三次函数引思考 回归教材探本源

周翔 郑传远

三次函数是高中数学重要的函数模型，频繁见于选修2-2《导数及其应用》，无论在例题教学，还是课后习题，都出现大量以三次函数模型为载体的问题.回顾高考，三次函数模型已经连续两年出现在导数解答题中.显然，三次函数已经成为高考命题的一个热点和亮点.本文从教材的一道课后习题出发，追根溯源，就利用导数研究三次函数问题的特点做出分析，并在此基礎上给出教学建议.

导数题中不等式证明问题通常都是综合利用导数研究极值、最值结论和不等式的放缩结果，在证明过程中，可以适当地使用证明的分析法、综合法、反证法等，对学生的综合能力要求较高，特别是数学运算和逻辑推理能力，同时还需要有较强的创新意识.此类考题具有良好的选拔功能.

3若干教学启示

3.1回归教材：实基础

导数的应用是高中数学的核心内容之一，也是高考的重点与热点.从近几年高考试题来看，以三次函数模型为载体的导数解答题出现的频率越来越高，由于此类问题在教材中有相应的原型，这就要求我们在平时的教学中应注重回归教材，夯实基础，跳出题海战术，回归学科内涵，而非一味地好高骛远.

3.2关注本质，把握规律

回归数学本质是高考命题的必然趋势，因此，关注数学本质应是教学上的重中之重.关注知识的本质特征，关注知识间的内在联系，关注公式定理的形成过程，应成为教学过程中的核心内容.通过对近几年高考试题的分析可以发现，导数的应用立足于教材，着重考查利用导数解决函数的单调性与极值、最值、零点、恒成立、不等式证明等问题，蕴含了转化与化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法.看起来花样繁多，但万变不离其宗，如果能从基本的数学模型入手，深刻理解其图象的特征及基本性质，再借助于数学思想方法，就可以轻易破解此类问题.

3.3落实课堂，培育素养

导数的应用问题常出现在试卷的压轴位置，主要考查学生的运算与逻辑推理能力.在实际教学过程中，教师往往更加关注与指数、对数有关的导数问题，却忽略了一些更为常见或简单的函数模型.而近几年的高考题，反复出现了利用导数研究三次函数的问题，因此，教师在教学过程中，要避免过度变式，应更注重教材内容的深层挖掘，强调知识的应用，鼓励学生勤动手、勤反思，多运算、多思考，培育学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养.

总之，利用导数研究三次函数的高考试题，依据学业质量标准和课程内容，以素养为落脚点，考查学生对基础知识和基本方法的掌握程度，考查学生对重要数学思想方法的理解程度，考查学生在日常学习中数学活动经验的积累程度，对教学发挥了正确的导向作用.