探究高考数列题目的“题根”

张小刚

摘 要：数列旨在研究数的规律，是培养学生逻辑思维的重要知识版块，而高中数学主要研究两类特殊数列，即等差数列和等比数列，让学生通过这两类特殊数列打开对数列的认知。数列作为高中数学核心内容，也是高考热频考点，纵观近几年高考中数列的相关题目，考察形式丰富多彩，结合数学文化进行创新，将“数列”进行重新包装，给很多学生造成了极大的困扰，本文旨在结合人教A版习题和高考题目对数列考察题目进行深度挖掘，找到这些题目的源头，即“题根”，揭开笼罩在这些题目上面的面纱，让学生寻根解题，不再盲目。

关键词：高中数学;等差数列;等比数列;题根教学

数列是高中数学的核心内容之一，同时作为高考热考考点之一，会结合数学文化以不同的“面貌”走到考生面前，但考察的核心内容并未改变，从而达到提升学生的核心素养，培养学生的创新意识，提高学生的综合能力。考查的题目普遍呈现为中等题目，但对于南疆大部分学生还是很有挑战性，所以决定将数列的考察类型进行整理，形成体系化的内容，让学生在看到题目以后明确如何思考，如何寻找突破口，进而解决问题。就在此期间有幸听了一位援疆老师的讲座，在讲座期间提到了题根教学，这是我第一次听到这个词语——“题根教学”，新鲜之余我就想到了数列，何不就此契机尝试做一下数列通项求解的题根教学，后来就展开了寻根之旅。寻根主要是争对教材的例题，然后铺开到高考题目，这样就是本着“教材为根，高考為树，开花结果”的原则进行的。以下就是我形成的成果：

【题根与题源】

1.（必修5P50例2）根据图2.4-2中的框图（图略，教材中的图），写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗？

2.（必修5P69B6）已知数列{an}中，a1=5，a2=2，且an=2an-1+3an-2（n≥3）.对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？

【试题评析】

（1）题目以程序框图为载体给出递推数列{an}，其中a1=1，an=an-1（n>1）。进而由递推公式写出前5项，并利用定义判断数列{an}是等比数列。

（2）题目以递推形式给出数列，构造数列模型bn=an+an-1（n≥2），cn=an-3an-1（n≥2），利用等比数列定义不难得到{bn}，{cn}是等比数列，进而求出数列{an}的通项公式。

两题均从递推关系入手，考查等比数列的判定和通项公式的求解，突显数学运算与逻辑推理等数学核心素养.

【教材拓展】

1： （2019·郑州模拟）已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2）.

（1）求证：{an+1+2an}是等比数列;

（2）求数列{an}的通项公式。

解：（1）证明 因为an+1=an+6an-1（n≥2），

所以an+1+2an=3an+6an-1=3（an+2an-1）（n≥2）.

因为a1=5，a2=5，

所以a2+2a1=15，

所以an+2an-1≠0（n≥2），

所以数列{an+1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列。

（2）解：由（1）得an+1+2an=15×3n-1=5×3n，

则an+1=-2an+5×3n，

所以an+1-3n+1=-2（an-3n）.

又因为a1-3=2，所以an-3n≠0，

所以{an-3n}是以2为首项，-2为公比的等比数列.

所以an-3n=2×（-2）n-1，

故an=2×（-2）n-1+3n。

分析：通过递推关系进行构造，找到了新的等比数列{an+1+2an}，进而对此题目进行突破，最后的落脚点还是回到了等比数列的定义以及通项公式的求解，所以“根”即为等比数列。

2： （2019·芜湖调研）已知数列{an}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项。

（1）求数列{an}的通项公式;

（2）设bn=2log2an-1，求数列{anbn}的前n项和Tn。

解：（1）设数列{an}的公比为q，

因为a2=4，所以a3=4q，a4=4q2.

因为a3+2是a2和a4的等差中项，

所以2（a3+2）=a2+a4.

即2（4q+2）=4+4q2，化简得q2-2q=0.

因为公比q≠0，所以q=2.

所以an=a2qn-2=4×2n-2=2n（n∈N*）.

（2）因为an=2n，所以bn=2log2an-1=2n-1，

所以anbn=（2n-1）2n，

则Tn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-3）2n-1+（2n-1）2n，①

2Tn=1×22+3×23+5×24+…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1.②

由①-②得，

-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-（2n-1）2n+1

=2+2×-（2n-1）2n+1=-6-（2n-3）2n+1，

所以Tn=6+（2n-3）2n+1.

所以Tn=（n-1）·2n+1+2-。

分析：这是一道用对数包装的数列题目，（1）的求解没有任何难度，只是考察基本量法求解等差等比数列，也是为了（2）营造氛围，而（2）才回到了等差等比数列的本质，通过等差数列和等比数列相乘的求和问题，回归到了等比数列前n项和的推导上来，紧扣教科书，回归本源，等比数列前n项和即为“根”。

【面向高考】

1：（2017·全国Ⅱ卷）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=-1，b1=1，a2+b2=2。

（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式;

（2）若T3=21，求S3。

解： 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，

则an=-1+（n-1）·d，bn=qn-1.

由a2+b2=2得d+q=3.①

（1）由a3+b3=5得2d+q2=6.②

联立①和②解得（舍去），

因此{bn}的通项公式为bn=2n-1。

（2）由b1=1，T3=21得q2+q-20=0.

解得q=-5或q=4.

当q=-5时，由①得d=8，则S3=21.

当q=4时，由①得d=-1，则S3=-6。

2：（2018·全国Ⅰ卷）已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an.设bn=。

（1）求b1，b2，b3;

（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由;

（3）求{an}的通项公式。

解 （1）由条件可得an+1=an.

将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以a2=4.

将n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12.

从而b1=1，b2=2，b3=4。

（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：

由条件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列。

（3）由（2）可得=2n-1，所以an=n·2n-1。

3：（12分）（2019·全国Ⅱ卷）已知{an}是各项均为正数的等比数列， 。

（1）求{an}的通项公式;

（2）设，求数列的前n项和。

解：（1）由题知，{an}为等比数列，设公比为q，所以 。

又因为   ，即   ，

所以，。

又因为 {an}各项均为正数，

所以舍去，即 ，

所以{an}的通项公式为。

（2）由（1）知，

所以，

所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以的前n項和为：

。

4.（12分）（2021·全国乙卷理科）

记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前项积，已知。

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求数列 {an}的通项公式。

解析略。

分析： 以上高考题目都立足题根，在题根的基础上加以变化，主要考查等差、等比数列通项公式与前n项和公式计算，突出方程思想和数学运算等核心素养，准确计算是求解的关键。利用等差（比）数列的通项公式及前n项和公式列方程（组）求出等差（比）数列的首项和公差（比），进而写出所求数列的通项公式及前n项和公式，这是求解等差数列或等比数列问题的常用方法。对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化。

小结：高考题中的数列试题，往往比较难，同学们有点怕，究其原因，还是数列试题综合性强，变形灵活。其实数列问题还是有规律可寻的，纵观近几年高考数列试题，可分为几种类型：概念题（等差等比数列的判断与证明）、基本计算题（基本量的方法）、新定义题、和式问题、奇偶项问题、整除性问题、子数列，生成数列等等。但是在这些问题中，最关键的问题还是两个最基本的数列：即等差数列与等比数列.故本文所说的数列之根即为等差数列与等比数列，理解和掌握等差数列、等比数列这两类数列的本质属性，即可对相应的题目顺利解答。

参考文献：

[1]俞新龙.有关等差、等比数列证明问题归类解析[J].数学通讯.2006年21期

[2]徐生军.谈等差、等比数列课中的启发式教学[J].数学教学.1996年01期

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