活用相似三角形中的对应高

王小华

相似三角形是几何中重要的模型之一，是全等三角形的推广，是三角形知识体系中不可或缺的组成部分，在实际问题中的应用也非常广泛。下面老师结合例题，介绍相似三角形性质之一“相似三角形对应线段（对应边上高）的比等于相似比”的应用，供大家参考。

类型一：A字型

例1 如图1，AF是△ABC的高，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，DE交AF于点G。设DE=6，BC=10，GF=5，求点A到DE、BC的距离。

【分析】本题是相似三角形中典型的“A字型”图形，易得△ADE-△ABC，利用相似三角形對应线段（对应边上高）的比等于相似比，可得AG/AF=DE/BC

解：∵DE∥BC，∠AFB=90°，

得∠A GD=90°，即AG⊥DE。

∵DE∥BC，

∴△A DE-△ABC.

∴AG/AF=DE/BC

即AG/AG+5=3/5，

解得AG=7.5，则AF=A G+5=12.5，

即点A到DE、BC的距离分别为7.5、12.5。

【点评】在应用相似三角形的性质解题时，同学们比较熟悉的性质是对应角相等、对应边成比例，而对相似三角形中“对应高的比等于相似比”则不太熟悉。

例2 如图2，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于点E。设BC=48，AD=16，PQ：PN=5：9，求矩形PQMN的面积。

【分析】本题仍是相似三角形中典型的“A字型”图形，易得△APN-△ABC，可得BC= AD，其中还渗透着方程思想。

解：设PQ=5x，则PN=9x，

根据题意，得PN/BC= AE/AD，

即9x=16 - 5x/16，

解得x=2，

∴PQ=10，PN=18，

∴矩形PQMN的面积=18x10=180。

答：矩形PQMN的面积为180。

【点评】在解决相似三角形内接四边形问题时，我们一定要注意相似三角形中对应高的使用。

类型二：X字型

例3 如图3为小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，蜡烛AB在暗盒中所成像CD的高度是多少？

【分析】本题是相似三角形中典型的“X字型”图形，易得△ABO-△CDO。

解：∵AB∥CD，

∴∠ABO=∠ODC，∠BAO=∠OCD，

∴△AOB-△COD.

∴AB/CD=12/2

解得CD=1。

答：CD的高度是lcm。

【点评】此题是物理知识在数学中使用的常规题，借助相似三角形对应高的比与三角形的边长比的关系，可快速得出答案。

实践证明，相似三角形的应用是同学们学习相似三角形整章的重点，更是难点。希望同学们通过上述几个简单基本模型，能领悟相似三角形的对应边上高的运用技巧，大胆去挑战相似三角形与实际生活相结合的应用性问题。

（作者单位：江苏省常州市金坛区岸头实验学校）