合理变形 柳暗花明

庄清寿

本文对2020年全国I卷理数第21题进行分析与求解，并说明该题与其它同类型试题的联系与区别，进而归纳总结了处理含参不等式恒成立问题的方法.

点评 将原不等式通过适当的变形，发现不等式左右两边是同一个函数f（x）的自变量取不同值时的函数值，进而研究f（x）的性质，将“f”去掉，得到简单的不等式.

3方法总结

由上面几道题可以看出，处理含参不等式恒成立问題一般需要对题中所给不等式中的变量x与参数a作合理的变形（全分离，半分离，不分离）.

（1）若所作的变形是“全分离”，那么需要注意的是当x趋近某个值x₀时，含x式子的分子与分母分别趋近于0时，且最值又刚好在x趋近x₀取得，这种情况全分离就失效了，除非高考允许使用洛必达法则.例1中的解法3，虽然当x→0时，g（x）式子的分子与分母分别趋近于0，但是最值不是在x=0处取得，而是在x=2处取得，所以全分离法适用.另外采用全分离时，需要求含x式子的最值，但其往往较为复杂，最值不易求出.我们知道求函数最值的方法常用的有两种，一种是研究其单调性，另一种是对其通过放缩（往往借助于一些重要的不等式如均值、柯西、绝对值不等式及e^x>x+1，Inx≤x-1等等），最后说明等号可以成立.

（2）若所做的变形是“半分离”，这种方法往往在选择题和填空题中较为常用，这时通常需要画出两条曲线，那么需要近可能规范的作图.

（3）若所做的变形是“不分离”，构造函数时，函数的解析式中带有参数a.讨论单调性时，往往需要分类讨论，如何分类讨论，或减少讨论就显得非常关键.常用的有取一些特殊的值代入，求出参数的可能的范围，得出问题成立的必要条件，然后由此再作充分的论证，最终解决问题.这种方法缩小了答案搜索的范围，排除了一些不必要的讨论的环节，优化了解题过程，提高了解题的速度.