高考中“比较大小”常见解题策略
2021-03-11戴璐关礼杰
戴璐 关礼杰
摘 要:比较几个数的大小是高中数学选择填空中常见题型,近几年高考全国卷中考察较多,并且难度有逐年上升趋势。2021年全国一卷的“比较大小”有一定难度,也有新意。客观题遇到比较大小的问题,一般可以按顺序用基本初等函数性质法、中间值法、基本不等式法、构造函数法这四类方法进行探究。
关键词:比较大小;基本初等函数性质法;中间值法;基本不等式法;同构法;变量替换构造函数法
比较几个数的大小是高中数学中常见题型,近几年高考全国卷中考察较多。2021年全国一卷中再此出现,并且难度有上升趋势,本文想对此类题型进行一个梳理。(近三年分别出现在2019全国卷Ⅰ(文/理3),卷Ⅱ(文/理6),2020全国卷Ⅰ(理12),卷Ⅱ(理11),卷Ⅲ(文10/理12),2021全国卷Ⅰ(理12)中。)
一、基本初等函数性质法
这类题型一般比较简单,主要考察基本初等函数的单调性。是我们的首选思路。
例1、(2016全国卷Ⅲ理6)已知,,,则( )
(A) (B)(C)(D)
二、中间值法
如果无法利用基本初等函数单调性判断两个数的大小,一般会考虑能否找到两个数的中间值。
例2、(2019全国卷Ⅰ理/文3)
已知,则( )
A. B. C. D.
本题任意两个数都不是同一个函数中的数值。所以立刻考虑找中间值判断大小,这个题目比较简单,中间值是常见的0和1。
例3、(2020全国卷Ⅲ理12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b
例3不像例2的中间值那么明显,但只要想到中间值法,此题的中间值是比较容易看出来的,可以解决本题中b和c的大小。
三、基本不等式法
在上面的例3中,可以用基本不等式法解决剩余问题。
综上,答案:A
四、构造函数法
以上各种方法都不奏效时,就应该想到构造函数法,这种题型往往有一定难度,2020和2021高考均对其进行考察。
1.同构法
地位同等要同构,主要针对多变量.地位同等的几个变量构成的等式或不等式整理后具有结构一致性时,我们要考虑构造函数,利用其单调性解决问题。
例4、(2020年全国卷Ⅰ理12)若,则
( )
A. B. C. D.
答案:B
例5、(2020年全国卷Ⅱ理11)若2x-2y<3−x-3−y,则
( )
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln∣x-y∣>0 D.ln∣x-y∣<0
答案:A
2、变量替换构造函数法
比较大小的几个数值中如果有共同的量,可以考虑通过变量替换的方式来构造函数,再通过函数单调性比较大小。
例6、(2021年全国券Ⅰ理12)
答案:B
客观题遇到比较大小的问题,一般可以按顺序用以上四类方法一一探究。其中构造函数法题型多样复杂,近两年高考中多次出现,还需深入学习方能掌握。
参考文献:
[1]2016高考数学全国Ⅲ卷[Z].
[2]2019高考数学全国Ⅰ卷[Z].
[3]2020高考数学全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷[Z].
[4]2021高考數学全国Ⅰ卷[Z].
课题名称:基于学科核心素养的高中数学深度学习的教学策略研究,课题号:JK20036
3828500338210