四翼混沌系统及其Hopf分岔控制

颜闽秀，徐 辉

1)沈阳化工大学信息工程学院，辽宁沈阳 110142；2)工业环境-资源协同控制与优化技术辽宁省高校重点实验室，沈阳化工大学，辽宁沈阳 110142

混沌由于其独有的貌似无规则、类随机的动力学特性，在通信保密、生物医学和化学等领域有着广泛的应用[1-2]．自20世纪60年代初，LORENZ[3]发现混沌吸引子以来，多翼或多涡卷混沌系统、超混沌系统、分数阶混沌系统等非线性动力系统被相继提出，这些具有不同动力学特性和拓扑结构的混沌系统丰富了混沌理论，提高了人们对混沌的认识[4-8]．目前，构造新的非线性混沌系统仍然是混沌理论研究中的热点．

Hopf分岔分析及其控制是非线性系统研究中的重要方向，在经济、气象、电力和航天等工程中有广泛应用，具有很高的理论和应用价值[9-11]．Hopf分岔控制的主要任务是设计控制器改变系统的分岔特性，如消除Hopf分岔或在预期位置产生Hopf分岔，控制极限环的幅值和稳定性等以避免不良后果，或者有目的地创建或强化有益的分岔，使其为实际所需要．主要控制方法有规范型方法、线性或非线性状态反馈控制法和滤波器方法等[12-15]．随着混沌理论的发展，对混沌系统的研究主要集中在混沌控制和混沌同步方面[16]，有关Hopf分岔控制的研究相对较少，也未完全成熟．

CHEN等[17-18]对非线性系统的分岔控制理论和方法作了系统的报道，为混沌系统的Hopf分岔控制的发展奠定了基础．CAI等[19]针对一个新混沌系统，提出用一种状态反馈与参数控制相结合的混合控制器来实现系统Hopf分岔控制，基于中心流形定理和规范型理论验证了控制策略可行性．ZHANG等[20-21]采用非线性状态反馈的方法对一类Pan混沌系统和超混沌Pan系统进行分岔控制，实现系统Hopf分岔延迟．ESHAGHI等[22]对一个新分数阶混沌系统的Hopf分岔作了研究，利用线性反馈控制实现对系统的稳定控制，消除系统的Hopf分岔．这些控制研究拓展了混沌系统Hopf分岔控制的多样性，在混沌理论及实际应用中具有重要意义．

本研究以Lorenz系统为基础，增加非线性项和线性项构建出新四翼混沌系统，并基于高维分岔理论设计基于washout滤波器的混合控制器以实现对系统的Hopf分岔控制．

1 新四翼混沌系统

受Lorenz系统的启发，本研究提出的四翼混沌系统模型为

(1)

其中，x、y和z为状态变量；a、b、c、d和e为系统的控制参数．

若将方程中的yz替换成y， 系统在一定条件下仍存在解，此时，当e=0， 为Lorenz系统．这里，系统参数a、b、c、d和e均为正实数．考虑新增线性项ey对系统混沌特性和吸引子形态的影响，这里假设a=12,b=1,c=5,d=5， 绘制以e控制参数的分岔图和基于Wolf法的李雅普诺夫(Lyapunov)指数谱[23]来阐明系统的动力学演化，结果如图1．其中，e∈(0, 1]，(x,y,z)的初始条件为(1,1,1)， 参数e的变化步长为0.01；λL1、λL2和λL3为系统的3个Lyapunov指数．

图1 分岔图和Lyapunov指数Fig.1 Bifurcation diagram and Lyapunov exponents

图1表明，当e∈(0， 1]时，系统有周期和混沌两种状态．特别地，当e∈(0.88， 1]时，系统可产生四翼混沌吸引子．当e=1时，四翼混沌吸引子如图2．

由图2可见，吸引子有四翼，上下各两翼．与Lorenz系统的吸引子相比，四翼吸引子的拓扑结构更为复杂．

图2 四翼吸引子及其相图Fig.2 Four wing attractor and the phase diagram

2 Hopf分岔的存在性

a3λ3+a2λ2+a1λ+a0=0

(2)

其中，a0=-25；a1=-25；a2=a；a3=1． 由高维分岔理论[24]可知，若a1a2-a0a3=0，ai>0均成立且满足横截条件，其中i=0, 1, 2, 3， 则参数a穿过某一值时系统(1)会在平衡点A处发生Hopf分岔．因本研究中a0<0，a1<0， 平衡点A处不会发生Hopf分岔．同时由Routh-Hurwitz判据可知，在参数a的定义域内，平衡点A是不稳定的．系统(1)在平衡点B处的系数矩阵的特征方程为

b3λ3+b2λ2+b1λ+b0=0

(3)

其中，b0<93.7a；b1=-1.42a-8.95；b2=a；b3=1． 可见，在参数a的范围内b1<0， 系统(1)在平衡点A处不会发生Hopf分岔，并且该平衡点是不稳定的．系统(1)在平衡点C处的系数矩阵的特征方程为

c3λ3+c2λ2+c1λ+c0=0

(4)

其中，c0=139a;c1=14-0.867a;c2=a;c3=1． 当a>0时，c1c2-c0c3<0恒成立，可知系统不会因a的变化在平衡点C处发生Hopf分岔，且平衡点C是不稳定的．系统(1)在平衡点D处的系数矩阵的特征方程为

d3λ3+d2λ2+d1λ+d0=0

(5)

(6)

e3λ3+e2λ2+e1λ+e0=0

(7)

(8)

综上所述，以a为分岔参数时系统(1)仅在平衡点D和E处发生Hopf分岔，它们的分岔临界值分别为aD=74.389 8和aE=141.464． 现以平衡点D为例来仿真，选择aD左侧数值aDL=74.289 8和右侧数值aDR=74.489 9来进行数值仿真，图3展示了aDL和aDR时的吸引子．

图3 a值为aDL和aDR时的吸引子Fig.3 Attractors for a=aDL and a=aDR

图3表明，系统在穿过参数aD=74.389 8时发生Hopf分岔，aaD时运动轨迹稳定于不动点．

3 Hopf分岔控制

Washout滤波器作为一种高通滤波器，具有保持原系统平衡点位置不变的优点，被广泛用于工业领域．本研究基于Washout滤波器对系统设计非线性控制器进行Hopf分岔控制．这里，引入新变量w并对系统(1)进行Hopf分岔控制，对原系统施加控制u并构建受控系统为

(9)

其中，滤波器常数m>0;u为控制器，

u=k1(x-mw)+k2(x-mw)3

(10)

这里，k1和k2为控制增益．由式(10)可见，新增变量w和控制u不改变原系统平衡点的位置．保持其他参数不变，以a为分岔参数，研究与D对应的平衡点D′(3.537, -1.974, -1.791, 3.537/m)的Hopf分岔．调整受控参数k1与m可改变分岔参数的临界值，实现分岔在预期位置发生．调整受控参数k2能够改变系统分岔解的稳定性与分岔方向．以下将基于高维分岔理论来分析控制器的有效性和合理性．

在平衡点D′处对受控系统线性化，得到系数矩阵的特征方程为

h4λ4+h3λ3+h2λ2+h1λ+h0=0

(11)

其中，h0=73.025 3am；h1=73.025 3a+8.952 6k1-8.952 6m+1.102am；h2=1.102a+am-8.952 6；h3=a-k1+m；h4=1． 由高维分岔理论可知，此时若要受控系统发生Hopf分岔，则参数需满足式(12)和式(13)．

hi>0，i=0, 1, 2, 3

(12)

(13)

其中，g0=1.102+m；g1=73.025 3+1.102m；g2=73.025 3m；g3=a-k1+m；g4=1.102a-8.952 63+am；g5=73.025 3a+8.952(k1-m)+1.102am；a=a0，m=m0和k1=k0是满足式(12)中的解； iv0是式(11)在参数a0，m和k0下的一个纯虚特征根．

式(12)和式(13)表明，Hopf分岔参数的临界值仅与受控参数k1和m有关，即可通过调整受控参数k1和m来实现Hopf分岔在指定位置产生．为便于确定受控参数值，可先找出满足式(12)的值，再代入式(13)验证．考虑到参数a>0，m>0， 取a∈(0, 250]，m∈(0, 5]，k1∈(50, 50]， 由式(13)绘制出符合其条件的分岔参数a和受控参数k1和m的局部曲面图和平面图，如图4．

图4 分岔参数与受控参数局部图Fig.4 Function diagrams of bifurcation parameter and controlled parameter

图4中曲面上的任意一点都满足式(12)，一般来说，在这个曲面上可以找到实现指定位置a处发生Hopf分岔的受控参数值k1和m． 继续增大k1的变化区间，可在更大的范围内调整系统的分岔临界值．表1给出了曲面上实现Hopf分岔提前和延后，且满足横截性条件式(13)的任意各一组值．

表1 参数a, k1和m的取值

进一步分析受控参数k2对受控系统分岔的方向、临界性、极限环稳定性和幅值影响．据表1选择Hopf分岔临界值a=80来研究，对比原系统可知Hopf分岔推迟．此时，受控系统在平衡点D′的特征方程(11)有一对纯虚特征根λ21=λ22=±v0i=±8.009 8i和两个负实根λ23=-1.376 1，λ24=-89.983 5． 求出λ21，λ23和λ24所对应的特征向量分别为v21=[1, -0.286 4-0.305 8i, -0.308 2+0.216 3, 0.020 6-0.121 4]T，v23=[1, -2.420 8, -3.575 3, -60.530 5]T，v24=[1, -0.028 5, 0.024 8, -0.011 3]T． 那么，对系统作如下变换

X=xD′+PZ

(14)

其中，X=[x,y,z,w]T;Z=[z1,z2,z3,z4]T;xD′=[3.537, -1.974, -1.791, 3.537/1.359 6]T;P=[Re(v21), -Im(v21),v23,v24]. 因此，可得受控系统的规范形为

(15)

其中，fi(zi,k2)为非线性函数，其表达式过于繁琐故此处不予列出．由式(15)可求出相关的必要特征量为

k2(0.059-0.723 5i)

(16)

0.062 3+0.648i

(17)

0.260 2+0.726 9i

(18)

-0.042 9+1.634i

(19)

-1.862 2+14.073i

(20)

0.133 3+1.000 3i

(21)

2.766 9+12.789 6i

(22)

0.065 8+0.125 4i

(23)

(24)

(25)

(26)

0.067-0.002 6i

(27)

g21=G21+(G110_1w11_1+G101_1w20_1+

(G110_2w11_2+G101_2w20_2)=

k2(0.059-0.723 5i)+0.005 1+

0.050 5i

(28)

k2(0.029 5-0.361 8i)-0.002 1-

0.106 3i

(29)

根据式(1)至式(28)和表1，可求出判断受控系统Hopf分岔解的稳定性指标β2和分岔方向指标μ2分别为

μ2=-Re(C)/φ′=5.321 8k2-0.375 8

(30)

β2=-2μ2φ′=0.059k2-0.004 2

(31)

其中，φ′为表1中a=80时φ′(a)对应的实部；函数β2和μ2关于参数k2的局部关系如图5．

图5 β2和μ2与k2关系的函数图Fig.5 Function diagram of β2, μ2 and k2

式(30)、式(31)和图5表明，受控系统分岔解的稳定性与分岔方向仅与非线性项的参数k2有关．一般地，为保证Hopf分岔出现稳定的周期解，即保证极限环的稳定性，应取k2<0.070 6． 此时有β2<0和μ2<0， 则受控系统会在a=a0=80处发生超临界的Hopf分岔．分岔方向为a

图6 a值为a0L和a0R时的吸引子Fig.6 Attractors with a=a0L and a=a0R

图6表明，系统在a0=80时发生Hopf分岔，对比图3可知，Hopf分岔推迟．当aa0时，系统轨道稳定于不动点．且对于a

(32)

图7给出了式(32)中函数r与参数a和k2的局部函数图．由图7可见，当参数a固定时，极限环的幅值随受控参数k2的增大而增大；当参数k2固定时，极限环的幅值随分岔参数a的增大而减小．

图8给出了受控系统在不同的k2和a值下产生的极限环．由图8可见，受控参数k2和分岔参数a能够控制极限环的幅值．综上所述，控制器能够改变分岔的临界值，分岔解的稳定性和分岔方向，证明控制器设计合理且可行．

图7 极限环幅值r与k2和a的关系图Fig.7 The relationship graph among the limit cycle amplitude r, k2 and a maximization step

图8 不同k2和b值下的极限环Fig.8 Limit cycles with different k2 and b

结 语

提出一个新的四翼混沌系统，通过混沌理论中相关的混沌判据验证了四翼系统的混沌特性．同时设计了一种非线性反馈控制器，实现了对新混沌系统的Hopf分岔控制，通过调控受控参数能够改变系统Hopf分岔的临界点到期望值，控制极限环的稳定性和幅值．