geometric过程(复合P-G过程)，很好刻画了赔付和索赔不对等的事实，并利用偏离系数精确刻画二者之间的不对等程度．贺丽娟等[7]在复合P-G风险下研究变保费率的Gerber-Shiu函数，乔克林等[8]也在复合P-G风险下继续考虑带风险投资的复合P-G风险破产概率．YANG等[9]得到带扰动的相依风险模型Gerber-Shiu函数所满足的积分方程，最后在指数分布下给出Gerber-Shiu函数所满足的显式解．苏必超等[10]利用概率的计算性质，给出破产时刻的概率密度函数．在复合风险下，孙宗岐等[11-12]研究保险公司的破产概率及带投资的障碍分红问题．然而以上研究没有考虑分红或投资，大多也未能得到破产时刻的Laplace变换显式解．

为了使风险模型更接近保险公司的实际运作情况，基于以上研究现状，本文研究复合风险下，带投资和障碍分红时，保险公司破产时刻的Laplace变换问题，并在指数分布下求解破产时刻的Laplace变换显式解．

1 模型建立

假设所有随机过程和随机变量都定义在完备概率空间(Ω,Ft,F,P)上．先给出保费过程、赔付过程、盈余过程及障碍分红的数学模型．

1.1 索赔过程、盈余过程及障碍分红的刻画

1.1.1 索赔过程

通过分析索赔事件与赔付事件不对等的事实，毛泽春等[6]提出如下复合P-G过程．

定义1设λ>0， 0≤γ<1， 称非负整值随机变量N服从参数为λ和γ的复合P-G分布，如果其矩母函数为

其中，γ为偏离系数;r为任意实数．当γ=0时，MN(r)=E(erN)=exp[λ(er-1)]， 此时复合P-G分布退化成一般Poisson分布．

定义2设λ>0， 0≤γ<1， 称随机过程{N(t)}为服从参数为λ和γ的复合P-G过程，如果满足

1)N(0)=0；

2)N(t)具有独立平稳增量；

3) 对任意t≥0，N(t)服从参数为λ和γ的复合P-G分布，且

当γ=0时，复合P-G过程退化为一般的Poisson过程．

以下讨论假设保险赔付过程满足复合P-G过程的情况．

1.1.2 盈余过程

dP(t)=P(t)(μdt+σd(W(t)))

其中，μ为单位风险资产的收益率；σ为单位风险资产的波动率．同时，保险公司选择将剩余盈余全部投资到无风险资产．为了方便推导，假设无风险利率为0．因此，保险公司的盈余过程为

(1)

其中，W(t)为一维标准布朗运动；N1(t)、N2(t)、Xi、Yi及W(t)相互独立．

1.1.3 障碍分红

1.2 Gerber-Shiu期望折现罚金函数

2 障碍分红下的函数

2.1 准备工作

为方便证明，做如下假设．

这表明累积赔付额服从参数为(1-γ)β的指数分布．在足够小的时间dt内，讨论保费和赔付的几种概率如下．

1) 保费到来和赔付到来均为0次的概率．

P(N1(dt)=0,N2(dt)=0)=

[1-λ1dt+o(dt)][1-λ2dt+o(dt)]=

1-(λ1+λ2)dt+o(dt)

2)保费到来为0次，而赔付到来为k次的概率．

P(N1(dt)=0,N2(dt)=k)=

[1-λ1dt+o(dt)][α1γkdt+Ak(dt)+o(dt)]=

3)保费到来1次，而赔付到来为0次的概率．

P(N1(dt)=1,N2(dt)=0)=

λ1dt[1-λ2dt+o(dt)]=λ1dt+o(dt)

4)其他情形下，事件发生的概率均为o(dt)．

2.2 Gerber-Shiu函数

定理1当0≤u≤b时，Gerber-Shiu函数G(u;b)满足

当u>b时，Gerber-Shiu函数G(u;b)=G(b;b)．

【证】当0≤u≤b时，在足够小的时间区间dt内，由盈余的马氏性及全期望公式有

流域的径流量变化主要受两个因素的影响：一为降水强度与其空间分布，二为流域内区域的人为活动强度。由于人为活动对流域径流的影响具有显著的时空差异，因此流域水文过程具有趋势性、阶段性的特点。将本研究的研究对象设定为年径流系数序列，是为了减少由降水强度差异引起的流域径流变化，分析人为活动引起的流域年径流变化的阶段性。本研究采用的分析方法为：有序聚类法、序列滑动平均法等。

G(u;b)=E[G(U(dt);b)]=[1-(λ1+λ2)dt+o(dt)]e-δdtE[G(u+F(μdt+σW(dt));b)]+

[λ1dt+o(dt)]e-δdtE[G(u+F(μdt+σW(dt))+X;b)]+

G(u;b)=[1-(λ1+λ2)dt+o(dt)]e-δdtG(u+F(μdt+σW(dt));b)+[λ1dt+o(dt)]e-δdt

y-u-F(μdt+σW(dt))×[α1γkdt+Ak(dt)+o(dt)]dF*k(y)+o(dt)

G(u;b)-G(u+F(μdt+σW(dt));b)=[-(λ1+λ2+δ)dt+o(dt)]G(U+F(μdt+σdW(dt));b)+

利用文献[13]的性质1及文献[8]中的无穷小方法，将上式两端同除以F(μdt+σdW(t))，并令dt→0， 则以概率1有积分-微分方程

(2)

成立，并且当u≥b时，由于存在障碍分红，Gerber-Shiu函数满足G(u;b)=G(b;b)，证毕．

结合定义3，由式(2)可知，在障碍分红下，破产时刻的Laplace变换ψ(u;b)满足

(3)

3 障碍分红下破产时刻的Laplace变换

3.1 Laplace变换满足的线性微分方程

定理2当0≤u≤b时，破产时刻的Laplace变换满足ψ(u;b)线性微分方程

ψ‴(u;b)+[(1-γ)β-α-

α(1-γ)β]ψ′(u;b)=

且满足ψ(u;∞)=φ(u)．

【证】为方便证明，首先做以下几个辅助工作．

在式(3)中，先换元，再对u求导，有

还有

运用以上结果，推导定理结论．对式(3)两边关于u求导，有

(4)

对式(4)两边关于u求导，有

(5)

将式(3)乘以-α后与式(4)相加,有

(6)

将式(4)乘以-α后与式(5)相加，有

(7)

将式(6)乘以(1-γ)β后与式(7)相加，有

(8)

若记无分红时保险公司破产时刻的Laplace变换为φ(u)， 则ψ(u;∞)=φ(u)， 且边界条件为

φ(∞)=0

(9)

3.2 无分红时破产时刻的Laplace变换

在式(8)中，若令b→∞， 则得到无分红情形下，破产时刻的Laplace变换φ(u)满足

定理3无分红时保险公司破产时刻的Laplace变换为

其中，

k2=Fμr1-(λ1+λ2+δ)-

r1是特征方程(11)的唯一负根．

(11)

【证】方程(11)为方程(10)的特征方程.受文献[4]启发，不妨设方程(11)有3个不同的实根r1、r2及r3， 则方程(10)的通解为

φ(u)=C1er1u+C2er2u+C3er3u，

φ(u)=C1er1u

(12)

以下求解C1． 若令b→∞， 则式(3)转化为

(13)

将式(12)代入式(13)得

(14)

从式(14)中可解出C1， 再将C1代入式(12)，有

其中，

k2=Fμr1-(λ1+λ2+δ)-

3.3 障碍分红下破产时刻的Laplace变换

定理4障碍分红下保险公司破产时刻的Laplace变换为

从中解得P=Aψ(b;b)e-αb， 其中，

因此，方程(8)的通解为

ψ(u;b)=φ(u)+Aψ(b;b)e-αbeαu

(15)

由式(15)可知ψ(b;b)=φ(b)+Aψ(b;b)， 从中解出ψ(b;b)， 并代入式(15)，可得

结 语

在复合P-G风险下，本研究克服了仅单方面研究破产时刻的Laplace变换问题，或仅单方面研究带投资分红问题的局限，将带投资的障碍分红问题与破产时刻的Laplace变换问题统一起来，进行进一步研究．运用随机分析基本理论，得到带投资和障碍分红的破产时刻Laplac变换所满足的更新方程，并在指数分布假设下，得到复合P-G风险下投资和障碍分红破产时刻的Laplac变换显式解．