立体几何教学之我见

广东省高州市广东高州中学(525200) 李文聪

数学核心素养是学生应具备的适应终生发展和社会发展需要的数学领域的必备品格和关键能力.根据新课程标准,当前高中数学的核心素养包括: 数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象与数据分析.立体几何教学作为高中数学的重要内容,承担着6 个核心素养培养的重要任务,其中直观想象、运算能力与逻辑推理是教学的重点任务.培养学生的空间直观感知能力,提高判断空间几何体中元素的位置关系,依据逻辑推理获得空间结论,使学生构建空间元素与重要结论是立体几何课的结构特点.

1 学生学习立体几何中存在的主要问题

1.1 对立体几何中涉及的基本概念、定理不清,理解不透彻

以必修1 第2 章第1 节为例,如: 学生无法准确给出空间中点、直线、平面的位置关系的概念,未能从点、直线、平面交点个数角度深刻理解它们的位置关系,未能准确理解空间中三个角(线线角、线面角)的基本概念.又如: 对线面(面面)平行(垂直)中的四个判定定理、性质定理理解不透且无法用数学语言准确表述,仅停留在初步感官认识,导致问题解决表述不清或者无法解决.

1.2 空间想象能力不足,作图能力欠缺

因为高中立体几何知识不同于初中平面几何知识,更多的是对于学生想象能力的考验,而学生本身的几何知识水平仍停留在平面几何阶段,难以建立丰富的空间想象能力,从而阻碍了高中立体几何的教学,同时由于几何体的直观图和日常生活的图形结构存在一定的差异性,使得学生对立体几何的认知更加难以理解.如在直观图作图中,现实中的矩形要画成一个内角为45°,且长度有变化的平行四边形.要把45°角看成90°角,这与学生原来的认知形成了激烈冲突,对学生的空间想象能力带来了极大的挑战.

1.3 知识储备不足,解题能力欠缺

首先,学生平面几何的知识储备不足,对初中所学的平面几何知识遗忘率高,导致无法找到解题切入点.

图1

例1(2014年全国一卷第19 题的第1 问) 如图三棱柱ABC −A1B1C1中, 侧面BB1C1C为菱形,AB ⊥B1C.

(I)证明:AC=AB1.

该题涉及等腰三角形中底边上的中线与边上的高重合这个知识点,忽视这个平面几何知识将无法切入解题.

分析: 设BC1∩A1C=O,所以要证明AC=AB1,也就是要证明AO⊥B1C,转化为线线垂直问题,进一步转化为证明BC1⊥平面ABO,再利用菱形对角线互相垂直这个平面几何知识结合条件AB⊥BC1,容易得证.

其次,学生利用传统方法解决立体几何空间量(线线角、线面角、二面角、距离)能力不足,过分依赖利用空间向量解决空间量问题.利用空间向量方法简单明了,但若遇建系困难或求点坐标困难则无法推进解题过程,且利用向量法运算量过大,容易出错.

2 基于高中数学核心素养培育的立体几何教学策略

核心素养的形成与发展关键需要课堂教学具有针对性,在课堂教学中,能解决学生的“学什么,怎么学”以及教师的“教什么,怎么教”的绝大部分问题.核心素养的形成与发展,需要发挥课程的功能,即促进学习经验的获得、改造与固化.那么如何结合核心素养的培养, 进一步提升立体几何的教学? 可以采取以下策略.

2.1 根据学生认知规律整合内容的基础性和实用性

以必修1 第2 章第1 节为例,介绍了四个公理、三个推论以及证明及应用,这是立体几何的基础性内容,非常重要,但这对于一个普通高中学生来说,过于抽象,要想达到“应用”这些推论与公理,谈何容易.此外,在我们的课程内容设计中,出现大量的线线、线面、面面等相互之间的特殊位置关系,但很少阐述我们是如何刻画这些位置关系.面对这样的困难,学生何来学习兴趣? 以我之见,该部分内容虽具有很强的基础性,但实用性应根据高中学生的认知规律,在具体教学过程中应当由浅入深,不宜过分强求在本节之内要求学生完全掌握,可以在以后的教学过程中穿插回顾巩固.

看图、作图能力是学习立体几何的基本能力要求,在讲授直观图与三视图时既要讲清楚原理,更要设置足量的内容提升学生看图、作图能力,确保每个学生都掌握过关.还要注意补充部分平面几何的知识,如三角形、平行四边性性质,平行线分线段成比例定理等等,又如三垂线定理(逆定理)等等这样能体现数学的简洁美且能提升学生数学素养的结论也是非常值得补充的.

2.2 明确立体几何知识的条理化和整体化,构建完整知识系统

立体几何从知识结构上看,须把握整个知识的形成过程,在平面基本性质的基础上,研究空间线线、线面、面面的位置关系.线线关系用于研究线面、面面关系,反过来研究线面、面面关系可以解决线线关系.这种对提升学生的分析问题能力和综合应用能力有着深刻影响,对培养学生的化归、转化数学思想,强化学生的逻辑推理能力有着极大的帮助.

图2 立体几何知识树导图

以上为立体几何知识树导图,这是高中学生必须掌握的立体几何系统化知识,而立体几何知识整体化的形成过程就必须建立在条理化的教师讲解与学生学习的基础上,这就要求教师在讲解过程中必须对相关概念讲解透彻,并加以强化训练,以达到预期目标.例如在讲解直线与直线之间的位置关系时,要抓住其位置关系分类的依据: 是否有交点? 若l1与l2有且只有一个交点,则l1与l2相交,若l1与l2没有交点,则l1与l2平行或者异面.这里要突出是从交点个数这个角度去分析,并要注意引导学生区分在平面中直线没有交点与在空间中没有交点是有本质区别,从而在引出共面与异面直线这个分类,这是学生原有的认知水平与现学知识产生认知冲突的一个重要环节,也是培养学生空间想象能力的至关重要的一个环节.由此及彼,层层推进,利用类比方法开展小组合作探究活动,让学生自主学习线面、面面关系.在直线与直线关系之中还有一个重要内容就是异面直线所成的角,在讲授此知识点时要特别注意紧扣定义及角的范围,设置适量训练情境,让学生感受立体几何的化归、转化数学思想,将空间角转化为平面角,从而提升学生的逻辑推理能力.

例2(2015年全国1 卷理科第18 题) 如图3, 四边形ABCD为菱形, ∠ABC= 120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC.

(I)证明: 平面AEC ⊥平面AFC;

(II)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

图3

图4

在第2 问的解答过程当中大部分学生都是用向量去解决的,增加了运算量,若紧扣空间角定义,将空间角转化为平面角,解题将显得更为便捷.

分析: 如图 4,连结BD交AC于G, 取CE中点M, 取EF中点N, 连结MN,GM,GN, 易得AE//GM,MN//CF, 则∠GMN与直线AE与直线CF所成角相等或互补.

立体几何知识的条理化和系统化需要贯穿于课堂教学,要落实在新课讲授当中,且注意教材内容安排的递进性以及解决问题方法的相似性.

2.3 深化知识机构,强化立体几何的思想性,全面提升学生数学核心素养

2.3.1 合理利用空间向量解决立体几何问题

空间向量用于求解空间量问题有着原理简单这个独特优势,它是进入21 世纪之后增添进入我国立体几何教材的,主要步骤就是建系和运算, 对解决空间量(空间角、空间距离)非常直接了当,也可以用于解决空间中线线、线面、面面的平行和垂直问题.

例3(2014年全国一卷第19 题) 如图5: 三棱柱ABC −A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB ⊥B1C.

(I)证明:AC=AB1.

(Ⅱ)若AC ⊥AB1,∠CBB1= 60°,AB=BC,求二面角A −A1B1−C1的余弦值.

图5

图6

通过上文论述我们已经证明了AC=AB1.

分析: 因为AC⊥AB1且O为BC1的中点, 所以AO=CO, 又因为AB=BC, 所以∆BOA∽= ∆BOC,故OA⊥OB, 从而OA,OB,OB1两两垂直, 建立如图6 空间直角坐标系, 设OB= 1, 因为∠CBB1=60°, 所 以∆CBB1是等边三角形, 又AB=BC, 则,B(1,0,0),B1设n= (x,y,z) 是平面AA1B1法向量, 则所以可取设m是平面A1B1C1法向量, 则同理可取则cos〈n,m〉=所以所求二面角的余弦值为

利用空间向量解决立体几何问题,体现了向量的工具功能,有利于培养学生的建模能力,但从以上过程我们注意到以下几点: ①建系过程中应用了三角形全等的平面几何的知识; ②求法向量的过程当中,个别关键点坐标很难求解,故所用向量采用了等价代换(平面扩展或平面平行); ③要熟悉向量解决二面角的原理.也就是说即使利用向量解决立体几何问题也不是孤立的存在,而是在此过程中嵌入了传统的方法原理,这个过程同样的体现了对学生空间想象能力,逻辑推理能力以及运算能力的高要求,所以我们必须要走出一个误区,也就是用向量法一定比传统方法简单.

2.3.2 强化利用传统方法(非向量)解决立体几何问题

下面再来看看利用传统方法(非向量)解法:

如图7,所求二面角A−B1A1−C1与二面角B1−AB−C互补, 因为AO⊥BO,BC1为∠CBB1的平分线,BC1⊥面AOB,CO=B1O为,所以二面角B1−AB −C平面角α的大小为二面角B1−AB −O平面角θ的2 倍,如图8,过O作角OM垂直AB于M,连结角B1M,由三垂线定理得角∠B1MO为二面角B1−AB −O的平面角,设因为∠CBB1=60°,易得OA=OB=1,

图7

图8

图9

图10

如图9,在Rt∆BOA中再利用等面积即可求得OM=如图10,在Rt∆B1OM中可求得MB1=,sin ∠θ=所以cosα= cos 2θ= 1−2 sin2θ=所以二面角A −A1B1−C1的余弦值为

这种解法逻辑推理严密, 知识综合应用能力要求较高,能充分体现将空间问题转化为平面问题(降维)的转化、化归思想,运算量适中.在利用传统方法解决立体几何的教学过程中,我们强调“数学知识——数学应用——数学推理”三个要素, 并以这三个要素为基础形成数学知识呈现的基本过程,着重提高学生的数学探索和逻辑推理能力,突出数学思维的核心作用.

诚然,我们利用向量解决立体几何问题思路便捷,充分体现了向量的工具作用,对培养学生的建模能力也是有很大的帮助,然而却未能很好地体现立体几何的深刻性.在引入了向量之后,不少教师过分强调向量方法,而忽视传统方法的讲解,这就导致学生知识结构的不完整,难以体会立体几何的思想性、深刻性,难以培养空间想象能力,难以综合应用数学知识解决实际问题.合理利用向量法解决立体几何问题,充分讲授立体几何的传统方法,深化知识机构,强化立体几何的思想性,更有利于培养学生数学核心素养,培养学生终身学习的能力.

“路漫漫其修远兮,吾将上下而求索”,在立体几何教学过程中,在数学课堂中,如何落实学生数学核心素养的培养永远在路上.