“天平砝码称重问题”的进制解法

管景强

[摘 要]“天平砝码称重问题”除了可以运用尝试列举法分析解决外，还可以引入二进制和三进制来解决。根据天平单边放砝码称重和两边放砝码称重两种不同情况，将所要称出的质量转化为相应的二进制数和三进制数的位权展开式，通过分析位权展开式中的位权个数及每一位的位权，就可以明确砝码的具体摆法，得出最少需要砝码的个数及砝码的质量。

[关键词]天平;砝码称重;二进制;三进制;位权展开式

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）05-0028-02

解决“天平砝码称重问题”时，可以采用尝试列举法来得出所需砝码的质量。实际上，我们还可以从砝码的摆法入手，引入二进制和三进制来迅速解决问题。

一、天平单边放砝码称重

【例1】在天平左边放砝码，右边放物体称质量，最少应该准备几个砝码，就能称出1克到15克的所有整克数的质量？这几个砝码分别是多少克？

我们可以从称1克的物体入手，列表分析：

由上表可以知道，最少应该准备4个砝码，分别是1克、2克、4克、8克的各1个。到这里，善于思考的学生可能会有两个疑问：1.称1克到15克的质量为什么最少需要4个砝码？2.所需砝码的质量为什么均形如[2n]克？如1克、2克、4克、8克，分别对应[20]克、[21]克、[22]克、[23]克。下面就从砝码的摆法来讨论。

1.称1克到15克的质量为什么最少需要4个砝码？

对于砝码 a1来说，由于只能放在天平的一边，所以只有放在盘中与放在盘外两种不同摆法（如下图）。当砝码a1放在盘中时，砝码a1参与称重，可以称出砝码a1本身的质量;当砝码a1放在盘外时，砝码a1不参与称重，称出的质量可以看成0克。如果有n个砝码，每个砝码都有放在盘中与放在盘外两种不同摆法，根据乘法原理，n个砝码就有[2n]种不同摆法。去掉所有砝码都放在盘外的摆法（这种摆法称重为0克），那么n个砝码就有（[2n]-1）种不同摆法。

当砝码的质量各不相等且任意一个砝码的质量都不等于其他两个或几个砝码的质量的和时，不同摆法称出的质量也都不相同。这时，（[2n]-1）种不同摆法可以称出（[2n]-1）种不同质量，不同摆法数等于能称出的不同质量数。

当砝码的质量不满足“各不相等且任意一个砝码的质量都不等于其他两个或几个砝码的质量的和”时，就会出现不同摆法可以称出同一种质量。这时，（[2n]-1）种不同摆法可以称出的不同质量数小于（[2n]-1）种，不同摆法数大于能称出的不同质量数。

综上，不同摆法数大于或等于能称出的不同质量数。本例中要求称出1克到15克共15种不同的质量，那么[2n]-1≥15。解得n≥4，所以最少需要4个砝码。

2.所需砝码的质量为什么均形如[2n]克？

设要称的物体的质量为y克，所需砝码的质量分别为a1、a2、a3……an克，那么对于y克这个质量，一定有一种摆法与它对应。由此可以得到下面的式子：

y=（ ）×a1+（ ）×a2+（ ）×a3+…+（ ）×an

其中（ ）×a1表示砝码a1摆放好所称出的质量，（ ）×a2表示砝码a2摆放好所称出的质量，（ ）×a3表示砝码a3摆放好所称出的质量……（ ）×an表示砝码an摆放好所称出的质量。而每部分（ ）里的数只有1和0两种可能，当（ ）里是1时，表示将这个砝码放在盘中，砝码参与称重;当（ ）里是0时，表示将这个砝码放在盤外，砝码不参与称重。

由于（ ）里只能是1或0，所以y=（ ）×a1+（ ）×a2+（ ）×a3+…+（   ）×an，实际上就是把十进制数y转化成二进制数的位权展开式。把1克到15克分别转化为二进制数的位权展开式，就得到它们各自天平左边需要放入的砝码质量（见下表）。

从表中可以看出，所需砝码的质量都是二进制数位权展开式中的位权，所以均形如[2n]克。

从砝码的摆法入手，利用不同摆法与所称出质量之间的关系先求出最少需要砝码的个数，接着通过砝码的摆法引入二进制来求出所需砝码的质量。实际上，最少需要砝码的个数和所需砝码的质量通过“（[15]）10=（[1111]）2=1×[23]+1×[22]+1×[21]+1×[20]”就可以得到。上式中，最重的15克转化为二进制数的位权展开式后有4个位权，分别是[23]、[22]、[21]、[20]，那么1克到14克转化为二进制数的位权展开式后的位权肯定不会超过4个，所以最少需要砝码的个数就是位权数4，而位权[23]、[22]、[21]、[20]就是所需砝码的质量。

二、天平两边放砝码称重

【例2】一台天平要称出质量为1克、2克……69克的物品，允许在天平两边都放砝码，最少要准备几个砝码？这几个砝码分别是多少克？

当天平单边放砝码称重时，可以引入二进制来解决。那么天平两边放砝码称重，可以引入几进制来解决呢？不妨顺着例1的思路继续从砝码的摆法入手，先求出最少需要几个砝码。

由于砝码a1可以放在天平的两边，所以它有放在左盘中、放在右盘中、放在盘外三种不同摆法（如下图）。如果有n个砝码，根据乘法原理，n个砝码就有[3n]种不同摆法。去掉所有砝码都放在盘外的摆法（这种摆法称重为0克），那么n个砝码就有（[3n]-1）种不同摆法。又因为天平是对称的，如果把天平左右两盘放置的东西对换，这两种摆法称的是同一种质量，所以n个砝码可以看成有（[3n]-1）/2种不同摆法。

根据不同摆法与所称出质量之间的关系，不同摆法数大于或等于能称出的不同质量数（当每个砝码的质量各不相等且任意一个砝码的质量都不等于其他两个或几个砝码的质量的和或差时，（[3n]-1）/2种不同摆法可以称出（[3n]-1）/2种不同质量），所以（[3n]-1）/2≥69。解得n≥5，所以最少需要5个砝码。

继续设要称的物品的质量为y克，需要砝码的质量分别为a1、a2、a3……an克，那么对于y克这个质量，同样可以得到下面的式子：

其中（ ）×a1表示砝码a1摆放好所称出的质量，（ ）×a2表示砝码a2摆放好所称出的质量，（ ）×a3表示砝码a3摆放好所称出的质量……（ ）×an表示砝码an摆放好所称出的质量。而每部分（ ）里的数有三种可能，分别是1、0、-1。当（ ）里是1时，表示将这个砝码放在左盘中，砝码参与称重;当（ ）里是0时，表示将这个砝码放在盘外，砝码不参与称重;当（ ）里是-1时，表示将这个砝码放在右盘中，砝码参与称重。

由于（）里只能是1、0或-1，所以y=（ ）×a1+（ ）×a2+（ ）×a3+…+（ ）×an，实际上就是把十进制数y转化成三进制数的位权展开式。需要注意的是，三进制一般有两种表现形式：一种是以0、1、2为数码的普通三进制;另一种是以1、0、-1为数码的对称三进制。这里应该转化成对称三进制，因为在天平的左、右盘中都放上砝码时，所称出的物品质量应该等于两边的砝码质量相减，所以（ ）里要用到1和-1。下面将本例中最重的69克转化成对称三进制数的位权展开式。

由上式可得，要称出最重的69克，需要把[34]克的砝码放在天平的左盘，把[32]克、[31]克的砝码放在天平的右盘，把[33]克、[30]克的砝码放在盘外，即81克的砝码放在天平的左盤，9克、3克的砝码放在天平的右盘，27克、1克的砝码不放。这时81-12=69，即可称出69克的质量。同理，1克到68克也可以通过把十进制数转化成对称三进制数的位权展开式来得到相应的砝码摆法，且它们对应的三进制数的位权展开式的位权肯定不会超过5个。因此，最少需要砝码的个数就是这里的位权数5，而位权[34]、[33]、[32]、[31]、[30]就是所需砝码的质量。此外，[34]克、[33]克、[32]克、[31]克、[30]克这5个砝码最少可以称1克（1×[30]=1）的质量，最多可以称121克（1×[34]+1×[33]+1×[32]+1×[31]+1×[30]=121）的质量。

综上所述，解决“天平砝码称重问题”可以从砝码的摆法入手，将所要称出的最重质量转化为二进制数（天平单边放砝码称重）或三进制数（天平两边放砝码称重）的位权展开式，位权个数就是最少需要砝码的个数，而每一个位权就是所需砝码的质量。

（责编 吴美玲）