基于“构造法”的高中数学解题思路探索

武基云

【摘要】构造法是数学中一种常见的解决问题的手段，它是指根据问题的特征，通过构造函数、方程、图形等熟悉的数学模型来解决问题的方法.严格地说，构造法并没有固定的应用思路，而是具有很强的创造性，所以让学生熟练应用这一方面具有一定的难度.本文将从构造法的原理和优势入手，具体分析构造法的应用策略，希望能够为高中构造法解题提供一定的参考思路.

【关键词】构造法;高中数学;解题方法

高中数学的学习对于学生来说难度较大，特别是在新课程改革之后，数学解题过程对学生抽象能力、知识运用能力有了更高的要求，数学题目的难度也有了一定的提升.仍然使用传统的解题思路，按照一般的顺序来思考问题经常会面对着大量的计算内容或是复杂的推理过程，不仅会耗费大量时间，还十分容易出错.此时，我们不妨尝试运用构造法来快速找到正确的解题思路，提高答题的速度.

一、高中数学解题中构造法的原理

相对于其他学科来说，数学更加的抽象和复杂，在解决问题时可以从多个角度去进行思考.构造法是一种基于逆向思维的解题方法，通过题目中明确给出或是隐秘包含的条件，从另一个角度出发，分析和理解题目内容，推导所要答案的一种方法.从本质上来看，构造法是将抽象知识具体化的过程，它可以帮助学生找到更加高效的解题方法.在高中数学教学中，学生为了提升自身的解题能力会进行大量的题目练习，很容易产生固定的思维模式.为了改变学生的思维定式，解决他们在解题过程中解题困难、效率低的问题，教师可以在教学中提高对构造法重视程度，帮助学生在解题过程中从不同的角度去分析问题、解决问题.

二、高中数学解题中构造法的应用策略

1.构造函数

函数是高中阶段数学课程中的重要组成部分，也是高考中的考查重点.构造函数法是构造法中一种较为常见的方法.在几何或是代数问题中，采用构造函数的方法可以找到更多的已知信息，让复杂的题目内容变得直观和简单，提升解题的效率和准确度.

例1 已知關于x的方程x2-（2a+1）sin（cos x）+1-4a2=0有唯一实数解，求实数a的取值.

分析 这道题目属于二次方程，且在题目的已知中含有特殊的参数.所以，许多学生在面对这类问题时经常会找不到解决问题的切入点.此时，只要认真观察题目，结合构造函数的方式便可以找到轻松解决问题的方法.在实际教学过程中，教师可以先为学生列出详细的解题过程，让学生自己去思考和感受，分析构造函数的具体方法，以此做到举一反三，将这种方法应用到其他类似题目的解答过程中.

解 构造函数f（x）=x2-（2a+1）sin（cos x）+1-4a2.

因为f（-x）=f（x），所以f（x）为偶函数.

设x0为f（x）=0的解，则-x0也为f（x）=0的解.

由题目已知可知，f（x）=0有唯一的实数解，即-x0=x0，显然x0=0.

所以f（0）=02-（2a+1）sin（cos 0）+1-4a2=0，

即（2a+1）（1-2a-sin 1）=0，解得a=-12或a=1-sin 12.

2.构造方程

方程和函数关系密切，在构造法中构造函数与构造方程也基本相通，许多类型的题目都可以通过函数与方程的融合找到解决方法.简单来说，构造方程法，就是要在深入分析已知条件和各项关系的前提下，通过对已知关系之间的关系式的构建来解决问题的方法.

例2 已知α+β+γ=π，求证：

sin2β+sin2γ-2sin βsin γcos α=sin2α;

cos 2β+cos 2γ+2cos βcos γcos α=sin2α.

分析 该案例中给出的已知条件十分有限，学生在一开始接触到该案例时必然会思考利用三角函数知识去对题目已知进行变化，虽然可以得出结果，但解题的过程十分复杂，容易出现错误.此时，我们便可以采用构造方程的方式来降低解题难度.

证明 设x=sin2β+sin2γ-2sin βsin γcos α-sin2α，①

y=cos 2β+cos 2γ+2cos βcos γcos α-sin2α.②

①+②得

x+y=2+2cos αcos（β+γ）-2sin2α=2（1-sin2α）+2cos αcos（π-α）=2cos 2α-2cos 2α=0.

②-①得

y-x=cos 2β+cos 2γ+2cos αcos（β-γ）=-2cos αcos（β-γ）+2cos αcos（β-γ）=0，所以x+y=0，y-x=0，解得x=0，

y=0，得证.

3.构造数列

高中阶段的数列包括了等差数列和等比数列两个部分，这部分内容的难度虽然一般，但是其中涉及的数学知识比较多，也是高考中的热点.构造数列的方法通常被应用于比较特殊的题目中，其主要目的是通过构建等差或等比的数列公式来对题目进行分析，降低解题思路，优化解题过程.

例3 设有一数列{an}，前n项和为Sn，S4=4.当n≥2时，an=12（Sn+Sn-1），求Sn的表达式.

分析 题目中给出了部分公式，求Sn的表达式，这也是数列题目中常见的一种题目类型，已知数列前几项的和，又给出了数列的通项公式，就可以求出Sn.但是，这种方法在求解过程中计算难度较大，且方法通常比较烦琐，在计算过程中基本上不会有简化的方法.所以，此时，我们便可以尝试采用构造数列的方法来求解Sn的表达式.

解 由题目已知可知，n≥2时，an=Sn-Sn-1，

推导可得12=Sn-Sn-1.

设bn=Sn，则数列bn的公差为12，通过计算可得Sn=n2，因此，Sn=n24.

4.构造图形

构造图形的方式是将参数之间的关系通过图形来直观地展示出来，这样除了可以提升解题效率之外，还能够加深学生对知识的理解把握，提高他们的知识转化能力.从本质上来看，构造图形法实际上就是数形转化法，教师应引导学生认真分析题目中的已知条件，善于寻找参数与图形之间的联系，学会用图形去简化数学问题.

例4 已知a>0，b<0，a+b=1，求证：2

分析 面对这类题目时，许多学生都会找不到问题的切入点，甚至教师已经提示了尝试采用构造图形的方式来解决问题，还是有学生看起来十分茫然.所以，在这类问题的解题过程中，教师应采用合理的引导方式，让学生自己去充分思考题目的已知条件和求证的结论，分析已知條件和结论之间的关系.在这道题目中，通过已知条件中的a+b=1，不难联想到a+12+b+12=2，这样就自然而然地将已知条件和求证的结论联系在一起.

证明 因为a+b=1，

所以a+12+b+12=2，

即a+122+b+122=（2）2.

根据该公式可以构造出三角形，如图所示.

因为三角形两边之和大于第三边，可得：

a+12+b+12>2，

又因为a+12=2cos α，b+12=2sin α，

所以a+12+b+12=2（cos α+sin α）=2·2sinα+π4≤2.

5.构造向量

向量是高中生数学学习中的难点，也是容易丢分的题目类型，更是高考中必考内容之一，且在总成绩中占据着较大的比重.同时，向量的应用并不局限于向量问题中，其他问题同样也可以尝试采用向量的方式来解决.在构造法的应用中，采用构造向量的方式可以将函数问题转化为图形问题，让题目变得更加直观，避免了复杂的论证过程.这对于解决一些抽象问题来说有着重要的应用价值.

例5 若直线xa+yb=1经过点M（cos α，sin α），则（  ）.

A.a2+b2≤1    B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1

分析 仔细观察题目会发现，题目中所给出的条件和结论基本上很难直接联系在一起，但是通过已知中所给出的坐标相对比较容易联想到向量，所以可以尝试通过构造向量的方法来解决问题.

解 令m=（cos α，sin α），n=1a，1b.

根据题目的已知可得cos αa+sin αb=1，由m·n≤m·n，可得1=cos αa+sin αb≤1a2+1b2，所以1a2+1b2≥1.故选D.

6.构造对偶法

构造对偶法常常被应用于解决不等式问题中，如果题目的已知或是问题中存在对偶的特征，就可以尝试采用对偶法的方式来让问题变得简单、清晰.基本的操作方式是先对题目中给出的公式A配以合适的公式B，通过加法或是乘法等运算方法让它可以更容易处理.使用这种方式通常可以快速找到问题的突破口，让问题得到有效的解决.

例6 已知函数f（x）=x1+x（x>0），试计算：

f12015+f12014+…+f13+f12+f（1）+f（2）+…+f（2014）+f（2015）=.

分析 通过仔细分析，我们会发现，如果这道例题直接进行求解基本上无从下手，但通过对结论的仔细观察不难发现，f1x和f（x）之间存在着对偶性，可以通过构造对偶式的方法来解决问题.

解 f（x）+f1x=x1+x+1x1+1x=x1+x+11+x=1.

所以原式的结果为201412.

三、结 语

教师想要在高中数学教学中提升学生的解题能力，就必须让学生掌握有效的解题方法.构造法是数学学科中一种十分常见且十分重要的解题方法.所以，在教学过程中，教师应提高对构造法的重视程度，将其融入教学内容中，强化构造法知识的讲解，特别是要依托具体案例向学生详细分析和展示，包括构造函数、构造方程、构造图形、构造向量、构造数列和构造对偶法等，以此引导学生掌握构造法的正确应用技巧，巧妙地解决问题.

【参考文献】

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