高中数学专题复习课教学模式探究及实践

温绍雄 尹兰

摘   要：高中数学专题复习课是围绕课程主线设计，整体把握专题内容结构及学生认知，旨在解决学生真问题的一种教学模式。以“椭圆中的定值定点问题”的教学实践为例，探讨如何在教学中设计、落实专题复习课，帮助教师深入理解核心素养背景下的高中数学教学，促进学生发展数学思维，提升数学核心素养。

关键词：教学模式;专题课;教学实践;定值定点问题

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2021）35-0044-05

在高中数学教学中，专题复习课教学能够根据学生的实际情况，解决学生的真问题。专题复习课以充分了解相关教学内容、学生学情为基础，将一类数学问题的知识、方法进行建构，挖掘其蕴含的思想方法，使学生在原有认知上有新的升华，發展学生的数学核心素养。

在近几年的全国各省市高考数学试卷中，椭圆的定值定点问题多次出现，考查多个知识点，对分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力都有较高要求。教师在日常教学中应重视该专题内容的系统整理，形成解题策略，提升学生综合运用的能力，培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。下面以“椭圆中的定值定点问题专题复习课”的教学过程为例，说明如何进行专题复习课的教学。

一、分析学生学情，明确教学目标

学生已经学习了椭圆的定义、几何性质等基本知识，以及直线与椭圆的位置关系相关内容，具备了一定的探究问题、分析问题和解决问题的能力，也具备了一定的运算能力。但是学生对该专题内容——椭圆中的定值定点问题缺乏理解与认识，无法形成解题策略及思维网络，同时处理该专题内容需要有较强的问题分析能力、几何直观能力和运算能力，学生比较欠缺这些能力。

根据学生实际学情，明确本节专题课的教学目标：

1.通过核心问题及问题串，引导学生经历直观感知、操作确认，概括出椭圆中的定值定点问题的解题策略，提升学生数学抽象、逻辑推理核心素养。

2.设置合理情境，通过学生分组讨论、探究、成果分享，调动学生解决问题的积极性。利用“一题多解”引导学生多角度思考问题，通过“多题一解”帮助学生提炼解题策略，多方面培养学生逻辑推理、数学运算核心素养。

3.通过探究过程，让学生进一步体验如何用解析几何方法描述、处理圆锥曲线问题，感悟解析几何中蕴含的数学思想和方法，提升学生的学习兴趣，培养学生善于探索、发现的良好习惯。

二、教学过程

（一）提出核心问题，创设研讨氛围

例1：已知椭圆C：+y2=1，P（4，0），过点（1，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，求证：kPA+kPB为定值.

解析几何中，有一些几何量在动态图形中是不变的，这种问题常与动点、动弦、动角、动曲线、对称性等融为一体，能有效考查学生的综合能力。例1为该专题的核心问题，通过对题目的简化、改编，帮助学生缓解对陌生题目的畏惧情绪，引导学生思考如何利用已有知识解决问题。

问题1：设直线方程时，需要注意什么？

问题2：A、B两点的坐标有什么关系？

追问：y1+y2，y1y2如何表示？

问题3：如何计算“kPA+kPB”？

通过设置问题串，引导学生思考题目特征和涉及到的知识点，一步步深入理解问题，引发学生思考辨析。通过追问，引导学生利用韦达定理x1+x2，x1x2直线方程将y1+y2，y1y2的表达式写出来，这四个式子在该专题以及直线与椭圆的位置关系的其他专题中会经常用到。利用它们来沟通未知和已知之间的关系，而未知数本身并不需要求出它的值，这种“设而不求”的思想在处理解析几何问题中是非常重要的。它将关注运算求解上升为关注分析求解，即通过少量的计算、大量的分析实现解题，优化了学生的解题思路，让学生对解决解析几何难题更有信心。

通过上述问题设置、学生探究，明确了最终的运算对象，求得运算结果，继而提升学生的数学运算核心素养。

教师指导、判断学生是否能够准确转化条件，并分享小组成果，完善解题步骤：

①若直线l无斜率时，求出kPA+kPB=0;

②若直线l有斜率，设直线方程为y=（x-1），与椭圆方程联立消元，得到根与系数的关系：x1+x2=，x1x2=;

③利用根与系数的关系以及直线方程，得到kPA+kPB=0;

④综上所述，可证得kPA+kPB为定值0.

易错点：直接设直线方程为y=k（x-1），忘记考虑直线l无斜率的情况。解题关键在于利用根与系数的关系以及直线方程化简计算kPA+kPB的值。

数学运算能力是学生在数学学习中要掌握的核心能力，运算能力不是一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。本节的难点之一在于学生运算能力的突破。通过上述问题设置、学生探究，明确了最终的运算对象，求得运算结果，继而提升学生的数学运算核心素养。

（二）合作探究，一题多解

通过学生小组讨论，可将直线方程设为

l：x=my+1，与上述解题步骤相同，得到结果。这样设方程，可以使得与椭圆方程联立消元时计算变简单，同时注意这个直线方程可以表示无斜率的情况，表示不了l斜率为0的情况。

以上两种解法都是处理该类问题的常用方法，体现了由特殊到一般的数学思想。

通过不同解法的分析，总结得到此类问题的解题策略：

①设出直线方程;

②与椭圆联立消元，找到根与系数的关系;

③根据条件，化简推导，在计算过程中消去变量，从而得到定值。

（三）反转问题，深入探究

将此题做变式：已知椭圆C：+y2=1，

P（4，0），直线l有斜率，且与椭圆C相交于A、B两点，若kPA+kPB=0，求证：直线l过定点.

通过互换已知条件和结论，引出椭圆中的定点问题，促进学生由感知到理解，通过一题反映一类题所蕴含的知识方法和规律，实现一题多用的效果，帮助学生跳离题海，提高学生的解题能力和创造性思维，培养学生的数学抽象和逻辑推理核心素养。

学生活动：自主探究、推理，写出计算过程。

教师活动：设直线方程为l：y=kx+m。根据例1的解题步骤，写出解题过程。

教师巡视，针对学生在运算中出现的问题加以指导，板演解题过程。

思考问题：解决该问题的步骤是什么？

学生活动：梳理解题过程，总结解题步骤：

①设出直线方程;

②聯立直线与椭圆方程，得到根与系数的关系，以及△>0;

③根据条件建立代数关系式;

④化简、计算，找到参数间的关系，求出定点。

经过例1定值问题的处理后，学生可以类比思考探究该定点问题如何处理。发现逻辑的起点、推理的形式，通过演绎推理得出结论。

在推导过程中，学生在进行韦达定理、含参数字母的运算时犯错率高，容易忽略判定检验等问题。通过教师板演计算步骤，带领学生看清、看准运算对象，把握运算思路，改善运算习惯，可逐步提升学生数学运算核心素养。

如果设直线为l：x=my+t，（m≠0），根据上述解题步骤也可以得到两个参数间的关系，进而求出定点。

通过画图能够看出来，若一条直线满足题目条件，那么与该直线关于轴对称的直线也会满足题目条件，这两条直线的交点一定是定点，即利用对称性知此定点在轴上。发现过点

P（4，0）和椭圆上顶点M（0，1）的直线与椭圆交于另一点N（，），由对称性可知过椭圆下顶点M′（0，-1）和N（，）的直线y=x-1，而且kPM′+kPN=-kPM+kPN=0，则直线M′N：y=x-1满足条件，其与x轴的交点（1，0）即为直线l所过的定点。

利用对称性和特殊情况找到了定点，再设直线方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立消元，利用韦达定理及直线方程得到kPA+kPB=0，满足条件，因此直线过定点（1，0）。

教师活动：总结上述不同做法，得到定点问题的解题策略：

①设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出参数之间的关系式，或者求出参数的值，代入直线方程即可求出定点。

②从特殊入手，先通过符合题设条件的一些特殊情况找到这个定点，明确解决问题的方向与目标，然后再进一步探究和推导，验证该点满足题意，得出一般情况下的结论。

（四）知识应用，练习巩固

练习：（2017年全国卷Ⅰ理科20题（2））已知椭圆C：+y2=1，P（1，0），设直线l不经过点P且与椭圆C相交于A、B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为-1，证明：直线l过定点.

利用核心问题探究椭圆中的定值定点问题的解题策略，让学生在活动中主动建构和思考。这里选择了一道典型的高考试题作为练习，激发学生的学习兴趣，引发学生对该专题内容的重视，巩固此类问题的解题策略与步骤，通过练习提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养。

（五）整合构建，归纳总结

1.通过本节专题课的学习，你掌握了哪些知识方法？

椭圆中的定值问题的解题策略：

设出合适的直线方程，根据条件直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。

椭圆中的定点问题的解题策略：

①设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出参数之间的关系式，或者求出参数的值，代入直线方程即可求出定点。

②从特殊入手，先通过符合题设条件的一些特殊情况找到这个定点，明确解决问题的方向与目标，再进一步探究和推导，验证该点满足题意，得出一般情况下的结论。

2.在探究椭圆中的定值定点问题中体现了什么数学思想、方法？

转化、类比思想，定值定点问题可以相互转化，可以类比得到解题策略。由特殊到一般等思想，从特殊入手，先根据特殊位置、对称性等求出定值或定点，再证明这个值与变量无关或者直线过该定点。消元、设而不求等方法的运用可有效地简化运算。

3.在处理本专题的问题中，需要注意什么？

设出合适的直线方程;合理转化题目条件，将几何关系转化为代数关系;韦达定理、判别式△>0等条件的运用;逻辑推理能力、数学运算能力很重要。

4.通过本专题课的小组学习研讨，你有什么收获？

通过同学们分享，总结本专题课中收获的知识与方法、数学思想等，引导学生主动参与到学习的全过程，学会归纳总结本专题的规律方法，解决本专题的核心问题，鼓励学生多思考、多动手、多总结。

（六）学习活动

必做：1.已知椭圆C：+y2=1，点D（-2，0），直线l不过点D，且与椭圆C相交于A、B两点，DA⊥DB求证：直线l过定点.

2.已知椭圆C：+=1，点P（1，），斜率为的直线l不过点P，且与椭圆C交于A、B两点，设直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2为定值.

探究：已知点M（m，0），（m>）若过点P（，0），且不垂直于坐标轴的直线l与椭圆C：+y2=1交于A、B两点，求证：∠AMP=∠BMP.

三、设计说明

本节专题课利用相关的数学核心问题及其变式对椭圆中的定值定点问题进行了深入分析，对学生可能遇到的困难进行合理评估、预设。采用问题引导、合作探究的教学方法，学生为主体，教师为引导者，通过学生自主思考、自主探究、动手实践、合作探究等方式推进教学进程，解决重难点知识。