借助几何直观，将几何探究引向深入(1)

方成勇 郭海英

摘 要：几何探究教学是初中数学课堂教学难点，往往出现意味追求速度，学生简单进行模仿，缺乏发现、提出问题的意识能力.教学实践说明，通过有意识地关注学生思考难点，有逻辑组织学生展开几何探究，借助几何直观的优势，引导学生进行类比、直观体验，测量感知，给予学生充分机会去发现、提出问题，引导学生分析、解决问题并优化过程，激发学生自主探究的活力.

关键词：几何探究;几何直观;类比

1 理念重构与优化

1.1概念界定

几何直观，即指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力.

2 实践研究

在了解了相关教材对比之后，结合教科书与学生实际情况，进行了本节课的教学设计与实施。基于教学目标的可测性，设计本节课目标如下：

本节课的数学思想方法是类比思想，类比平行四边形边、角性质的研究思路，通过分析发现组成要素间的大小关系、位置关系（即对角线与对角线的大小关系、位置关系），并进一步分析组成要素与相关要素的关系（即边与对角线的关系），从合作探究中经历度量、观察、实验，从几个具体四边形中发现共性，再推广到一般，利用特殊到一般的思路将归纳出平行四边形对角线的性质.

2.1分析学习的起点：类比研究，确定路径

通过提问平行四边形的性质有哪些、如何对这些性质展开研究的，获得了研究几何一般思路：先对要研究的对象进行观察（比如观察角的大小、边的长短），然后发现它们之间的关系，利用度量验证关系写出猜想，最后对猜想进行證明.简单的说研究几何性质的步骤就是：①确定研究对象;②观察（数量关系与位置关系）;③度量与猜想;⑤证明获得性质.

【评析】通过对平行四边形从边、角性质研究方法的归纳，学生经历图形性质完整的探究过程， 体会到几何图形性质研究的基本思路与方法，为对角线性质研究展开奠定方法基础，增强学习的预见性与主动性.

2.2确定研究的对象：直观体验，测量感知

类比平行四边形边角的性质研究，确定了研究对象为对角线，根据定义任意画一个平行四边形ABCD，连接AC与BD，思考对角线AC，BD该如何展开研究，写下你要研究的对象并说说你的发现.

教学片段：

通过回顾全等三角形性质中里研究了边的关系后，还研究了边上的中线、高线等相关要素的关系.除了研究对角线本身，我们还可以研究对角线和哪些量的关系，如图5由学生提出问题，通过讨论获得相应结论.

生7：我的问题是对角线BD与边AD，AB有什么关系？即一条对角线与两邻边关系.

生7：AC+BD>2AD，∵AO+DO>AD，AC=2AO，BD=2BO ∴AC+BD>2AD.

生8：我的问题是对角线AC，BD与边AD有什么关系？即两条对角线与一边关系.

生8：过点C作CE//BD，交AD延长线于点E，在□ABCD中AD//BC，AD=BC

∵CE//BD，CB//ED，∴四边形BCED为平行四边形，即BD=CE，BC=DE，∴AC+BD>2AD.

生9：我的问题是△AOD，△COB，△DOC，△BOA四个三角形面积、周长有什么关系？

生9：四个三角形面积都相等，因为等底同高;周长相差的值就是边长相差值.

【评析】从组成要素对角线展开探究到和对角线相关的要素之间关系的探究，不断经历

几何图形性质研究的一般思路，借助几何直观体会在从组成要素到相关要素之间存在千丝万缕联系.在对相关要素性质研究中不断地将问题转化为组成要素的关系，应用对角线互相平分的性质进行证明和应用，加深对性质的理解.

2.3根据重点的落实，由静及动，拓展延伸

例题所蕴含的本质规律有助于学生形成正确思维方式，通过变式练习和几何画板展示，在变化过程中探求不变的本质，展开逻辑地思考，使学生在认识上发生质的飞跃.

例1 如图7，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O.过点O作直线EF分别交AB，CD于点E，F. 求证：OE=OF

生10：要证OE=OF，即证明三角形全等，只需找到OE，OF所在的三角形即可.

如在△DOE和△BOF中，在平行四边形ABCD中，OD=OB，CD//AB，所以∠ODE=∠OBF，

∠DOE=∠BOF，所以△DOE≌△BOF（AAS），在△COE和△AOF中同理可得.

追问：如图8，当E点在直线CD上运动，结论还成立吗？为什么？

生10：仍然成立，由平行四边形对角线互相平分得AO=CO，所以△DOE≌△BOF仍然成立.

追问：除了EO=FO，还能得到哪些结论？

生11：同理得GO=HO，还可以得到FG=HE.

【评析】基于学生的最近发展区，符合学生的阶段认知特点，从“静止”到“运动”，不同角度对例题进行了拓展延伸，牢牢抓住了点E与点F关于点O中心对称.通过拓展延伸，加深学生对同类问题深层次理解，体会变化过程中不变的关系，做到知其然，并知其所以然.

3实践反思

3.1关注学生问题是驱动深入探究的动力

《课标》特别强调：“在日常教学活动中，教师应努力挖掘教学内容中可能蕴含的与四个方面目标有关的教学价值。”在日常教学中我们往往会忽略一些有价值的资源，而对于这些具有价值的资源，我们有必要将其重新回归课堂.本课探究就是取材于学生在八年级下学习平行四边形性质3时学生遇到的遇到的疑问：为什么连接AC，BD后直接研究OA与OC，OB与OD是否相等？连接对角线后除了对角线互相平分还有其他的性质吗？

这两个问题的思考就要求教师引导学生借助几何直观有逻辑进行思考、分析，获取研究对象，同时在探究展开时有系统方法的指导，搞清楚这两个问题对于学生在之后几何研究具有重要的指导意义.

3.2关注数学活动经验的积累是激发深入探究的活力

《课标》强调：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。”深度探究就是让学生经历操作、思考、推理、反思等过程，对数学知识加以领会和感悟，积累分析和解决问题的基本经验，进而将这些经验迁移应用到后续的数学学习中.而这些经验的取得必须经历大量的数学活动.

3.3关注学生的感悟是落实深入探究结果的内核

悟是学生对问题的理解最好的状态，通过润物细无声式的感受与思考，才能促进数学思维的发展和素养的提升.本节课为学生搭建了许多悟的时机，在学习起点处通过回顾感悟几何性质研究一般路径：借助几何直观获得研究对象，通过观察、测量、猜想、证明获得性质，在例1和例2后通过感悟得到解决四边形问题的基本思路：将四边形问题转化成三角形问题.通过教师适时追问引导、生生互动，帮助学生及时感悟、内化.

总之，借助几何直观为了让学生有更直观、更整体的体验，把握几何研究一般思路，遵循学生的个性特征，让学生经历问题的发现、提出、分析、解决、优化的过程，学会思考、学会学习.

参考文献：

[1]王希平.重视几何直观 揭示几何图形性质[J].数学通报，2005（2）：13-14.

[2]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011 年版）[M]北京： 北京师范 大学出版社，2012.

[3]章建跃.章建跃教育随想录（上卷）[M].浙江：浙江教育出版社，2017.402-403.

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