解读相似三角形经典图形

陈丽萍

在相似三角形的图形世界里有很多经典图形，比如X型，反X型;A型，反A型;旋转型;母子型;K型……这些都是相似三角形题目里经常出现的“老面孔”。这里让我们再次与A型相遇相识。

先认识一下A型的几种基本图形：

A型：如图1，当DE∥BC时，△ADE-△ABC。

反A型：如图2，当DE不平行于BC时，△ADE-△ACB。

反A特殊型：如图3，当CE不平行于BC，△AEC与△ACB有公用边AC时，△AEC一△ACB，有时也称之为“母子”型。

它们的共同特征是两个三角形共用一个角，整体看上去像大写的字母A，所以就称之为A型。而在此经典问题中，常常因为条件（对应角或者对应边）的不确定性而需要对研究的问题加以讨论，现举例说明。

一、A型和反A型

例1 如图4，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=_______。

【分析】这两个三角形共用∠A，夹∠A的对应边又在同一条直线上，所以如果使用判定相似的方法应该是“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。但是夹着∠A的两边的对应关系不确定，所以要分两种情况，可能是A型，也有可能是反A型。

解：（第一种情况）如图5，要使△ABC-△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=8。

（第二种情况）如图6，要使△ABC-△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=3/2

故AE的长为8/3或3/2。

【变式】如图7，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以lcm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t=____时，△CPQ与△CBA相似。

【分析】这道题的本质与上一道题是一样的，只不过让P、Q两个点在边BC和AC上运动起来了。夹着∠C的两条边的对应情况不明确，所以也是可能会出现两种情况：A型相似和反A型相似。

解：设运动时间为ts，则线段PC的长可以表示为16-2t，线段CQ的长可以表示为t。

（第一种情况）如图8，要使△ABC-△QPC，∠C为公共角，BC： PC=AC： QC，即16：（ 16-2t）=12：t，∴t=24/5。

（第二种1青况）如图9，要使△ABC-△PQC，∠C为公共角，BC： CQ=AC： PC，即16： t=12：（16-2t），∴t=64/11。 这两种结果都符合实际情况，故t=24/5s或64/11s时，△CPQ与△CBA相似。

二、反A特殊型

反A特殊型中的两个相似三角形拥有一个公共角，一条公共边，所以这样的两个三角形反而比较难以观察到。

例2 如图10，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是____。

【分析】对于添加条件使得两个三角形相似的题，我们首先得明确这两个三角形已经具备了什么条件。从题中我们知道△ABC和△DBA具有公共角∠B，公共边AB，且这条公共边不可能是对应边。既然有∠B=∠B，所以夹∠B的边应该是AB对应BC，BD对应AB，所以这种图形属于反A型中比较特殊的有公用边的情况——反A特殊型。

解：如果想用“两边对应成比例且夹角相等”来判定两个三角形相似的话，就添加AB/BC=BD/AB;如果想用“两个角相等的两个三角形相似”来判定的话，就可以添加∠A DB=∠BAC或者是∠BA D=∠C。

故共有三种不同的添加方案：①BC=BD/AB;②∠ADB=∠BAc;③∠BA D=∠C。

【变式】在△ABC中，∠A CB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一动点D，连接AD、BD、CD，则2/3AD+BD的最小值为多少？

【分析】一般在求线段的和的最小值问题时，会将这两条或者几条线段拼接在一条直线上，利用“两点之间，线段最短”為依据来解决。这里的难点是2/3AD是哪条线段呢？还要将2/3AD与BD进行拼接。我们关注到CD=6，AC=9，CD：AC刚好是2：3，所以可以在AC上取一点E，连接DE，构建△CDE，使得△CDE与△CDA成为反A特殊型，这样DE就是2/3AD了。那么要使2/3AD与BD的和最短，就应该连接BE，利用“两点之间，线段最短”来解决就可以了。

解：如图12，在AC上取点E，使得CE=4，连接EB交⊙C于点D。因为CE：CD=CD： CA，∠ECD=∠DCA，所以△CED-△CDA，所以DE=2/3AD。那么2/3AD+BD的最小值就是线段EB的长。在Rt△CEB中，CE=4，BC=12，所以利用勾股定理可以求出BE=410。

所以2/3D+BD的最小值为410。

（作者单位：江苏省常州市金坛区朱林中学）