HPM 视角下的中职数学教学设计：以球体积为例

张小中

摘要：数学史融入数学教学的研究是数学教学研究的重要组成部分，以球体积为例设计说明HPM 视角下的中职数学教学设计方法并在课堂实施，过程中体现“任务驱动，做学一体”教學理念，取得了理想的效果。呼吁更多的中职数学老师在课堂中讲点数学史让课堂“活”起来，期待更多的数学史融入中职数学教学的案例出现以供全体中职数学教师共享并选择性地使用。

关键词：数学史;球体积;中职教学设计

数学史融入数学教学的研究是数学教学研究的重要组成部分，是HPM领域的重要方向之一[1]。目前有关中职数学教材虽然有所涉及数学史的内容，但无外乎属于课后阅读材料;笔者在与外校的同行交流中得知有关数学史内容融入课堂的教学也不是很理想。笔者作为一名中职数学教师，认为数学是一门对中职学生后续发展相当重要的一门学科，探索有效的教学方式以提高学生学习兴趣，提高课堂效率，改善目前中职数学教学现状是每一个中职数学教师的责任。目前有关数学史在数学教学中的运用方式各学者提法不一，笔者认为作为对教学方法的实践者，应综合灵活运用。下面以球体积的设计和实施为例，说明HPM视角下的中职数学教学设计方法，抛砖引玉，期待有更多的案例开发为以后的数学课程建设提供借鉴。

在目前的大多数中职数学教材中仅对球的有关概念作简单阐述后就直接给出球的体积公式，笔者认为该知识点的给出忽视了古人推导其公式的思想和社会背景，对数学的文化功能（徐利治语）挖掘有失欠缺。

1.球体积推导历史及其重构

球的体积公式推导，这经过了很长时间的探索。生活在古希腊的阿基米德，我国古代的刘徽、祖冲之，还有印度的婆什迦罗等对球体积的求法是不一样的。在数学史上比较典型的有阿基米德用杠杆原理建立了球的体积与圆柱，圆锥之间的关系推导而出，之后他又用归谬法证明了这一发现。为此，后人在他的墓碑上刻“一个球和外切圆柱”图形，可见球的体积公式是阿基米德生前的得意之作。但其推导过程对于中职生来说略显繁琐，在课堂中对阿基米德的探索过程的话题作为激发学生探索新知的话题，课后跟有学习能力的学生继续探讨，以进一步拓展他们的思维空间。在我国，对球体积公式的探索也很早，在东汉以前，人们实测变长为1寸的的黄金立方体和直径为1寸的黄金球的重量，前者为16两，后者为9两。由此得出球近视体积公式： ，在我国《九章算术》中记载的也为该公式[2];之后魏晋时期我国杰出的数学家刘徽对该公式提出质疑，并运用自己的智慧提出了一个自然界不存在的“牟合方盖”，证明上述公式的错误，刘徽试图求出“牟合方盖”体积以得到球积，但他没有解决“牟合方盖”的球积问题;过了两百多年，祖冲之和他的儿子祖暅。祖氏父子继承了刘徽的思路，即从计算“牟合方盖”体积来突破，他们把眼光转向立方体切除“牟合方盖”之后的那部分的体积。但关于“牟合方盖”以及祖暅构造的“倒立阳马”中职学生理解也有困难，所以本节的教学设计关键是利用祖暅原理构造一个体积可求的符合原理的构造体，此法虽然不是祖暅的的推证，但该法体现了他的推导思想，可看成“历史的再现”。

2.球体积公式推导的教学设计

2.1课题的引入

阿基米德生平简介，其死后墓碑上刻有“圆柱容球”图形，他得出：圆柱的体积与球体积之比、圆柱的表面积与球体的表面积之比都为 。[3]他对球体积的推导是怎样的？激发学生学习本节课的兴趣。

提问：古人为什么用不直接测量球的有关量来推导球体的公式呢？假如你不知道球的体积公式，你又有什么方法得出球的体积为多少呢？

以上设计意图为教会学生分析问题需要分析当时的时代背景，看待问题需客观辩证，学生在以往的语文课本中学习过曹冲称象的故事，简接的化归思维在生活中处理问题非常重要，引导学生进行讨论，由此引入球体积公式的推导。

2.2球体积公式推导

首先以实验来感性把握球的体积：取一个半径为R的半球，再各取一个底面半径与高都是R的圆柱桶和圆锥.先把圆锥放入圆柱桶内，再将半球里面装满细沙，把这些细沙倒入圆柱桶内，这时圆柱桶恰好装满.（见图1），这个实验给我们什么启示？

很明显，学生能得出如上圆锥体积与半球体积之和为底面半径与高都是R的圆柱体积。

以上的实验操作紧扣“任务驱动，做学一体”的教学理念，对中职学生尤其重要。数学知识来源于生活，应用于生活，实践操作不仅仅停留在工艺实习的操作中。现代教学理论和实践指出：教师应该是教学过程的设计者、引导者、合作者、促进者、评价者;教师的教学过程应该是一种创造性的过程，学生应该是在教师的引导下的积极参与者;课堂教学应该关注学生的参与度，培养其创新意识和实践能力。中职学生主观能动性的培养需全体教师群策群力，共同关注。

有以上感性认识球的体积做铺垫，我们以祖暅原理为预备知识定量推导球体积公式：幂势既同，则积不容异。“势”即是高，“幂”是面积。即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。借助多媒体演示介绍祖暅原理，展示我国古代数学成绩，可以激发学生民族自豪感。

其实该原理在初中阶段已经渗入，如图2（1），若 ，则 。在几何中“点动成线，线动成面，面动成体”，两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。如图2（2）我们可知三柱体体积相等，对于中职学生尽量用通俗易懂符合他们原先认知能力的语言来理解祖暅原理。

要利用祖暅原理推导球的体积，关键是寻求构造一个体积可求的符合原理的条件参照体，这样的参照几何体好不好找呢？引导学生，祖暅原理為探求的过程提供了一个目标：首先这个参照几何体的体积是可求的，其次把该几何体与半球在两平行空间放置它在每个“高度”的的截面积与半球在每个“高度”的截面积应该是相等的。那么，我们首先把半球水平放置，截一截面。（如图3）

中职学生对抽象的字母比较难理解，在题目中字母出现一多，在运算的过程中他们难免心浮气躁，所以在此我们不妨把截面距水平的距离先设置为特殊的1，求截面的面积，我们首先需要求其半径，由图3可直观得出： ，从而 ，该形式很容易使人想到外圆半径为 ，内圆半径为1的圆环面积，由于有以上实验结论，我们很容易联想到与半球在同一水平空间的半径为 的圆柱体和倒置圆锥。（如图4）

对于构造参照几何体的过程，可引导学生思考先寻求一个或多个与半球体积相等的已学的易求几何体体积，这样有助于培养学生发散性思维和创新精神。

由图4可得在圆柱体中 ，所以 为等腰直角三角形，所以 ， ，对此，我们思考，假如截面距地面距离为 呢？是不是一样成立呢？

答案是显然的，由此我们根据祖暅原理得到半球的体积等于（如图4）圆柱体积与倒立圆锥之差。

有特殊到一般有助于培养中职学生的自信心以及增强他们参与教学的兴趣，在此过程中，引导学生的思维层层推进，最终体现“历史的再现”，他们能体会到成功的喜悦。

3.课堂实施及课后访谈

课堂中学生表现出很强的求知欲，课堂气氛活跃，与未进行该教学设计的班级相比课后作业完成情况明显偏好。学生对公式的记忆非常熟练，有被问住一下答不上的同学也不慌不忙，能画出一倒置圆锥于柱，然后大体积减小体积即为球体积的一半。对球体积公式的巩固例题及练习如下：

例1.若机械加工车间要加工某个球体零件，现有一段长底半径为5cm，侧棱长10cm的实心圆柱钢，试问怎么样加工才使得加工钢材料得到最大限度利用？需要废弃掉多少钢材？（钢的密度为7.85 ）

解：该题要使得钢材料最大限度利用加工完美的球体，即使得球内切与圆柱体即可（如图5）。

例题巩固：若机械加工车间要利用现有的半径为5cm球体加工某个圆柱体零件，试问怎么样加工才使得加工钢材料得到最大限度利用？需要废弃掉多少钢材？（钢的密度为7.85 ）

数学史的融入唤醒了他们的应用意识，课堂完成度较好。作为教师，选取符合学生认知的数学史知识展示知识形成和发展过程，为学生提供了感受数学文化和体验学习过程的机会，使学生在数学学习活动中获得新知，培养能力，发展情感是为新课程标准课程理念的要求[4]。课后还有些学生提出了球的表面积怎么求，是不是可以像前所学柱体等一样展开，对此，教师设问球表面能展开成规则的平面图形么？然后引导性地告诉他们球体表面积需要运用到极限思想分割球体表面然后看成是锥体底面（如图6），类比在求圆的面积公式中无限分割组成矩形求面积。大部分学生能理解且运算得出球的表面积公式。学生通过学习球的体积公式能“数学式地思考”球表面积问题，体现了HPM视角下的教学设计实施中贯彻了“教”为“学”服务的原则。

至此，本节内容把球的体积与表面积公式完美地联系在了一起，从而能解释本节内容书本一开始就“莫名其妙”展示的阿基米德所发现的“圆柱容球”比例问题。

4.结论

从中职学生数学基础现状出发，关注学生的认知水平和学习动机。本节HPM视角下的球体积教学产生了理想的效果，受到了学生的喜爱。建议市教委在市级教研活动或市级培训中邀请数学史专家对中职数学教师进行数学史教育培训，并把此作为一项常态化工作;呼吁更多的中职数学老师在课堂中讲点数学史让课堂“活”起来，期待更多的数学史融入中职数学教学的案例出现以供全体中职数学教师共享并选择性地使用。

参考文献：

[1]汪晓勤，张小明.HPM 的研究内容与方法[J].数学教育学报，2006，15（1）.

[2]单墫.数学名词词典[M].南京：江苏教育出版社，2002.

[3]康士凯、王海平主编.中等职业学校试用本数学[M].高等教育出版社，2015.

[4]上海市教育委员会.上海市中等职业学校数学课程标准[M].华东师范大学出版社，2015.