IHV变截面涡旋型线等效齿厚计算模型与几何性能分析

刘 涛 ，冯志国 ，孙永吉 ，2

（1.兰州理工大学 机电工程学院，兰州 730050；2. 兰州工业学院 工程训练中心，兰州 730050）

0 引言

涡旋压缩机具有高效低振、可靠性高、结构简单、体积轻小等优点［1］，目前已经应用于新能源汽车空调、制冷、化工以及增压泵等诸多领域［2-8］。

涡旋型线是涡旋压缩机设计的难点和基础，随着涡旋压缩机应用范围的扩大，为适应压缩机更大行程容积和更高压缩比的需求，变截面以比等截面型线更少的圈数、更短的型线加工长度和泄漏线长度等优点成为研究的热点［9］。变截面型线主要组成单元有基圆渐开线、高次曲线、圆弧、变径基圆渐开线等。郝胜利等［10］建立了一种变壁厚涡旋压缩机型线方程，计算了容积特性，结果表明，吸气容积、制冷量和制冷COP较等壁厚均有所提升。王君等［11-12］建立了一种渐变齿厚涡旋齿型线模型，对该涡旋齿涡旋压缩机进行了流场分析以及涡旋齿变形分析，结果表明，该涡旋齿与等齿厚涡旋齿相比，其齿变形更小、应力分布更合理；丁佳男等［13］推导了变径基圆渐开线型线不同起始位置下型线的方程。彭斌等［14］研究了圆渐开线-高次曲线-圆弧组合型线，建立了涡旋压缩机的数学模型。

对各单元型线特性分析发现，圆渐开线性能稳定且易于加工，高次曲线参数样条可以有效减少涡旋圈数；变径基圆渐开线节距随着展角的变化而变化，随着变径系数取值不同可灵活调节型线齿厚，形成渐变齿厚涡旋型线。本文提出以圆渐开线-高次曲线-变径基圆渐开线（Involute-High order curve-Variable radii involute，IHV）为基础型线构造一种新的涡旋组合型线，以达到充分利用各类曲线的优点、有效提高涡旋压缩机几何性能的目的。建立IHV型线数学模型，探讨几何参数对变截面涡旋齿等效齿厚的影响；研究了变径系数对IHV型线行程容积和压缩比的影响，并将IHV变截面型线与圆渐开线构成等截面型线几何性能进行比较，研究结论可对变截面涡旋压缩机设计提供参考。

1 IHV变截面型线数学模型

1.1 型线控制方程

涡旋齿型线的微分几何关系如图1所示［9］，图中M为渐开线任意一点，φ为渐开角，α为单位切矢量，β为单位法矢量。根据啮合原理，涡旋型线连续啮合需要满足如下型线控制方程［9］。

式中 R ——广义基圆半径；

ρ ——广义展成半径。

图1 型线微分几何关系Fig.1 Differential geometry relation for scroll profile

1.2 组合型线母线方程

组合型线的母线首段型线选用基圆渐开线，中间段选用高次曲线，末段型线采用变径基圆渐开线。根据式（2），基圆渐开线段方程可表示为：

式中 R1——圆渐开线的基圆半径。

中间段高次曲线方程可表示为：

变径基圆渐开线方程可表示为：

式中 K ——基圆变径系数；

φ1——基圆渐开线终端渐开角；

φ2——高次曲线终端渐开角；

φe——变径基圆渐开线终端渐开角。

为了满足型线的连续性与光滑性要求，在渐开角φ1和φ2处分别有：

由式（6）（7）可求得 c0，c1，c2，c3。在待定参数取R1=3 mm；φ1=2.5π；φ2=4π；φe=,7.5π，K=0.05时，由式（6）（7）解得 c0=365.59，c1=-114.36，c2=12.10，c3=-0.39。该组合型线母线如图2所示。可见，采用高次曲线可有效减少涡旋圈数，缩短了径向泄漏线长度。

图2 IHV组合型线母线Fig.2 Generating line of the IHV combined scroll profile

1.3 组合型线涡旋齿型线数学模型

采用法向等距线法［15］生成涡旋齿内外壁型线，由于动静涡旋盘相差180°，因此，可将母线旋转180°形成另一条母线。以上述两条母线为基准分别生成它的内、外法向等距线，构成动、静涡旋盘的内、外壁面型线。其中动涡旋型线为：

静涡旋盘的型线方程为：

2 IHV变截面型线涡旋齿等效齿厚

涡旋齿齿厚是涡旋压缩机的一个重要几何参数，不同的型线组成会影响其齿厚大小，进而影响涡旋齿的强度和传热性能，故研究齿厚的变化规律是十分必要的。

2.1 涡旋齿等效齿厚计算模型

变截面涡旋齿由不同型线组合形成，当涡旋齿内、外壁型线均为基圆渐开线时，其齿厚可按等截面齿厚两点模型计算，即计算对应渐开角切线与内、外壁型线交点间的法向距离；当涡旋齿内、外壁型线由不同类型型线构成时，由于内外壁型线渐缩点不重合，故无法沿着同一渐开角切向方向计算，故本文提出一种等效齿厚计算模型。如图3所示，在某一渐开角对应内、外壁型线上的点D，E找到其渐缩点A，B，过C点作CE垂直于BC交AD于E点。由于BC为内壁型线展弦ρi，AD为外壁型线展弦 ρo，可定义等效齿厚为：

图3 IHV组合型线齿厚计算模型Fig.3 Tooth thickness calculation model of the IHV combined scroll profile

内、外型线展弦随渐开角变化而变化，根据涡旋型线生成原理，内、外壁型线渐开角相差π；内、外壁型线由不同类型型线组成，故内、外壁展弦需要分段计算。

内壁型线展弦为：

外壁型线展弦为：

2.2 几何参数对齿齿厚的影响

根据构建的IHV变截面涡旋型线几何模型，影响涡旋型线的几何参数有变径基圆变径系数K、基圆半径R1以及不同型线间连接点渐开角φ1，φ2等。基于上述等效齿厚计算模型，采用控制变量法，探讨不同几何参数对组合型线涡旋齿齿厚的影响。

2.2.1 变径系数K的影响

其他几何参数不变，改变变径系数K的取值，涡旋齿型线等效齿厚随渐开角变化如图4所示。从图中可看出，等效齿厚总体变化趋势为随渐开角的增大先增大后减小，在变径基圆渐开线段随K的不同取值有所不同。当K=0时，变径基圆渐开线段齿厚保持不变；K<0时，变径基圆渐开线段齿厚逐渐减小；K>0时，变径基圆渐开线段齿厚逐渐增大。K=0.05时，最大齿厚为23.11 mm，以此作为基准，当K=0时，最大齿厚为20.74 mm，减小10.26%；K=-0.05时，最大齿厚为18.44 mm，减小了20.21%。

图4 变径系数K对等效齿厚的影响Fig.4 Influence of coefficient K of variable radii involute on equivalent tooth thickness

2.2.2 基圆半径R1的影响

其他几何参数不变，改变基圆半径的取值，等效齿厚变化如图5所示。由图可知，随着基圆半径增大，涡旋齿等效齿厚增加，高次曲线段齿厚变化快且最大齿厚增加幅度比较大，变径基圆渐开线段等效齿厚呈线性变化趋势。R1=3 mm时，最大齿厚为23.11 mm，以此作为基准；R1=2.5 mm时，最大齿厚为19.65 mm，最大齿厚减小14.97%；R1=2 mm时，最大齿厚为16.19 mm，减小29.94%。基圆半径增大涡旋盘半径也会增大。

图5 基圆半径R1对等效齿厚的影响Fig.5 Influence of base circle radius R1 on equivalent tooth thickness

2.2.3 连接点渐开角φ1的影响

其他几何参数不变，改变连接点渐开角φ1的取值，涡旋齿等效齿厚随渐开角变化趋势如图6所示。由图可知，随着φ1的增大，涡旋齿最大齿厚显著增加。当φ1=2.5π时，最大齿厚为23.11 mm，以此作为基准，φ1=2π时，最大齿厚为20.02 mm，较基准减小了13.37%；φ1=3π时，最大齿厚为25.78 mm，较基准增加了11.55%。

图6 渐开角φ1对等效齿厚的影响Fig.6 Influence of involute angle on equivalent tooth thickness

2.2.4 连接点渐开角φ2的取值，涡旋型线等效最大齿厚随渐开角φ2的影响

其他几何参数不变，改变连接点φ2增大而减小，如图7所示。当φ2=3.5π时，最大齿厚为25.78 mm，φ2=4π时，最大齿厚为23.11 mm，φ2=4.5π时，最大齿厚为20.02 mm，而且齿厚最大值所对应渐开角随着φ2的增大而增大，涡旋型线终端径向尺寸不变。

图7 渐开角φ2对等效齿厚的影响Fig.7 Influence of involute angle on equivalent tooth thickness

3 IHV变截面型线几何性能分析

3.1 几何性能指标

为了评价新构建的变截面涡旋型线的几何性能，引入一个等截面涡旋型线进行对比，等截面型线以基圆渐开线作为母线，使其与变截面型线具有相同的基圆半径、齿高、最终展角等几何参数。为了定量说明IHV组合型线的几何性能，引入行程容积、径向泄漏线长度和内容积比进行定量分析。

涡旋压缩机工作原理为由动、静涡旋齿相互啮合形成多个封闭腔体，图8示出动、静涡旋齿啮合模型，由外向内依次为第三压缩腔、第二压缩腔和中心工作腔（排气腔），分别用③、②、①来表示。行程容积是反应涡旋压缩机容积特性的一个重要参数，规定当θ=0时，最外圈齿尾处工作腔封闭，此时最外侧工作腔容积为行程容积即第三压缩腔容积 V3（θ）。

图8 动、静涡旋齿啮合Fig.8 Meshing diagram of orbiting and fixed scroll teeth

式中 H ——涡旋齿高度；

θ ——曲轴转角。

涡旋压缩机泄漏是影响其工作效率的一个重要因素，而由于轴向间隙所产生的径向泄漏是其主要泄漏，所以缩短泄漏线长度是提高其效率的重要方法。涡旋型线母线长度可近似作为涡旋压缩机径向泄漏线长度。

按理想气体无泄漏压缩过程，压缩过程按绝热过程，压缩比定义为：

式中κ为气体等熵指数，文中取值为1.19。

3.2 几何性能分析

IHV涡旋型线末端由变径基圆渐开线组成，变径系数变化对变径基圆渐开线的性能会产生影响，因此，讨论变径系数对型线性能的影响。结果如表1所示。结果表明，当变径系数K为零时，构建的型线为常见的圆渐开线-高次曲线-圆渐开线（简称IHI）组合型线；以IHI型线为基准，其他几何参数保持不变，当K由0增至0.05时，行程容积和压缩比分别提高6.57%和7.85%；当K由0减至-0.02时，行程容积和压缩比分别降低2.63%和3.14%。

表1 不同变径系数K下IHV型线性能比较Tab.1 Performance comparison of IHV combined line under different coefficients K of variable radii involute

将新构建的IHV型线与传统基圆渐开线型线对比，变径系数K=0.05时，结果见表2。表中变化量表示各个指标的变化值。从表中可看出，IHV变截面型线与圆渐开线相比，行程容积和压缩比均有所提高，分别提高5.82%，6.95%，径向泄漏线长度缩短了26.80%。

表2 不同类型型线性能对比Tab.2 Performance comparison of different scroll profiles

4 结论

（1）根据微分几何理论构建了基圆渐开线-高次曲线-变径基圆渐开线（IHV）新型变截面涡旋型线，确定了组合型线母线方程，基于法向等距线法建立了动、静涡旋齿型线数学模型。

（2）建立了IHV变截面型线涡旋齿等效齿厚计算模型，研究发现：等效齿厚随着基圆半径增大而增加，高次曲线段齿厚变化快且增幅较大，变径基圆渐开线段齿厚呈线性变化；等效齿厚随变径系数取值不同有所不同增减变化规律；最大齿厚随连接点渐开角φ1的增大显著增加，随渐开角φ2增大而减小。

（3）当变径系数K=0.05时，IHV型线与基圆渐开线构成的等截面型线相比较，行程容积增大5.82%，压缩比增加6.95%，径向泄漏线长度缩短26.80%；与常见的IHI变截面型线相比，行程容积和压缩比分别提高6.57%，7.85%。