大学非数学专业的微积分教学探讨

摘要：大学数学教学改革绝不仅仅是内容体系、难易程度的改革，而是要通过这种改革提高学生的数学眼界与素养。从这个意义上来说，将数学建模思想、数学文化融入数学课堂教学中是必要的。

关键词：微积分;课堂教学;数学思想

微积分是大学里很多专业的必修课。国内使用最多的微积分教材是同濟大学主编的《高等数学》，该教材经过若干次修订，在内容的深度与广度方面都有所加强。该教材与西方教材存在着显著的差别。以Steward的《微积分》为例，这套教材之所以获得巨大成功，以致占领了北美大学微积分教材70%以上的市场，与该教材通俗易懂且具有浓郁的应用色彩不无关系。然而，作为一本取得巨大成功的教材，为什么国内很少采用它作为大学本科非数学专业的微积分教材？它有什么值得我们借鉴的地方？我国微积分教材以及微积分教学有什么可改进之处？这正是本文要探讨的问题。

一、教什么样的数学

很多教师认为，对于非数学专业的学生而言，会计算导数与积分、能简单地应用它们解决问题就够了，这种观点深刻地反映在微积分课堂教学中。非数学专业的大学生该学什么样的数学？教师该教什么样的数学？或者准确点说，学生该如何学数学？教师该如何教数学？这涉及我们需要培养什么样的大学生的问题。数学是一切科学的基础，这个基础不仅反映在学生将来能将课堂上学到的数学知识依样画葫芦地运用到工作中，更重要的是能灵活运用数学思想与方法解决问题。对于创新型人才而言，最重要的能力不是掌握已经被人熟知的数学应用方法，而是发现未知的运用数学解决问题的方法。如以下公式求解：

从这个意义上说，掌握数学的思想方法比掌握数学的实际应用更重要，前者属于更高境界的数学。从这个意义上来看，Steward的《微积分》并不是无可挑剔，该书对于数学在各个领域应用的介绍可谓酣畅淋漓，但或许出于浅显易懂的缘故，对于微积分内在的思想与方法论的阐释则稍嫌欠缺。该教材的内容对于大多数非数学专业大学生也许够了，但对于相当一部分希望将来在科学研究上有所造就的学生来说显然有些肤浅。该教材的另一个弱点是内容过于庞杂，很难在现有的课时内完成全部内容的教学。上述两个原因或许正是我国大学很少采用该教材的原因，但瑕不掩瑜，它的确是一本难得的优秀的微积分教材。我们需要教什么样的数学？这个问题并不难回答，简而言之：教有用的数学！问题在于什么是有用的数学？知识本身无所谓有用与无用。学习者会用，知识对于他就是有用的;学习者不会用，知识对于他就是无用的

二、微积分教材及教学可以做哪些改进

中美教材相比各有千秋。我国的微积分教材理论性偏强，美国的教材实用性偏强。数学教育历来有两种不同的观点：一种观点是提倡数学化，数学课堂应该强调数学自身的理论，可以不必过多考虑应用性。持这种观点者的理论依据是：数学作为一门思维科学，它的教育功能是培养学生的思维能力，具有相当广泛的普适性。另一种观点认为，数学教育应该注重数学的实用性，尤其对于非数学专业的学生更应如此。这种观点的依据是：非数学专业学生学习数学的目的是为了用数学，他们只要知道怎么应用数学就够了。这两种观点都有失偏颇。就微积分而言，它产生于自然科学，然而处理问题的方式又是纯数学化的，单纯地强调数学理论或数学应用都是片面的，应该在尊重历史的基础上两者兼顾。此外，数学的理论性与思想性是不同的概念，理论化程度高不表示思想性高。所以，微积分教材可以从以下几个方面进行改进：

（1）强化思想性。微积分的思想不仅对于解决实际问题具有举足轻重的意义（如在应力分析中，往往局部地用切平面取代目标曲面），它对现代数学的影响也是深远的。例如，局部“以直代曲”的思想不仅对于微分几何、拓扑产生了重大影响（如切丛的概念、向量丛的概念都与此有关），也影响了代数（如李群的李代数、导子等）。教材与教师的课堂教学应该充分展示微积分的这一精髓。

微分与积分的辩证思想体现在数学的众多分支中，也许是这种思想理论性较强的缘故，微积分教材通常避而不谈。函数的连续性也蕴含着深刻的数学思想，特别是闭区间上连续函数的性质，一般的高等数学教材只介绍结论，不讲证明。笔者不主张详细讲解这些定理的证明，但闭区间所反映出的重要思想应该对学生有所交代，况且这一思想并不难理解。

（2）适当强化应用性。在这个方面，Steward的《微积分》是一个很好的范本。这或许是它获得成功的一个主要因素，它从一个方面说明应用性是多么受欢迎。强调应用性，并不意味着弱化教材的思想性，而是微积分思想在自然科学与社会实际问题中的延伸。如果能借鉴Steward编写方式，适当将微积分在自然科学中的各种应用贯穿于教材的始终，不仅可以增加教材的趣味性与可读性，也可以为读者运用微积分提供一些范例与练习的机会。

（3）强化现代化技术的运用。微积分涉及许多计算，适当介绍一些数学软件与数学机械化方法不无益处。例如，在运用连续函数介值定理求方程根时，完全可以引入机械化方法，因为求方程根过程本身就是一个程式化过程。又如，牛顿切线法也是一个程式化过程，通过这两种求根方法的机械化过程，还可以直观比较二分法与牛顿切线法运用于具有凹凸性的单调函数时的优劣。在微积分教学中，最困难的计算非积分莫属，然而借助数学软件计算积分已经不是难事。所以，微积分教材完全没有必要在积分计算环节花费太多的篇幅，教师的课堂教学似乎也没有必要过分强调积分技巧的训练，适当介绍基本的积分方法就可以了。

三、学生是否需要掌握严格的极限语言

很多微积分教材都不介绍极限的δ-ε语言，这可能缘于该语言有些抽象，比较难以掌握。很多数学专业的学生在学完δ-ε语言后也是一知半解，直至多年后才理解其真正的内涵。国内外要求较高的微积分教材（如同济大学编写的《高等数学》）有所介绍，但仅限于初步了解。那么，作为非数学专业的大学生有没有必要了解甚至掌握极限的δ-ε语言？要说清楚这个问题，首先需要弄清楚极限的δ-ε语言在微积分中发挥的作用。的确，直观的极限概念并不难理解，学生不学习极限的δ-ε语言对于计算导数、积分并不会带来太大的影响，也不妨碍对微积分概念的理解。然而，直观的极限描述并非严格的数学语言，它无法参与数学论证，δ-ε语言是微积分的基本语言，说一个不懂δ-ε语言的人懂微积分是不可想象的。当年牛顿之所以遭到贝克莱大主教的质疑并引发历史上著名的第二次数学危机，正是因为微积分缺少一个严格的科学语言，人们以形式逻辑来理解微积分从而导致危机的产生，直到柯西将极限概念严格化，也就是用今天所说的δ-ε语言定义极限，才使得争论烟消云散。由此可见δ-ε语言对于微积分的重要性。δ-ε语言的确有一定的抽象性，但不能因为抽象就避而不谈。事实上，只要方式得当，学生并非不能掌握δ-ε语言。这种语言的基本思想即使在日常生活中也是常见的它现实的模型就是在一定精度范围内的误差估计。例如要制造一个给定体积的球形产品，使得体积误差不能超过一定的范围，工人如何判断误差有没有超过给定的精度？显然是通过卡尺测量球的直径，只要直径的误差在适当范围内，就能保证体积的误差在给定的误差范围内。如果从现实问题出发逐步引入δ-ε语言，而不是简单地给出一连串的数值检验，学生是不难理解这种特殊的语言的。即使是一个基础一般的普通学生，也不难理解生活中的这类误差估计，问题在于当教师从现实问题出发概括抽象出严格的δ-ε语言时，学生往往很难逾越从现实到数学的抽象障碍。但只要从实际的问题情景出发，让学生逐步感知、概括，最终是不难抽象出δ-ε语言的。不过作为非数学专业的大学生，确实没有必要作过多的极限证明，掌握δ-ε语言的本质就足够。

四、结语

本文阐述了非数学专业数学教材以及课堂教学应该注意的一些问题，指出非数学专业的微积分教学同样需要体现其思想性，探讨了如何在数学的理论性与实用性之间找到平衡。文章认为，将数学建模思想与数学文化融入数学课堂教学中是必要的。

参考文献：

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安建宇 2000年5月 男     族别：汉族 新疆省哈密市 大连大学