非线性薛定谔方程的光纤解和调制不稳定性

秦春艳

宿州学院数学与统计学院，安徽宿州,234000

近年来，在非线性光学中，光纤孤子一直是广泛研究的课题，光纤孤子包括亮孤子型和暗孤子型脉冲，可以分别在一般色散介质和非一般色散介质中传播。它们在光纤通信领域引起了强烈的反响，如今各种通信方式，如电信和互联网传输工具已经变得越来越发达,这可能要归功于光孤子领域的研究[1-2]。非线性薛定谔方程在这些研究中具有重要的理论意义，它可以描述光脉冲的一些动态行为。这类方程包括一些重要的性质，如皮秒脉冲、群速度色散和自相位调制等。此外,在薛定谔方程族中，存在许多不同的类型，主要包括Kerr非线性、三次方程非线性和对数非线性等。这些非线性薛定谔方程可以表示一些光学传播中非常有趣的现象，例如水波、玻色-爱因斯坦凝聚和等离子体物理学[3-4]。几种经典类型的薛定谔方程引起了数学家和物理学家们的关注,这些方程主要包括与三次-五次非线性相关的广义薛定谔方程、与任意非线性相关的强制薛定谔方程和与非Kerr项相关的高阶薛定谔方程[5-7]。事实上，它不同于普通的非线性薛定谔方程,那些存在非Kerr效应的方程被验证为不完全可积系统，不能使用反散射变换构造精确解。

本文研究如下形式的非线性薛定谔方程[8]

i(ψt+Cgψx)+μψxx+ν|ψ|2ψ=0

(1)

1 稳定性分析解

(2)

(3)

这里dω=dtdx,λ是实常数。把(2)式与(3)式结合起来，可得

由此得到一个拉格朗日算符L：

为了验证后面的计算，将拉格朗日算符L应用到如下系统：

接下来为构造方程(1)的光纤解，引入文献[5,15]中的假设：

ψ=Ω(x,t)eiφ(x,t),φ(x,t)=k1x-ωt+θ

(4)

这里Ω=Ω(x,t)表示脉冲的形状，φ(x,t)表示孤子的相位部分。其中k1,ω和θ分别是波数、频率和相位中心。因此，从方程(4)可求出它的偏导数，把这些偏导数代入到方程(1)中，最后从所得到的方程中分别收集实部和虚部，即

2μk1Ωx+Ωt+CgΩx=0,vΩ3-μk12Ω-k1CgΩ+ωΩ+μΩxx=0

(5)

1.1 亮孤子解

亮光纤孤子被熟知为bell-型孤子,而且由于对长的空间距离没有相变化,所以也被熟知为非拓扑孤子。

定理1非线性薛定谔方程(1)的亮孤子解为

ei[k1x+(B12μ-k12μ-Cgk1)t+θ]

证明：对亮孤子解，基于文献[15]的假设，取

Ω(x,t)=Asechpτ

(6)

其中τ=B1(x-rt),A为波幅，B1为孤子的逆宽度,r是波速。通过(6)式，可以得到关于Ω的一些导数，这样系统(5)就可以写成：

2ApB1k1μsechp(B1(x-rt))tanh(B1(x-rt))-ApB1rsechp(B1(x-rt))·tanh(B1(x-rt))+CgApB1sechp(B1(x-rt))tanh(B1(x-rt))=0

(7)

(8)

对于方程(7)，将sechp(B1(x-rt))tanh(B1(x-rt))的系数设为零。在(8)式中,令指数3p等于p+2，然后得到p=1.通过把相同的项组合起来，容易得到：

(9)

最后，得出方程(1)的一个亮孤子解由下式给出:

ei[k1x+(B12μ-k12μ-Cgk1)t+θ]

其中振幅A、宽度B1、速度r和频率ω分别由(9)式确定相应的约束条件,而这些约束参数确保孤子的存在。为更好地分析光纤孤子的性质，通过选取合适的参数，亮孤子解的图片绘制如图1。

图1 亮孤子解的图像

1.2 暗孤子解

暗孤子解，在非线性光学内容中，它被熟知为非拓扑孤子。类似地，为获得方程(1)暗孤波解，基于文献[15]中的假设，取Ω(x,t)=Atanhpτ,其中τ与亮孤子解的部分相同。根据同样的计算得到：

因此,非线性薛定谔方程(1)的暗孤子解形式如下：

为更好地分析光纤孤子的性质，非线性薛定谔方程(1)在参数条件g=1,k0=ln(1/2),k1=1,h=1,c=1,B1=1,θ=0下，暗孤子解的图片绘制如图2。

图2 暗孤子解的图像

2 复 解

定理2非线性薛定谔方程的复解为:

证明：在这一部分，考虑了非线性薛定谔方程的复解问题。基于文献[9]中的性质，ψ(x,t)表示为

ψ(x,t)=f(ξ)exp(iφ)

ξ=α1x-βt+θ0,φ=l1x-vt+θ1

把上述表达式代入到方程(1)，然后可以得到：

(10)

平衡非线性项f3和最高阶导数f″的线性项，并假设常微分方程(10)解的形式是:

f=a0+a1Y,Y=tanhξ.把f代入到方程(10)，通过计算可以得到下面的一些限制条件

则非线性薛定谔方程(1)的复解：

3 调制不稳定性

一些研究表明许多非线性薛定谔方程都存在一个不稳定性因子，这就导致了在稳定状态下的一个调制，从而在非线性项和色散效应之间产生一个相互作用。所以，有必要构造与非线性系统(1)相关的调制不稳定性。利用文献[16]中的结果，引入一个稳态函数：

(11)

(12)

其中a1,a2分别表示扰动的波数和波频率。从线性演化方程(11)很容易得出一个色散关系a1=a1(a2)，它决定了关于波数a1的时间振荡eia1x如何与空间振荡eia2t相关。把式(12)代入方程(11)，得到色散关系如下：

(13)

4 结 论

研究了非线性薛定谔方程，该方程可用于表征与弱非线性恢复力相关的长波水波。基于拟设方法，推导出它的亮解和暗解。同时，通过考虑双曲正切函数，提供了一种方法来找到它的复解。此外，构造了方程(1)的拉格朗日形式和不变变分原理。最后，对于所得到的结果使用调制不稳定方法。通过应用稳定性分析，得到了相应的稳定和不稳定的条件，希望此结论对光纤通信的发展有所帮助。