从两个等差数列前n项和之比与通项之比的关系谈拓展探究教学

包志旻

【摘要】等差数列通项公式和求和公式是极为重要的两个公式，这两个公式之间必然存在大量的联系，本文就两个等差数列前n项和之比与通项之比的关系进行了探索和研究.

【关键词】拓展探究教学;等差数列;通项之比;前n项和之比

问题是数学的心脏，数学问题的提出是推动数学思维发展的核心数学活动之一.在数学学习中，发现和提出问题能有效地激发学生的数学创造性思维，培养学生对新问题进行有效而且积极的探究，这符合当下培养学生的核心素养的要求.传统数学教学偏重于培养分析与解决问题的能力，学生善于准确高效地解决教材和教辅中呈现的问题，善于“学答”，而不善于“学问”，从而忽视了对学生发现问题、提出问题能力的培养，以及对批判性思维、创新思维的培养.下面笔者结合自己的教学过程中的一个实例，展示如何不断提出问题，逐步拓展探究.

原始问题 {an}，{bn}是等差数列，它們的前n项和分别为Sn，Tn，且SnTn=2n+2n+3，求a5b5.

这是一道很常见的习题，下面就此问题的解决方法和拓展进行探索研究.

一、解法探究

解法一：利用等差数列的前n项和公式“Sn=n（a1+an）[]2”和“a1+ a2n-1 =2an ”.

a5b5=92（a1+a9）92（b1+b9）=S9T9=2×9+29+3=53.

解法二：利用等差数列的前n项和公式“Sn=na1+n（n-1）d[]2”和通项公式“an=a1+（n-1）d”.

SnTn=na1+n（n-1）2d1nb1+n（n-1）2d2=a1+n-12d1b1+n-12d2.

∵a5b5=a1+4d1b1+4d2，令n-12=4，则n=9，∴a5b5=S9T9=53.

解法三：利用“Sn=an2+bn”.

SnTn=2n+2n+3=kn（2n+2）kn（n+3），

a5b5=S5-S4T5-T4=5（2×5+2）-4（2×4+2）5（5+3）-4（4+3）=53.

这是传统教学方法中最常用到的“一题多解”，强调解决传统问题的多样性，比单一的机械训练要好一些，有利于提分.

二、结论拓展

从上述解法中不难发现，原始问题和解法均能上升为一般性结论.

[STHZ]定理1[STBZ] 如果{an}，{bn}是等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，那么anbn=S2n-1T2n-1.

证明：anbn=2an2bn=a1+a2n-1b1+b2n-1=12（2n-1）（a1+a2n-1）12（2n-1）（b1+b2n-1）=S2n-1T2n-1.

这里揭示了两个等差数列的通项与前n项和更为一般的结论，但提问水平层次仍是低水平的，仅是为了提高解题水平，以应对同层题目的解答.

三、原始问题的一般性结论

1.如果{an}，{bn}是等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn.若SnTn=an+bcn+d，则anbn=a（2n-1）+bc（2n-1）+d.

证明：根据定理1，anbn=S2n-1T2n-1=a（2n-1）+bc（2n-1）+d.

2.如果{an}，{bn}是等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，则 limn→∞SnTn=limn→∞anbn.

证明：设an=a1+（n-1）d1，bn=b1+（n-1）d2.

当{an}，{bn}是非零常数列时，显然成立.

当{an}，{bn}不是常数列时，

limn→∞SnTn=limn→∞na1+12n（n-1）d1nb1+12n（n-1）d2=d1d2，

limn→∞anbn=limn→∞a1+（n-1）d1b1+（n-1）d2=d1d2，

所以limn→∞SnTn=limn→∞anbn.

此时，思维层次上升到了抽象概括，更具应用价值.

四、进一步拓展探究

[STHZ]问题1[STBZ] 如果{an}，{bn}是等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn.若SnTn=an+bcn+d，则anbm=a（2n-1）+bc（2m-1）+d .

解法探究一：∵SnTn=an+bcn+d，∴SnTn=kn（an+b）kn（cn+d），∴SnTm=kn（an+b）km（cm+d），

anbm=2an2bm=a1+a2n-1b1+b2m-1=2m-12n-1·（2n-1）（a1+a2n-1）2（2m-1）（b1+b2m-1）2=（2m-1）S2n-1（2n-1）T2m-1=（2m-1）k（2n-1）[a（2n-1）+b]（2n-1）k（2m-1）[c（2m-1）+d]=a（2n-1）+bc（2m-1）+d .

解法探究二：∵SnTm=kn（an+b）km（cm+d）（探究一中已证），

∴anbm=Sn-Sn-1Tm-Tm-1=n（an+b）-（n-1）[a（n-1）+b]m（cm+d）-（m-1）[c（m-1）+d]=a[n2-（n-1）2]+b[n-（n-1）]c[m2-（m-1）2]+d[m-（m-1）]=a（2n-1）+bc（2m-1）+d .

[STHZ]问题2[STBZ] 如果{an}，{bn}是二阶等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn .

若SnTn=an+bcn+d，则anbn=a（3n2-3n+1）+b（2n-1）c（3n2-3n+1）+d（2n-1）.

解法探究：∵SnTn=an+bcn+d=kn2（an+b）kn2（cn+d），

∴anbn=Sn-Sn-1Tn-Tn-1=n2（an+b）-（n-1）2[a（n-1）+b]n2（cn+d）-（n-1）2[c（n-1）+d]=a[n3-（n-1）3]+b[n2-（n-1）2]c[n3-（n-1）3]+d[n2-（n-1）2]=a（3n2-3n+1）+b（2n-1）c（3n2-3n+1）+d（2n-1）.

[STHZ]问题3[STBZ] 如果{an}，{bn}是二阶等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn.

若SnTn=an2+bn+cdn2+en+f，则anbn=a（3n2-3n+1）+b（2n-1）+cd（3n2-3n+1）+e（2n-1）+f.

解法探究：∵SnTn=an2+bn+cdn2+en+f=kn（an2+bn+c）kn（dn2+en+f），

∴anbn[ZK（]=Sn-Sn-1Tn-Tn-1=n（an2+bn+c）-（n-1）[a（n-1）2+b（n-1）+c]n（dn2+en+f）-（n-1）[d（n-1）2+e（n-1）+f]=a[n3-（n-1）3]+b[n2-（n-1）2]+cd[n3-（n-1）3]+e[n2-（n-1）2]+f=a（3n2-3n+1）+b（2n-1）+cd（3n2-3n+1）+e（2n-1）+f.[ZK）]

这里三个问题的提出与解决没有停留在浅显的提问上，而是逐步深入，上升到二阶等差数列，超越了教材，把问题推向纵深，价值和意义更大.不少学者提出了数学探究教学法或学习论，其根本目的是把课堂交给学生，让学生参与探究，让学生学到的不再是会解几道题而已，而是发展创新思维，包括逻辑的和非逻辑的、求同的和求异的、具体的和抽象的、理性的和直觉的等，通过内在协同和相互作用，促进师生和生生思維有机交融的高级过程，避免简单机械地重复孤立单一的思维活动.课堂应成为思维成果的生长层或思维“土壤”.

五、更为一般的结论探究

[STHZ]结论1[STBZ] 如果{an}，{bn}是k阶等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn.若SnTn=p1nk-1+p2nk-2+…+pkq1nk-1+q2nk-2+…+qk，则

anbn=p1[c1knk-1-c2knk-2+…+（-1）k-1ckk]+p2[c1k-1nk-2-c2k-1nk-3+…+（-1）k-2ck-1k-1]+…+pkq1[c1knk-1-c2knk-2+…+（-1）k-1ckk]+q2[c1k-1nk-2-c2k-1nk-3+…+（-1）k-2ck-1k-1]+…+qk.

[STHZ]结论2[STBZ] 如果{an}，{bn}是k阶等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn.

若SnTn=p1nk-1+p2nk-2+…+pkq1nk-1+q2nk-2+…+qk，则

limn→∞SnTn=limn→∞anbn.

[STHZ]结论3[STBZ] 如果{an}是k阶等差数列，{bn}是r阶等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn.

若SnTn=p1nk-1+p2nk-2+…+pkq1nr-1+q2nr-2+…+qr，则

anbm=p1[c1knk-1-c2knk-2+…+（-1）k-1ckk]+p2[c1k-1nk-2-c2k-1nk-3+…+（-1）k-2ck-1k-1]+…+pkq1[c1rmr-1-c2rmr-2+…+（-1）r-1crr]+q2[c1r-1mr-2-c2r-1mr-3+…+（-1）r-2cr-1r-1]+…+qr.对以上三个结论的证明均可按照前面解问题3的思路进行.

六、反 思

最初提出的原始问题是我们平时教学中的一道普通的习题.在传统教学模式下，师生只侧重于怎样解题，能提出多种解题方法已是很成功的教学.今天，从数学教育本身看，教学没有真正抓住数学的本质，常常纠缠在细枝末节上，存在脱离数学本源的现象，学生训练得太多太苦，时间、精力投入太多，教学效果不理想.数学教学“不自然”，强加于人的升学考试，对学生的数学学习兴趣与内部动机都有不利影响;缺乏问题意识，解答“结构良好”的问题多，引导学生主动提出问题少，对学生提出问题的能力培养不利;结论记忆多，关注知识背景和应用少，“掐头去尾烧中段”，导致学习过程不完整;重解题技能技巧，轻普适性思考方法的概括，导致机械模仿多而独立思考少，数学思维层次不高;强调细枝末节多，关注基本概念、核心数学思想少，对学生数学素养的提高不利.数学教育改革涉及教育思想、学术观点、课程教材、教学方式、学习方式以及评价方式乃至价值观的变革，应当允许改革的不同思路、不同方案的存在，真正贯彻百花齐放、百家争鸣的方针.随着新一轮课程改革的到来，研究性学习进入课堂，研究性试题也开始进入高考试题.教师在教学中必须鼓励学生敢于提出问题，积极构建问题场景，创建新的学习平台、学习方式，真正培养创新型、研究型人才.

【参考文献】

[1]郑日锋，等.高中数学精编：代数[M].杭州：浙江教育出版社，2009.

[2]李正兴.高中数学专题精编：数列与数学归纳法：第3版[M].上海：上海科学普及出版社，2020.

[3]刘卫平.创新思维[M].杭州：浙江人民出版社，1999.

[4]宁连华.数学探究学习论[M].北京：高等教育出版社，2008.

[5]徐斌艳，等.数学核心能力研究[M].上海：华东师范大学出版社，2019.