“三学”视角下类比思想的教学应用

包丽

“三学”课堂是指“学法三结合、学材再建构、学程重生成”的课堂，在笔者学校推广多年，实践教学效果明显.类比思想是初中数学的一个重要数学思想，在概念课、习题课等课型中都有廣泛应用.在实践教学中合理、巧妙的运用类比思想，有助于“三学”课堂的高效展开.

1在《分式》章节教学中，通过内容的类比，深化学材再建构

《分式》这一章是人教版教材中八年级上册的内容，包括分式的有关概念、分式的基本性质、分式的运算、分式方程等内容.可以通过类比思想，从小学阶段学过的“分数”出发，顺利类比生成这章节相关知识.

师：我们生活中有很多的数量关系是用数学式子来表示的，同学们看看这些问题，是否可以用数学式子来表示？第一个问题：一个学校占地面积为12200平方米，在校学生数是3700人，你能否算它的人均占地面积？

师：怎么想到这么称呼，和我们以前学的哪个知识类似？

生：分数.

师：所以B我们可以称为什么？

生：分母.（板书分式的定义，分子、分母）

至此，通过与分数的有关概念类比，我们生成了分式的有关概念.人教版教材《分式》第一节就是分式的有关概念.在得到分式的有关概念同时，我们可以继续通过与分数的基本性质类比，得到分式的基本性质.

生：第一题填1.

师：为什么？

生：因为分母由6b变形成了3b，是除以2得到的，所以考虑到分子也除以2，所以得1.

师：第二个？

生：2ab，因为分子乘以2，所以分母也乘以2.

师：第三个？

生：（a-b），因为分子除以了（a+b），所以分母也除以（a+b），所以第三个填（a-b）.

师：最后一个？

生：5b，分母乘以b，所以分子也乘以b，所以填5b.

师：同学们如何得到的？依据是什么？

生：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的值不变.

师：我们现在看到的这4个式子都不是分数，是分式.怎样变形，分式的值不变呢？分数的基本性质是“分数的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的值不变”.那么，对应到分式，我们可以对分数的基本性质作出怎样的调整呢？

生：分式的分子、分母同时乘或者除以一个不为0的整式，分式的值不变.

师：很好，这就是分式的基本性质.

以上是《分式》第一课时的教学实践.因为学生已有小学阶段学习分数的经验，由数到式，由特殊到一般，通过类比，学生比较容易掌握分式的基本知识.在第一节的学习中，通过与分数类比，不仅可以得到分式的有关知识，还可以在章节起始课中就帮助学生构建这部分知识的框架连接，完成学材再建构.学生在后续的学习中，能做到心中有框架，知道如何分析研究，可以起到事半功倍的效果.

2在《角》章节教学中，通过方法的类比，促进学法三结合

在学习《角》之前，我们已经从线段的定义、线段的表示方法、线段的比较、线段的和差、线段的中点等方面，研究了线段的有关知识.在研究线段的时候，需要有意识的强化以上几个要点，形成知识框架，再从这几个方面，研究角的有关知识，就可以水到渠成了.

师：前面我们已经研究了线段，大家回忆一下，我们研究了线段的哪些内容？

生：线段的中点、线段的表示方法.

师：还有呢？

生：线段的比较、线段的和差.

师：很好.今天我们开始研究一种新的图形，角.关于角，我们在小学阶段学过哪些知识呢？

生：有公共端点的两条射线叫做角.

师：这是角的定义.其中这两条射线叫做角的边，这个公共的端点叫做角的顶点.根据前面研究线段的经验，同学们想想，角需要研究哪几个方面？同学们可以小组交流.

生：也要研究角的表示、角的比较、角的和差、角的中点。

师：有没有要调整的说法？

生：角没有中点，将角分成相等的两部分的是角平分线.

师：很好.那对于这些内容，我们应该怎么研究呢？方法是不是也和研究线段的方法一样呢？请同学们先自主学习，再小组交流.

以上是《角》章节新授课的引入部分，角和线段看上去是两种完全不同的图形，但他们的研究方法实际上是类似的.因为和线段进行了类比，无论是角的研究内容还是研究方法，学生都有了明确的目标，后面内容的个人学习、小组学习、全班学习效果就更好.

3在《相似三角形的判定》章节教学中，通过思维的类比，体现学程重生成

《全等三角形》是人教版八年级上册的内容，《相似三角形》在九年级下册.授课时，可以将这两章思维方式进行类比.

师：请同学们回忆一下全等三角形有哪些判定方法？

生：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.

师：具体判定方法完整的叙述一下，如SSS.

生：三条边分别相等的两个三角形全等.

师：那SAS呢？

生：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.

师：ASA和AAS呢？

生：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等.

师：还有直角三角形全等的判定方法HL，具体是什么？

生：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.

师：在研究“边角边”这个判定的时候，我们还讨论过“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形”，这样的三角形全等吗？为什么？

生：不一定全等.可以画图举反例.如图1，△ABC和△ADC中，AC=AC，∠A=∠A，CB=CD，但是这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，它们不全等.

师：非常好.我们刚才花了比较多的时间和精力回顾了全等三角形的判定方法，并且举出了“己知两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”的反例.这些内容给我们今天研究相似三角形的判定方法提供了思路.全等三角形和相似三角形有什么区别呢？

生：全等是两个三角形形状大小完全一样，相似只要形状一样.

师：既然知道它们的区别，那么判定方法有哪些变化呢？同学们自己思考，看看能到哪些猜想.

生：全等可以用“边边邊”判定，也就是三条边分别相等的两个三角形全等.相似就不需要三条边相等了，只要三边的比相等.

师：他这是根据“边边边”猜想出来的判定方法，还有吗？

生：根据“边角边”可以得到两个三角形两条边成比例并且它们的夹角相等，这两个三角形相似.

师：根据“角边角”可以猜想出哪种判定方法？

生：两角分别相等的两个三角形相似.

师：其实“角角边”也是两角一边，这个边不一定要相等，只要两角相等就可以得到相似了.类似于直角三角形“斜边、直角边”的判定方法，直角三角形的相似还有什么方法吗？

生：斜边直角边成比例的两个直角三角形相似.

师：同学们刚才已经通过和全等三角形的判定的类比，猜想得到了相似三角形判定方法.由三角形全等中我们强调的“两条边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”我们可以类比得到相似中的什么结论吗？

生：两条边成比例并且其中一边的对角相等，这两个三角形不一定相似.

师：很好，当然这些都仅仅是猜想.接下来我们还要进一步研究这些猜想是否正确，也就是我们要尝试证明这些命题.

在这堂课中，通过与全等三角形的判定方法类比得到相似三角形的判定方法的几种猜想，然后证明其中的第一个，得到相似三角形的判定定理.另外几个命题的证明，由学生课后思考，下一堂课继续研究.实际上，研究方法仍然是类比，与第一个定理的证明方法进行类比.这样，运用思维类比，不仅构建了完整的知识框架，而且实现思维的超越，从而体现“学程重生成”.

以上只是笔者在教学中的一点体会.利用类比的方法，数学课堂比较容易实现“学法三结合，学材再建构，学程重生成”.我们除了关注哪些知识可以用类比的方法教学外，更多地应关注在如何引导学生独立地主动利用类比获取数学知识和方法，从而真正达到“三学”课堂的要求.