数形结合，在解决问题中有效建模

曹素萍

[摘 要]“面积的变化”是苏教版教材“分数四则混合运算”中的“动手做”的内容。学生从解决面积变化的问题开始，经历了质疑、释疑、寻理的探究规律的过程，用数形结合的思想有效构建了长方形面积变化规律的数学模型，发展了数学能力。

[关键词]数形结合;数学模型;面积的变化

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）05-0062-02

“面积的变化”这节课是苏教版教材六年级上册第五单元“分数四则混合运算”中的“动手做”的内容。目的是鼓励学生运用所学的知识探索长方形面积的变化规律，并能运用规律解决问题，同时让学生经历规律的探索过程、感受规律的奇妙，产生学习数学的兴趣。

一、解决问题，提出疑问

出示问题1：长方形的长和宽分别增加[12]，面积是原来的几分之几？

师：怎样理解“长和宽各增加[12]”？

生1：把长看作单位“1”，平均分成2份，增加的长度是其中的1份;把宽也看作单位“1”，平均分成2份，增加的长度也是其中的1份。

师：有同学把长和宽假设成具体的数来计算的吗？

生2：我把长设为2厘米，宽设为1厘米，结果算得[94]。

生3：我把长和宽分别设为5厘米和4厘米，结果也得[94]。

……

师：为什么长和宽的数字不一样，结果却是一样的呢？

【反思】为了增强学生的问题意识，激发学生的探究需求，本环节以问题为引领，让学生用设数法解答，并发现规律，提出疑问，整个过程自然且合乎情理，探究悄然发生。

二、推算释疑，感知模型

师：有了疑问要去研究。这里的长可以是6、3……宽可以是4、2……如果我们一直用具体的数字来研究，研究得完吗？

生1：研究不完。

师：那么，怎样才能概括所有的情况呢？

生2：用a表示长，b表示宽。

师生共同推算：

a×（1+ [12]）×[b×（1+[ 12]）]÷（a×b）

=a×b×（1+ [12]）×（1+[ 12]）÷（a×b）

=（1+[ 12]）×（1+ [12]）

=[94]

師：明白为什么长和宽的数据不会影响结果了吗？

生3：明白了。因为长和宽被抵消掉了。

【反思】从提出疑问到解答疑问，学生经历了从数字到字母、从具体到一般的探索过程。通过对具体情境的分析，学生初步感知了长方形面积变化规律这一数学模型。

三、画图寻理，抽象模型

师：通过刚才的推算，我们得到了解答问题1的算式。但是这样列式有没有道理呢？你有什么好的研究建议吗？

生1：可以画图研究。

师：谁愿意来画？

（学生画图，如图1）

师：你怎么知道增加的长和宽要画这么多？

生2：我把长看作单位“1”，平均分成2份，增加的长度是其中的1份;把宽也看作单位“1”，平均分成2份，增加的长度也是其中的1份。

师：从你画的图中能看出[94]这个结果吗？

生2：不能。

师：如何能更好地显示结果呢？

（生2补充画图，如图2）。

师：你们能从图中看出（1+ [12]）×（1+ [12]）这个算式的道理吗？

生3：长增加[12] ，现在的长就是原来的（1+ [12]），同理，现在的宽也是原来的（1+[ 12]），现在的面积就是原来的（1+ [12]）×（1+ [12]），也就是[94]。

出示问题2：长方形的长增加[12]，宽增加[14]，面积是原来的几分之几？

出示问题3：长方形的长增加[12]，宽减少[14]，面积是原来的几分之几？

师：你能用一个式子来概括长方形面积的变化规律吗？

生4：（1± [1a]）×（1± [1b]）。

【反思】小学生的思维多停留在直觉思维层面，因此教师只有引导学生由表及里发现数学本质规律， 才能让学生的数学能力产生质的飞跃。本环节“以形助数”，既诠释了算式推导的合理性，同时借助图形抽象出了长方形面积变化规律这一数学模型。

四、追本溯源，理解模型

（让学生观察分析上面3个问题中长和宽的变化）

生1：在问题1中，现在的长是原来的[32]，现在的宽是原来的[32]，现在的面积就是原来的[94]。（教师板书：[32][、32、][94]）

生2：在问题2中，现在的长是原来的[32]，现在的宽是原来的[54]，现在的面积就是原来的[158]。（教师板书：[32][、54][、158]）

（全班学生一起分析问题3，教师板书：[32][、34][、98]）

（小组讨论长宽变化与面积变化的关系）

生3：长是原来的[32]，面积就是原来的[32];宽是原来的[32]，面积又是原来的[32];那么现在的面积就是原来的[32] × [32]，就是[94]。（教师板书：[32] × [32]）

（学生继续分析后两个长方形面积的变化。教师板书：[32 ]×[54]、[32]×[34]）

师：原来在长、宽、面积的变化中还隐含着乘数和积的变化。今天我们研究的面积变化，看起来是新知识，其实还是积的变化规律的运用。

【反思】学生发现长方形面积的变化规律并不难，只要寻到规律这一模型的“理”，客观存在的规律就能内化为思维的内在规律。本环节继续“以数解形”，从数的运算的角度找到了模型的“理”——积的变化规律。既加深了学生对长方形面积变化规律这一数学模型的理解，为后面正确、灵活地运用模型解题打下了坚实的基础，又让学生感受到了数形结合发现数学奥秘的乐趣。

五、迁移应用，拓展模型

师：接下来让我们举一反三，解决其他图形的类似问题。

出示问题4：三角形的底增加[12]，宽减少[14]，面积是原来的几分之几？

出示问题5：正方体的棱长增加[13]，体积是原来的几分之几？

师：三角形的面积变化要考虑除以2吗？

生1：不需要。在三角形面积公式中，“÷2”这一部分是不变的。

师：表示正方体的体积变化为什么需要3个（1+[13]）相乘？

生2：因为正方体的体积是3条棱长相乘的积。

【反思】规律的教学绝不应止步于规律的总结，还要让学生学会运用规律去解决其他问题。在运用的过程中，对三角形面积和正方体体积的变化规律的新发现又丰富和拓展了学生的已掌握模型。这时，留在学生头脑中的不再是干巴巴的、形式化的数学，而是立体的、动态的数学，这样的建模过程才是有效的。

六、研究回顾，总结收获

师：今天我们都研究了什么？是怎么研究的？

师：把长和宽看作具体的数字或用字母表示，推算面积的变化规律，这是“数”的研究;用图形研究算式的道理，是“形”的研究;最后发现变化的本质原来就是积的变化规律，又回到了“数”的研究。从“数”到“形”再到“数”的研究方式就叫“数形结合”。今后，我们还可以用这种方法去研究更多的数学问题。

【反思】探索规律的教学不同于概念或计算的教学，教学目标不止掌握规律本身，而需将探索规律过程中的各种经历、体验、感悟视作更重要的目标。“研究回顾”是让学生重温探索经历、积累数学探索经验的重要环节。“数→形→数”既是对建模（探究）过程的概括，也是数学思想方法的提炼，更是学生所学知识被遗忘后仍能保留下来的精髓。

（责编 罗 艳）