浅谈反证法在高等代数中的应用

杜玉坤

【摘要】反证法作为一种数学的间接证明方法，是学生在学习数学的过程中必须要掌握的.本文主要阐述了反证法的概念及证题的一般步骤，并根据反证法的适用范围列举了一些实例探索其在高等代数中的应用，有助于培养学生的逻辑思维，同时提高学生的解题能力及学习的积极性.

【关键词】反证法;高等代数;应用

【基金项目】广东茂名幼儿师范专科学校2020年度教育科学“十三五”规划课题：反证法在《高等代数》课程上的应用研究（2020GMYSKT03）

高等代数是数学专业的一门重要基础课程，它为学生深入学习其他相关专业课程奠定了基础，能够帮助数学相关专业的学生顺利完成由初等数学到高等数学的过渡.高等代数通过解决“多项式理论”“矩阵”等基本问题来培养学生的逻辑思维能力以及创造力.进入师范专科学校学习的学生文化知识水平参差不齐，但普遍存在的一个现象是这些学生的数学基础较为薄弱，而高等代数比较抽象，使得他们在学习上必然会遇到阻碍.如何帮助学生走出学习高等代数的困境呢？反证法的教学不失为一种行之有效的方法.反证法也被称为“逆证”，它是一种解决数学问题的间接论证的方法.牛顿曾说，反证法是数学家最精当的武器之一.数学家在很多数学命题中都使用到了反证法.比如，著名的古希腊数学家欧道克斯就通过运用反证法发现了无理数，还证明了“两个正多边形的面积之比等于其对应线段之比的平方”的结论.又如，古希腊数学家欧几里得运用反证法证明了“素数有无穷多”的结论.

在常规的思维中，我们习惯用正面的思维去论证一个问题.实际上，并不是所有的数学问题都能用正向思维来解决.反证法反其道而行之，另辟蹊径，先假设结论的相对面成立，通过此条件推导得出与既定的定义、定理等存在矛盾的结论，则可证明之前的假设不成立，原结论便是成立的.

对于反证法，虽然有“归谬法”“穷举法”等多种不同说法，但它们最基本的核心是一样的，那就是“否定之否定”.正如法国数学家阿达玛在《初等数学教程》一文中指出，反证法的核心是若肯定定理的假设而否定其结论，则可以导致矛盾产生.

使用反证法时，具体的证明命题的步骤如下：

首先，否定命题的结论，做出相反的假设;

其次，归谬，将反设结论作为已知条件，以此推导出其与既定的定理、公式或者题设里边的已知条件相矛盾;

最后，反设为假，肯定原结论为真.

反证法一般应用在正面直接论证或者反驳比较困难的命题中，如对于否定性命题、限制性命题、基本命题及无穷性命题，反证法就是一种行之有效的方法.

在课堂教学实践中，我们选取高等教育出版社《高等代数（第五版）》作为教材例子，书里的很多定理和习题的证明涉及反证法.比如，多项式理论、矩阵、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等，几乎每一章的教学内容都会运用到反证法.

反证法的有效使用，一方面可以培养学生的逆向逻辑思维，增强学生的创造性认识;另一方面可以提高学生的解题能力以及学习的积极性.

下面笔者结合高等教育出版社《高等代数（第五版）》中的一些具体实例，对反证法在解决高等代数问题时的应用进行初步探讨.

一、反证法在多项式理论中的应用

“多项式”是高等代数的主要内容之一，此章节主要研究了多项式的一般理论和因式分解理论.对于一些基本命题或限制性命题，正面无法直接证明，此时可以运用反证法，能起到意想不到的效果.

例1 求證：若f（x）g（x）=0，则f（x）和g（x）中至少有一个为零多项式.

证明 （运用反证法）假设f（x）和g（x）都不是零多项式，则f（x）的次数大于零，g（x）的次数也大于零，则f（x）g（x）的次数大于零，故f（x）g（x）不为零多项式，与f（x）g（x）=0矛盾，故f（x）和g（x）中至少有一个为零多项式.

分析 结论中含有“至少”“至多”等词语的命题为限制性命题.例1中含有“至少”，属于限制性命题，无法从正面直接证明，运用反证法可将复杂的情况变得易于理解.其中，“至少有一个为零多项式”的否定形式为“都不是零多项式”.

例2 求证：若多项式f（x）和g（x）都与多项式h（x）互素，则这两个多项式的乘积f（x）g（x）也与多项式h（x）互素.

证明 （运用反证法）假设这两个多项式的乘积f（x）g（x）与多项式h（x）不是互素的，则由互素的定义可以知道存在不可约多项式p（x），使得p（x）整除f（x）g（x），且p（x）整除h（x）.

由于多项式f（x）与多项式h（x）互素，故存在多项式u（x）与v（x），使得f（x）u（x）+h（x）v（x）=1，在等式的两边同乘多项式g（x），得到g（x）f（x）u（x）+g（x）h（x）v（x）=g（x）.

由于p（x）整除f（x）g（x），且p（x）整除h（x），故根据多项式整除的性质可以得到p（x）整除g（x），即p（x）为多项式g（x）与h（x）的公因式，故多项式g（x）与h（x）不是互素的，与已知条件多项式g（x）与h（x）互素相矛盾，故这两个多项式的乘积f（x）g（x）也与多项式h（x）互素.

分析 该命题属于基本命题，其能借助的条件只有多项式互素，从正面思考无从下手，那么可以从反面思考问题.由于无法直接证明多项式的乘积f（x）g（x）与多项式h（x）互素，不妨假设f（x）g（x）与h（x）不是互素的，得到g（x）与h（x）不是互素的，这与已知条件相矛盾，故假设不成立.

例3 设f（x）是实数域R上的多项式，p（x）是R上的不可约多项式，并且f（x）与p（x）在复数域C上有公共根α.求证：p（x）整除f（x）.

证明 （运用反证法）设p（x）不能整除f（x），则由p（x）的不可约性可知，在实数域R上p（x）与f（x）互素，从而在复数域C上p（x）与f（x）也是互素的.

另一方面，因为f（x）与p（x）在复数域C上有公共根α，所以（x-α）是p（x）与f（x）的公因式，因此p（x）与f（x）不是互素的，由于p（x）与f（x）互素，矛盾，故p（x）整除f（x）.

分析 该命题属于基本命题.由于无法直接证明p（x）整除f（x），不妨假设p（x）不能整除f（x），进而得到两个相互矛盾的结论，故假设不成立.

二、反证法在矩阵中的应用

矩阵是高等代数的基本内容和重要工具.在证明矩阵不可逆时，一般可以运用反证法，并利用矩阵可逆的性质，达到事半功倍的效果.

例4 求证：若方阵A不是单位矩阵，并且A2=A，则矩阵A不可逆.

证明 （运用反证法）假设矩阵A可逆，则A-1A2=A-1A=I，即A为单位矩阵，与A不是单位矩阵相矛盾，故矩阵A不可逆.

分析 该命题为否定性命题.直接证明矩阵A不可逆比较困难，而假设矩阵A可逆，则比较容易得出与已知条件相矛盾的结论.

三、反证法在向量空间中的应用

向量空间作为高等代数的基本概念之一，是后续章节学习的基础.本章有一些否定性命题、无穷性命题，常会用到反证法，推出相矛盾的结论.

例5 设向量β可以由α1，α2，…，αs，γ线性表示，但不能由α1，α2，…，αs线性表示.

求证：

（1）向量γ可由向量组α1，α2，…，αs，β线性表示;

（2）向量γ不能由向量组α1，α2，…，αs 线性表示.

证明 （1）由于向量β可以由α1，α2，…，αs，γ线性表示，所以在数域中存在k1，k2，…，ks，k，使得β=k1α1+k2α2+…+ksαs+kγ成立，k≠0.

事实上，假设k=0，则β可以由α1，α2，…，αs线性表示，这与β不能由向量组α1，α2，…，αs线性表示相矛盾，所以γ=1kβ-k1kα1-k2kα2-…-kskαs，

即向量γ可由向量组α1，α2，…，αs，β线性表示.

（2）（运用反证法）假设向量γ可以由向量组α1，α2，…，αs线性表示，由于向量β可以由向量组α1，α2，…，αs，γ线性表示，进而可以推得向量β可以由向量组α1，α2，…，αs线性表示，这与β不能由向量组α1，α2，…，αs线性表示相矛盾，故向量γ不能由向量组α1，α2，…，αs 线性表示.

分析 反证法可以在解题的过程中应用.要证k≠0，只需要假设k=0，得出与已知条件相矛盾的结论.第二问中是否定性命题，可假设向量γ能由向量组α1，α2，…，αs线性表示，得出与已知条件相矛盾的结论.

例6 求证：F（x）作为F上的向量空间由无限个多项式生成，因而是无限维向量空间.

证明 （运用反证法）假设F（x）是由有限个非零多项式 f1（x）， f2（x），…， fs（x）生成的，令T是这s个多项式中最大的次数，那么F（x）中次数大于T的任意多项式都不能由这s个多项式线性表示，这与假设相矛盾，故F（x）作为F上的向量空间由无限个多项式生成，因而是无限维向量空间.

分析 结论含有“无穷”“无限”等词语的命题为无穷性命题.运用反证法，将无穷转化为有限，进而推出与已知条件相矛盾的结论.

例7 设V是一个向量空间，且V不是零空间.求证：V不可能表示成它的两个真子空间的并集.

证明 （运用反证法）假设V可以表示成它的兩个真子空间的并集，即存在V的两个真子空间W1，W2使得V=W1∪W2.

若W1W2，则W1∪W2=W2，与V=W1∪W2矛盾.

若W2W1，则W1∪W2=W1，与V=W1∪W2矛盾.

若W1，W2互不包含，则分别存在向量α，β使得α属于W1，但α不属于W2，β属于W2，但β不属于W1，则α+β不属于W1.事实上，假设α+β属于W1，由于α属于W1，进而由W1为子空间可以得到β=（α+β）-α也属于W1，与β不属于W1相矛盾.同理可证α+β不属于W2，故α+β不属于W1∪W2，即α+β不属于V.又由于α属于W1，β属于W2，故向量α，β都属于向量空间V，进而可以得到α+β属于V，这与之前得出的结论α+β不属于V相矛盾.

综上所述，可知V不可能表示成它的两个真子空间的并集.

分析 该命题为否定性命题.假设V能表示成它的两个真子空间的并集，并对两个真子空间是否有包含关系分三种情况进行讨论，分别得出矛盾.

四、反证法在线性变换中的应用

线性变换是高等代数的基本内容之一.在证明某一向量不是线性变换的本征向量时运用反证法，并利用本征值和本征向量的定义及线性变换的性质，可以得出与条件相矛盾的结论.

例8 设向量α，β分别是线性变换σ属于不同本征值k，l的本征向量，则向量α+β不是线性变换σ的本征向量.

证明 （运用反证法）假设向量α+β是线性变换σ属于本征值λ的一个本征向量，则由本征值的定义可以得到σ（α+β）=λ（α+β）=λα+λβ.

又由于α，β分别是线性变换σ属于不同本征值k，l的本征向量，故σ（α）=kα，σ（β）=lβ，进而由线性变换可以得到σ（α+β）=σ（α）+σ（β）=kα+lβ.因此，有λα+λβ=kα+lβ，即（λ-k）α+（λ-l）β=0，但线性变换属于不同本征值的本征向量是线性无关的，得到λ-k=λ-l=0，即k=l，矛盾，故向量α+β不是线性变换σ的本征向量.

分析 该命题为否定性命题.假设向量α+β是线性变换σ的本征向量，得到k，l是相等的，这与k，l是两个不同的数相矛盾，故假设不成立.

五、反证法在欧式空间中的应用

欧式空间由实数域上的向量空间引入内积得到，在数学中有着重要的应用.然而对于一些否定性命题，直接证明比较困难，运用反证法，从命题的反面出发，会较轻松地解决问题.

例9 设α，β是n维欧式空间V的两个不相等的单位向量，则（α，β）≠1.

证明 （运用反证法）假设（α，β）=1.由于α为单位向量，故可以把α扩充为n维欧式空间V的一组规范正交基：α，ε2，…，εn.进而存在实数域上的一组数k1，k2，…，kn使得β=k1α+k2ε2+…+knεn，所以（α，β）=k1，即k1=1.又由于β为单位向量，所以（β，β）=1+k22+…+k2n=1，进而推出k2=…=kn=0.则可得到α与β是相等的，这与α，β是不相等的向量相矛盾，故（α，β）≠1.

六、反证法在二次型中的应用

二次型理论在数学的许多分支中有着重要的应用.对于一些基本命题，运用反证法，从相反的角度去思考问题，会达到事半功倍的效果.

例10 如果实二次型q（x1，…，xn）是半正定的，则实二次型的秩与其正惯性指数相等.

证明 （运用反证法）设q是半正定的，要使实二次型的秩与其正惯性指数相等，则q的负惯性指数必须等于零，否则q可以通过实非奇异线性变换X=PY化为

q（x1，…，xn）=y21+…+y2p-y2p+1-…-y2r，

其中p

于是，当取yr=1，而其余的yi=0时，将由非奇异线性变换X=PY所得相应的不全为零的实数x1，…，xn代入上式，可以得到q（x1，…，xn）=-1<0.这与实二次型q是半正定的相矛盾，故q的负惯性指数必须等于零，即实二次型的秩与其正惯性指数相等.

结 语

反证法作为一种间接证明方法，是解决问题、发现问题的有力工具.我们在运用反证法时，需要对命题做出正确的反设，并且推导过程要准确合理.高等代数中的很多数学问题可以运用反证法来解决，但反证法并不是对所有的数学问题都适用，所以同学们要学会灵活运用，提高数学解题能力.

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