读懂题干条件 巧解反比例函数几何题

查正权

摘 要 纵观2019年江苏省宿迁、镇江、徐州三市中考函数真题，对于函数知识点的考察往往结合几何问题进行，以考察学生对于函数、几何图形等相关知识点的灵活掌握程度。此类题型涉及知识点数量多、变化形式多样，学生往往很难把握知识点在不同考点中的准确运用。因此，教师在相关教学时，应引导学生剖析题干条件，便于学生准确把握题意，灵活运用知识点快速解题。

关键词 初中数学 中考 题干条件 反比例函数 快速解题

一、中考试卷中的反比例函数

在初等数学中，函数问题种类多，计算量大，一直以来既是初中数学的重要知识点之一[1]，也是初、高中数学的重要衔接点之一，是高中解析几何的重要基础[2]。因此，初中数学考试命题对于函数知识点的考察也相对较多、较频繁。在众多的考题尤其是中考数学真题中，为了增加函数问题的难度，往往重点考察反比例函数问题，其与几何问题的结合，旨在考察学生运用几何或代数方法解决复杂问题的能力[3]。这一类问题稍加难度，就可以成为中考数学题中的压轴题。很多学生虽然能够熟练掌握函数特点与几何特征，但是对此类复合型问题往往很难找到解决问题的突破口，或是尝试了错误的思路，浪费了中考解题时间。笔者以江苏三市中考数学试题中反比例函数与几何结合类型题为例，研究题型题干，挖掘题干中的隐含信息，帮助学生快速找到解题突破口，提高解题效率。

二、函数题干中的隐含信息

反比例函数兼具了有趣的几何特征和代数特征[4]。几何特征即为反比例函数的原点对称性，代数特征即为反比例函数上的任意一点横纵坐标乘积为定值。中考对反比例函数特性的考察往往就是考察它的几何性与代数性两个知识点。当反比例函数与几何图形结合时，产生的题型较为多样，如反比例函数与三角形的结合、反比例函数与四边形的结合、反比例函数与圆的结合等。不同的几何图形暗含的性质、条件不同，如三角形的几何性质包括内角和为180°、全等或相似三角形等，代数性质包括直角三角形的勾股定理、任意两边和大于第三边等。四边形本质上可以转化为三角形问题。中考对圆形的几何性质考察不多，考察较多的是圆形的代数性质，如同一圆内半径相等、直径是圆内最长的线段等。这类题往往会在题干中附加一些其他条件，增加条件的限定性。这些题干中的附加条件常常就是确定究竟采用偏代数方法还是偏几何方法解题的关键。

一般情况下，若题干中给出的附加条件是偏向于几何性质的条件，那么解题关键一般在于利用几何方法;若题干中给出的附件条件更偏向于代数性质，那么解题关键则在于代数方法。这里所说的偏几何性质的条件，是指基本不涉及具体数值或计算的条件，如角平分线、中点、平行线、全等或相似三角形等;偏代数性质的条件，是指很大程度上利用数值、坐标、函数、等式进行计算的条件，如直角三角形中常用的勾股定理、函数方程等。考生可在分析题干条件的性质后，决定是优先采用诸如构造全等或相似三角形、运用三角形中位线、中线、角平分线定理寻找等式关系等几何解法，还是优先采用设坐标、未知数、运用勾股定理寻找方程关系等代数解法。笔者以2018年江苏省镇江市中考真题、2019年江苏省扬州市中考真题和2019年江苏省徐州市中考真题为例，剖析此类型考题的解法。

三、中考函数几何真题解析

（一）2018年江苏省镇江市中考真题——反比例函数与圆的结合

2.分析。通过审题，提取题干中的已知条件：①函数条件，确定的一次函数，不确定的反比例函数;②几何条件，确定的圆;③附加条件，Q是AP的中点，OQ长的最大值。此类题型应重点关注附加条件。题的附加条件围绕点Q展开：一是说明了Q是AP的中点;二是说明了OQ长度的最大值。这两条附加条件看似一个偏向几何性质，一个偏向代数性质，实际上都是对点Q的条件说明。“OQ长度的最大取值”是基于“Q是AP的中点”条件之上，因此，该题附加条件实则重点为“Q是AP的中点”这一几何性质。考生在解题过程中应优先考虑几何解题方法。前文中对反比例函数的几何性质、代数性质已有说明。由反比例函数的對称性可知，点O为线段AB的中点，加之点Q是线段AP的中点，两个中点、一个三角形，势必想到连接点B、P，运用三角形中位线定理，该题即可迎刃而解。

2.分析。通过审题，提取题干中的已知条件：①函数条件，确定的反比例函数;②几何条件，不确定的三角形;③附加条件，两条外角平分线。重点看附加条件：两条外角平分线，偏几何性质，优先考虑利用几何方法解题。一般而言，角平分线这样的条件具备强烈的构造相似或全等三角形的暗示。因此，此题优先考虑通过辅助线构造全等或相似三角形作为解题突破口。

结语

在中考数学题中，对反比例函数的考察往往会结合几何图形的性质。关键考察考生对反比例函数性质、几何图形性质的深入理解与灵活运用。考生若能分清何时可利用题干条件中包含的几何性质，何时借助辅助线，何时可利用题干条件中包含的代数性质解题，并能灵活运用几何图形条件中包含的几何性质与代数性质，则可大大提高解题速度和准确率。

[参 考 文 献]

[1]李德强.关于初中数学函数高效复习的策略研究[J].新课程学习（上），2013（12）：69.

[2]邓勤.新课程背景下初高中数学教学的有效衔接：从函数概念的教学谈起[J].数学通报，2011，50（2）：33.

[3]付燕敏.求解中考函数与几何图形结合的试题[J].理科考试研究，2017，24（2）：1.

[4]刘超.例析反比例函数与几何图形交汇的中考题[J].中学生数理化（尝试创新版），2014（6）：14.

（责任编辑：赵晓梅）