思维导图在培养学生高阶数学思维中的作用

张志明

数学核心素养是以逻辑推理为核心，数学抽象形成概念知识，直观想象辅助思维分析，数学建模还原数学真实，数学运算得以解模和问题解决.数据分析是新时代的产物，也是未来数学发展的高度.以数学问题为核心，发展学生的数学核心素养，培养德智体美劳全面发展的时代新人是数学教学的根本任务.

人的发展本质上是思维能力的培养.而解题中的思维训练往往是碎片式的，缺乏整体感和基本模式，怎样才能将碎片化思维梳理得纹理有致？思维导图的作用不可小觑.

例1（2015年山东卷）设，其中.

讨论的极值点个数，并说明理由;

若，都成立，求取值范围.

【思维导图分析】

◆解题通法

设

①时，，在（-1，+∞）上单调递增，无极值点

②时，

i）時，，，在（-1，+∞）上单调递增，无极值点

ii）时，

的两根满足

单调递增

单调递减

单调递增

有两个极值点

iii）时，

单调递增

单调递减

所以只有一个极值点

综上：时，无极值点

时，只有一个极值点

时有两个极值点.

★思维提升

与极值点有关的问题，离不开导数的工具作用。体现了化归转化思想的无限魅力，极值点转化为方程，方程要么直接求解（解答题没有可能），要么继续转化.通法是转化为的导函数的零点问题，秒杀法是转化为两个熟悉的函数的交点问题，数形结合说明理由.

【解题思维导图】

◆解题通法一

由（1）知：

①时，在（0，+∞）上单调递增，且，

符合

②时，，可得，在（0，+∞）

上单调递增

，符合题意

③时，，可得，在上单调递减

则，不符合题意

④时，

当时，，，不符合题意

综上可得：

◆解题通法二

，

即

①时，，在（0，+∞）上单调递减，

使，即

在上单调递增，在上单调递减

当时，，不符合题意

②时，

i）即时，

则，符合题意

ii）即时，

即

则在上单调递减，在上单调递增

单调递增，即，故符合题意

，符合题意

综上可得：

◆思维变式一

且对有恒成立即

令

①时，在上单调递增，且

恒成立，，符合题意

②时，，故不符合题意

综上可得：

◆思维变式二

，

设，

当时与同号

①时，符合题意

②时，

时，，故不符合题意

时，，恒成立

，综上可得：

★思维提升

导数的工具作用很强大，可以放大函数在每个区间上的图象特征，并且能用单调性和极值给出严谨的证明，再次彰显“数缺形时少直观，形缺数时难入微”！

▲变式训练

（2019全国I），是的导数，求证：

（1）在上有唯一极大值点;

（2）有且仅有2个零点.

【思维导图分析】

【解题思维导图】

★思维提升

思维导图是将碎片思维进行有机整合而形成的，展示了数学解题思维的整体性和稳定性特征，长期坚持这种训练可以培养学生形成较为稳定的思维模式和输出模式，打破冒打误撞式思维定式，形成严谨审慎的理性精神和科学态度，从而发展学生的高阶数学思维.

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