泰勒公式在高中数学命题中的应用

孙一航 刘小辉

在各类高中数学测试题和高考题中，自然对数的底e的泰勒展开式及其变式是命题的一个重要出发点.本文简要介绍泰勒公式和自然对数的底e，并结合例题分别呈现出利用泰勒公式进行高中数学解题的思想和方法.最后，得到融入泰勒公式的高中数学命题的一般模式，总结命题思想及体现数学素养.

评注 本题考查函数、导数、不等式、二项式定理，这是一道典型的综合题.作为压轴题它具备一定的难度，但究其考察的知识内容与思想方法依然是在学生的能力范围之内.第（1）问只需套用二项式定理公式即可解答;第（2）问则需要综合运用到求导、均值不等式和放缩、构造函数等数学思想方法;第（3）问则考察学生的二项展开式的计算和变形.同时，本题渗透了极限、收敛的思想，可以说是一道不错的高考题.

从高观点的角度来看本题第（2）问，我们可以发现对任意函数进行泰勒展开，只需要保证f（x）与f″（x）为非负均可得到我们要证明的结果，我们并不需要用到f（x）的具体表达式，也就是说这个结论是一般性的.命题者将一般性的结论引进到特定的函数之中，这就是命题者命题的出发点，并且得到的式子的结构整齐对称.此题对学生来说是陌生的，跟他们之前做过的题目会有所不同，这会使学生感到困难，在考试中造成一定的心理压力.他们通常会按部就班地将证明中所涉及的导数都求出来再去寻找下一步的解题方向，只要学生计算没出现错误且会通过放缩等方法去比较两个式子的大小，那么这道题也能解决.综合来看，这道题没有超出对学生的思维水平和计算能力要求，却又给学生带来了一定的挑战，起到高考压轴题的作用.

3泰勒公式在高中数学命题中的模式

从以上两道例题的命题模式来看，我们可以看出，泰勒公式在高中数学题的命制中主要有两种模式：

一是运用泰勒公式的特殊形式来命题.比如例1，直接利用e^x的泰勒展开式在x=1时的特殊形式来命制题目.在命题中泰勒公式只作為检验命题结果是否正确的工具.

二是借助泰勒公式的内涵及其结论来设计题目.比如例2，此类题目的命制需要命题者在命题时就对泰勒公式有一定的了解，从泰勒公式的一般结论出发，通过逆向推导和具体化来命制题目.通常是将泰勒展开式进行简化和四则运算，如去掉高阶导数项，或省去无穷小项来得到不等关系.

但无论是哪一种命题模式，命题者在题目命制完成后一定需要做到使题目的形式、内容以及解答，都不超出学生的已有能力.学生不需要掌握泰勒公式的知识，也不要求认得泰勒展开式的形式，利用已掌握的知识和数学思想方法便可进行解题.一道好的高中数学题，要能在学生解题的过程中体现出学生综合运用观察、联想、尝试、转换、猜想、归纳、类比等数学发现方法初步判断出答案的数学品质，并引导学生用综合法、分析法、三段论等严格的数学论证方法来探索解答过程，寻求答案的正确性和科学性，不断提升数学思维，发展学生的数学素养.