以数学三个世界理论为视角探讨高中数学教学

俞昕

【摘要】数学三个世界理论涉及概念—具体化、过程—符号化、公理——形式化，以此理论为依据可以分析数学概念的认知层次.《等差数列前n项和》是高中数学中的重点教学内容，以此为课例，采用联结主义教学模式进行教学实践分析并与传统的讲授法、发现法教学进行比较，获得具有一定价值的教学启示.【关键词】数学三个世界；教学研究；联结主义；等差数列

1数学三个世界理论结构简介

进入21世纪，英国知名数学教育家Warwick大学教授David Tall在认知主义、建构主义基础上，融合了认知科学、新皮亚杰主义等相关研究于2004年提出了数学三个世界理论，该理论是Tall关于认知发展研究的最新成果.Tall认为人的认知过程是以“前集”与“前变量”为基础经数学三个世界而得以发展的.“前集”表示的是一种与生俱来的心理结构，该理论中特指“识别、重复、语言”；“前变量”即为个人以往的经验在大脑中建立的联结.

概念—具体化世界：现实中的具体对象与概念性具体都称作“具体化”的，即以对世界的感知为基础，通过反思利用语言形成精致的意义.在这个世界中，既包括对外部世界的认识，又包括对内部世界的感知.其数学学习对象是具体的、形象的、可见的，简称具体化世界.

过程—符号化世界：将操作压缩并用符号表示，进一步压缩形成概念的过程称为“符号化”的，即开始于过程操作，通过符号的使用实现由解决数学问题到进行数学思考的有效转换.在这个世界中数学学习对象具有符号过程性和符号概念性两面特征，符号过程性是指具体化数学世界的操作过程，符号概念性则是指通过对这个操作过程的概括、抽象等心智活动得到的数学对象，简称符号化世界.

公理—形式化世界：把利用形式化定义和证明建立公理体系的过程称为“形式化”的，即以对象性质为基础，通过高度抽象，主要是对符号世界进行自反抽象，发展为形式化定义，有时需要进一步证明，使之发展为形式化公理，简称形式化世界.

Tall认为，人以“前集”为生理基础，以“前变量”为社会基础，形成了数学认知发展的3种途径：具体化世界、符号化世界、形式化世界，认知以感觉、操作和反思等基本活动为基础，经具体化、符号化、形式化的过程发展.

2用数学三个世界理论分析“向量”概念的认知层次分析

第一层次：通过力与力的分析实例，了解向量的实际背景.物理的合力，有向线段的加减，知道平行四边形法则，用作图方法获得结论.这可以列为初中阶段的数学或物理课程.第二层次：将向量符号化，加入数乘，使得向量既能合成又能分解，构成一个有加、减、数乘三种运算的数学结构.第三层次：引入向量的坐标表示以及向量的数量积，成为内积空间，在这个架构上，解决包括几何、物理在内的一系列中学数学问题，并为后来的线性代数课程提供基础.文[2]用三个世界理论对向量教学提出一些具体的建议，可供我们一线教师参考.

3数学三个世界视野下教师的作用与教学研究[1]

数学的三个世界认为知识是以联结的方式存在的，因此主张采用联结主义教学模式.该模式要求学生在学习中基于以前的经验做出合乎逻辑的假设，并通过积极主动地参与来完成知识的建构.而教师作为辅导者安排课堂活动，鼓励学生通过对本质概念的理解建立联结、分组探索、接受问题的挑战形成认识.教师通过准确把握知识、思维的联结点，使学生的探索逐渐深入；设置具有挑战性问题不断增强学生解决问题的信心和能力；通过学生间的互动交流使大多数学生基础更加扎实.该模式按照输入信息、激活信息、建立联结、提取和检索信息顺序进行教学.其优点在于充分调动了教师与学生的积极性，真正实现教学相长.

Tall带领的研究团队分别按照讲授法、联结主义教学法、发现教学法进行教学，经过一段时间后进行跟踪调查，并用国家课程测试进行测量，分为非常有效、有效、一般有效.所得数据显示那些主张用联结主义模式的教师教学效果最明显，那些主张用传授法或发现法的教学效果仅一般有效，坚持用折中方法教学的则大多数有效.因此，教师教学时要作为辅导者帮助学生将知识压缩成可想像的概念，并促使他们建立起知识之间的联结.

讲授法和联结主义教学法及发现教学法的比较对比标准教学方法基础知识、基本能力教学学生如何学习基础知识教师如何教授基础知识

讲授法依赖于口头阐述然后按固定步骤依次进行.学生将讲授的知识“输入”脑中经过反复记忆达到熟识的目的.利用语言给学生引导性解释，通过分类练习建立知识体系.

联结主义教学用有效运算、优化方法提高能力.学生把新旧知识进行联结再加之互动交流，逐步深入，从而克服挑战性问题.教学相长，师生对话探索答案，运用知识推导挑战性问题.

发现法任意方法寻找答案，更多依赖于实践.学生是整个学习活动的主体，利用知识经验进行探索，寻找解决问题的最佳方案.教师起促进作用，学习先于教学，学生在实践中发现问题，运用知识解决实际问题.

4联结主义教学法尝试课例

笔者运用联结主义教学法在《等差数列前n项和》第一课时中进行尝试，下面是教学过程的简述.

第一个故事教师：当年青涩的我来到学校应聘，校长给出这样的问题来考我（如图1所示）.以此情境抛出“等差数列求和”问题.图1图2

第二个故事在讲解等差数列求和公式之前先介绍高斯其人，近代数学史学家倍尔对高斯的成就评价道：“在数学世界里，高斯处处留芳.”教师娓娓道出耳熟能详的故事：高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到100的自然数之和.这个问题让学生自己解决（“高斯算法”学生小学时就知道了，在学生已有的认知范围内），如图2所示.

图3图4

教师引导学生从另一种视角来研究“高斯算法”（如图2和3）.让学生深刻体会“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”中的含义（如图4）：前100个自然数的和可以表示为1001+1002，前99个自然数的和可以表示为991+992，刚好均为项数首项+末项2，这是不是巧合呢？留给学生一定的时间小组讨论或自主探究，发现其内在本质（如图5和6）.

图5图6

如图5和6的“逆过程”正是“倒序相加法”，由“高斯算法”演变到“倒序相加法”探究过程的创设在学生的最近发展区内，符合学生的认知规律.由教师搭建认知脚手架，学生充分舒展自身的思维空间，自然的生成“倒序相加法”.由特殊到一般，再引导学生运用“倒序相加法”推导探究（1）1+2+3+…+n=？（2）等差数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an=？（如图7所示）同时也渗透“合情推理”的思想.

在推导出等差数列前n项和的两个公式Sn=na1+an2和Sn=na1+nn-12d后，教师回应之前的第一个故事，播放续集：（1）假设我2000年刚进单位第一个月工资1000元，在现有工资基础上以后每月增加20元.请问2001年年底我的工资总和为多少？（2）假设我2000年刚进单位第一个月工资1000元，在现有工资基础上以后每月增加相同的量，到2001年年底我的月工资为1230元.请问到2001年年底我的工资总和为多少？让学生学会选用合适的公式解决问题.

如图8所示，进入第三个故事环节：四面云山都入眼，人文史事总关心.在南北朝时期，张丘建始创等差数列求和解法.我国南北朝《张丘建算经》中有这一问题的记载：今有女子善织布，逐日所织布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？（一匹为四丈，一丈为十尺）请学生将此问题转化为数学符号：已知？求？让学生体会在等比数列前n项和公式五个量Sn，an，a1，n，d中至少已知几个量可以求出其他量？（课例其余环节省略）

我们的数学教学既要顾及学生的探究与发现，也要注重教师适当的引导.建构主义的弊端其实已经显露，数学知识应建立在教师在新旧知识之间搭建适当桥梁的基础上再由学生去探究发现，若将学生的数学探究比喻为遨游在天空中的风筝，则教师的教学指引就应比喻为握在手中的风筝线，教师掌握好手中的线，就能让学生更有效的进行数学探究与发现.因此，“联结主义”为我们提供了比较合理的数学教学模式.

参考文献

[1]周士民，聂立川，王君.认知发展研究新成果——David Tall的“数学三个世界”理论[J].数学教育学报，2013，22（3）：8-10

[2]任伟芳，朱赛飞.韬尔的三个世界学说与向量教学认知层次[J].中学数学教学参考，2011（11）