在比较中生成概念，在变化中理解概念

仇燕萍

【关键词】数学概念;比较;变化;抽象;理解

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）86-0061-02

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，是一种数学思维形式。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和基本技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。但数学概念一般都比较抽象，这与小学生更容易理解依托具体形象思维展开的知识点之间存在着一定的矛盾。如何有效解决这个矛盾，帮助学生准确理解数学概念呢？本文借助苏教版三上“倍”的概念教学课例进行研究和分析。这是一节典型的概念学习课，要想理解和掌握“倍”的概念，最关键的就是要找到它的本质，这就需要教师引导学生既掌握“倍”的内涵又理解“倍”的外延，如此，在教学过程中为学生提供这样的学习路径和方法就显得尤为重要。

一、迁移经验，初步感悟“倍”的来龙去脉

“倍”是小学数学中的一个基本概念，也是一个起始性的概念。它是从哪里来的呢？它是从“几个几”中逐步抽象和衍生出来的，其生长点在于乘法的意义。它又要到哪里去呢？它是帮助学生理解除法的意义，学习分数、百分数、比等一系列数学问题的基础。可见，它在整个小学阶段有着非常重要的地位。鉴于此，教学“倍”时，教师就可以通过引导学生复习乘法的意义、回忆求几个几的方法来引入新课。

二、比较概念，探寻“倍”的本质

数学是研究数量关系与空间形式的学科，而研究数量关系是从两个量的比较开始的。“倍”这一概念就是通过两个量的比较而产生的，它的本质就是一种比率。在小学阶段，两个量的比较不仅有倍比这种情况，还有差比。差比研究的是一个量比另一个量多（少）多少，主要通过加、减法来实现;而倍比研究的是一个量中包含几个另一个量，主要通过乘、除法来实现。从表面上看，两者只是计算方法不同，但它们之间有着本质的区别。让学生充分认识差比和倍比的不同点，在解决实际问题时能准确地做出判断和选择，至关重要。

教学时，可以先将三种颜色（例题所画的红、黄、蓝）的花进行差比，让学生通过观察发现，无论哪两个量放在一起差比，结果都是求出两个数据之间相差的那一部分，也就是多了多少或少了多少。然后让学生尝试将两个量进行倍比，在学生比较的过程中，教师一定要强调哪个量是标准量，哪个量是比较量，也就是找准把谁看作一份。在以后的学习中，学生会慢慢发现，“倍”的认识并不是今天直观上看到的大数除以小数，而是标准量不同，比较出来的结果就不同。

三、反复变化，自主建构“倍”的核心内涵

前面已经提到，“倍”是通过比较产生的。因此，如何比较、谁跟谁比就是“倍”的核心内涵;让学生通过一次次比较构建出“倍”的概念模型，逐步实现从形象到抽象、从生活化的懵懂到数学上的准确理解，就成了教學的重点。笔者在教学中设计了四次变化，层层推进教学过程。

第一次变化，先是6朵红花和2朵蓝花进行比较，然后是8朵红花和2朵蓝花进行比较，通过一系列追问引发学生思考：为什么一个是3倍，一个是4倍？学生很容易发现都是和2比较，红花的数量变了，所以两种花之间的倍数关系也变了。之后，继续让学生思考：多出来的这1倍是几朵红花？为什么是2朵？促使学生把观察思考的重点在标准量和比较量之间反复转移，反复理解。这一环节，让学生通过辨析和比较，体会标准量不变、比较量变化是如何引起倍数关系变化的，使他们在潜移默化中准确建立倍的概念模型。

第二次变化，是8朵红花和4朵蓝花进行比较，引发学生思考：都是8朵红花在和蓝花进行比较，为什么一个是4倍，一个是2倍？启发学生再次将观察的重点放在标准量上。学生通过观察比较发现，蓝花的数量变了，所以两种花之间的倍数关系也变了。这一环节，让学生通过比较和辨析深刻理解“倍”的概念模型，体会到标准量变化、比较量不变同样会引起倍数关系的变化，对概念的理解又加深了一步。

第三次变化，是提供一定数量的两种图形，让学生始终摆出两种图形的3倍关系，促进他们通过思考、交流、操作、观察进一步扩展“倍”的概念外延。这一环节，将标准量和比较量的决定权都交给学生，让他们自主探究不断变化中的数量之间的倍数关系。

第四次变化，是让学生认识到两数之间的倍比除了整倍数关系，还有可能是有余数的情况。当然，“有余数的除法”这一知识点还没学习，所以对学生的计算方法和表述都不作要求，仅让学生借助线段图准确表述出两个量之间的关系是几倍多几，或者几倍少几。这一环节，通过比较整倍数关系和不能整除时该如何描述两数间的关系，使“倍”概念的学习在更高层次上得到延伸和拓展。

上述教学环节的设计由简单到复杂，环环紧扣，层层深入，让学生通过比较和思考，逐步建构出“倍”的表象，抽象出“倍”的概念，理解“倍”的内涵，最终把握“倍”的实质。这无论是对小学阶段的数学概念学习，还是对初中的函数学习来说，都是一种非常有效的方法。

（作者单位：江苏省苏州科技城外国语学校）

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