基于核心素养的高考三角函数试题分析及教学启示

广东省佛山市顺德区第一中学(528300) 杨承根

广东省东莞市麻涌中学(523000) 骆妃景

广东省佛山市顺德区容山中学(528303) 潘敬贞

云南师范大学数学学院(650500) 唐明超

三角函数是高中数学的核心内容之一,也是历年高考考查的热点和重点内容.就三年的全国卷高考真题来看,三角函数试题总体稳定,形式略有创新,趋于综合化、试题难度有所提升.既考查学生对基本概念、基本公式的理解和应用,又考查了化繁为简的运算能力以及数形结合、转化与化归等数学思想方法,试题着眼于考查学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等数学核心素养.文章整理和分析了2017-2019 三年全国卷关于三角函数的考点, 将试题划分为8 个常见类型,并对真题进行评析,便于广大师生了解高考命题规律,为高三一轮复习提供方向和建议.

1 2017-2019年全国卷高考三角函数考点及分析

1.1 考点分析

为了更清晰地分析近三年来全国卷中三角函数这一重要且必考的知识模块的命题规律,笔者整理得以下表格:

试卷题号分值考查问题题型难度2017年全国I卷文11,15 10解三角形,三角恒等变换.1 道选择题,1 道填空题.11 题中15 题中理9,17 17三角函数相关,解三角形.1 道选择题,1 道解答题.9 题中17 题中2018年全国I卷文8,11,16 15三角函数周期最值,三角函数定义应用,解三角形面积2 道选择题,1 道填空题.8 题中11 题中16 题难理16,17 17三角函数最值导数,解三角形.1 道填空题,1 道解答题.16 题难17 题中2019年全国I卷文7,11,15 15正切函数值,解三角形,三角函数最值.2 道选择题,1 道填空题.7 题易11 题中15 题中理11,17 17三角函数图象与性质,解三角形.1 道选择题,1 道解答题.11 题中17 题中2017年全国Ⅱ卷文3,13,16 15三角函数周期,三角函数最值,解三角形.1 道选择题,2 道填空题.3 题易13 题易16 题难

理12,14,17 22三角形向量数量积,三角函数最值,解三角形.1 道选择题,1 道填空题,1 道解答题.12 题难14 题中17 题中2018年全国Ⅱ卷文7,10,15 15解三角形,三角函数单调性,三角恒等变换.2 道选择题,1 道填空题.7 题易10 题中15 题中理6,10,15 15解三角形,三角函数单调性,三角恒等变换.2 道选择题,1 道填空题.6 题易10 题中15 题中2019年全国Ⅱ卷文8,11,15 15三角函数性质,三角函数化简求值,解三角形.2 道选择题,1 道填空题.8 题易11 题中15 题中理9,10,15 15三角函数性质,三角函数化简求值,解三角形.2 道选择题,1 道填空题.9 题中10 题中15 题中2017年全国Ⅲ卷文4,6,15 15三角恒等变换,三角函数最值,解三角形.2 道选择题,1 道填空题.4 题易6 题易15 题中理6,16,17 22三角函数性质,三角形旋转多选,解三角形.1 道选择题,1 道填空题,1 道解答题.6 题易16 题难17 题中2018年全国Ⅲ卷文4,6,11 15三角恒等变换,三角函数周期,解三角形面积.3 道选择题.4 题易6 题易11 题中理4,9,15 15三角恒等变换,解三角形面积,三角函数零点.2 道选择题,1 道填空题.4 题易9 题中15 题中2019年全国Ⅲ卷文18 12解三角形.1 道解答题.18 题中理12,18 17三家函数图象性质,解三角形.1 道选择题,1 道解答题.12 题难18 题中

1.2 题型与分值

总体上看,全国卷对“三角函数”的命题风格稳定与创新共存,试题所占分值大多控制在15-22 分,题型一般为一个小题和一个大题、两个小题和一个大题或者三个小题,但也有个别年份有所波动, 比如2017年文科卷I只考查两个小题10 分,2019年文科卷III只查了一个大题12 分,I卷理科考查的很稳定,都是一小一大17 分;由上表不难发现,三角函数试题中选择题和填空题有易有难,也经常出现在压轴题的位置,解答题的考查一般稳定在解答题的第一题的位置,但2019年全国文理Ⅲ卷中解三角形的解答题放在解答题第二题的位置,说明全国卷解答题的考查顺序存在一些不稳定的因素.

1.3 考查知识点全面

高考全国卷数学试题对“三角函数”内容考查比较全面,题型多样,结构灵活,难度适中.重点考查三角函数的图象与性质,三角恒等变换,解三角形等基础知识的理解和应用,兼顾考查数学能力、数学思想方法以及数学核心素养.①对图象与性质的考查主要出现在选择题,包括三角函数图象的变换、三角函数的最值问题、三角函数的周期性、单调性、对称性等,着重考查学生的数学运算、直观想象等核心素养以及数形结合思想.②对三角恒等变换的考查,选择、填空、解答题都可能会出现,包括同角三角函数的关系式、诱导公式、两角的和、差、倍角公式等基本概念、基本公式的理解与应用,在选择题、填空题中该部分内容主要考查化简求值,着重考查学生的数学运算核心素养以及转化与化归的能力.③对解三角形的考查,文科多在选择、填空题中,主要考查利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理以及三角面积公式解三角形,理科在解答题中多数与三角恒等变换结合考查.④对三角函数与其他知识的综合运用考查,比如2018年全国I卷理科第16 题,三角函数结合导数进行考查,难度较大,考查学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养以及化归转化、数形结合思想.

1.4 文理差异

由上表可以看出,全国卷文科考查三角函数试题24 道,题型基本稳定在三道小题,考查分值15 分,2019年全国文科Ⅲ卷仅考查了一道解答题,分值12 分,而理科考查23 道,基本稳定为一小一大,二小一大,少数年份三小,比如2018年II卷、2018年III卷、2019年II卷.全国I卷理科都稳定在一小一大,分值17 分.文理科的小题都有以压轴题的形式出现,但理科考查的难度相比文科较大,考查内容综合性强,常与函数零点、函数与导数相结合,对学生的数学运算、逻辑推理等核心素养以及化归能能力要求比较高.

2 高考动向透视

研究历年高考真题,力求以真题引领教学方向,通过对三年高考全国卷“三角函数”命题规律分析,三角函数高考试题主要考查以下几种类型的问题.

2.1 三角函数恒等变换

三角函数恒等变换是历年来高考的必考点,在选择题、填空题、解答题中都会出现,主要考查三角函数式的化简、求值与变形,但近年来对变形技巧的要求较往年大为降低.因此,在进行三角复习时,不能盲目地追求偏、难、怪的题目,而应利用中、低档题熟练掌握一些基本的变形技巧.

题型一 化简求值

化简求值这类题型主要有三种,分别为给值求值、给角求值、给值求角,但三年都集中考查给值求值,即已知某些角的三角函数值, 求其他与题设条件关联的其他三角函数值.给角求值以及给值求角在三年的全国卷高考三角函数试题中暂无涉及.

例1(2019 全国Ⅱ文11) 已知2 sin 2α=cos 2α+1,则( )

评析: 本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系等知识,考查考生的运算求解能力与灵活应用所学知识分析问题、解决问题的能力,考查的数学运算核心素养.

答案: B

2.2 三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质在高考中出现的频率较高,题型比较稳定,一般都是以选择题的形式出现,其中,三角函数的性质偶尔会结合三角恒等变换以填空题形式出现.主要考查学生将函数解析式转化为y=Asin(wx+φ)的形式,解答关于函数图象及性质问题的能力.其高考命题形式主要包括以下4 种题型.

题型二 三角函数图象变换

例2(2017 全国1 理9) 已知曲线C1:y= cosx,C2:y=则下面结论正确的是( )

A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2

评析: 本题考查图象的变换,但题目出现了两个异名的三角函数,处理这类问题的方法比较多,但主要是化异名为同名.破解此类题目关键是明晰图象变换的规律,特别要注意的是先相位变换,后周期变换,再振幅变换或者是先周期变换,后相位变换,再振幅变换.

答案: D

题型三 三角函数的最值问题

三角函数最值问题对学生的化归转化能力、数形结合能力、综合应用考查比较高, 更加深刻地考查学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养.破解此类问题有两种途径, 第一, 通过恒等变形再利用辅助角公式化为y=Asin(wx+φ)+b形式,再利用正弦函数的图象,数形结合求出最值.第二,可以利用换元法把题设转化为有区间的二次函数最值问题.

例3(2017 全国2 理14)函数的最大值是____.

评析: 本题主要考查三角函数的图象和性质,换元法求最值,注意还原后新元的取值范围,考查化归与转化思想与数学运算、逻辑推理核心素养.

答案: 1

题型四 已知解析式确定函数性质

给出三角函数的具体解析式, 求解函数的性质、参数或者确定函数的大致图象, 此题主要在选择、填空题中考查, 难度中等偏上, 破解此类问题的一般方法是通过恒等变形把题设的解析式转化为y=Asin(wx+φ)+b或y=Acos(wx+φ)+b的形式, 然后根据y= sinx或y=cosx的性质整体求解.

例4(2018 全 国III卷理科15) 函数f(x) =在[0,π]的零点个数为____.

评析: 本此题考查了三角函数的零点,属于三角函数的图象和性质的常考点,这类问题通的处理方法是先得出问题的通解,再结合给定区间进行对照判断.考查逻辑推理、直观想象等核心素养.

答案: 3 个

题型五 根据条件确定解析式

根据条件确定解析式的试题主要有两大类: 一类是题设给出三角函数的图象,根据图象确定及其已知条件确定三角函数的解析式,然后再求解其他性质;第二类是根据题设所给的三角函数性质求三角函数的解析式.这两类问题是近三年全国卷三角函数考查的热点,文科考查的难度较小,理科考查的难度较大,综合考查学生逻辑推理、数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养.破解此类问题需要学生对函数y=Asin(wx+φ)+b或y=Acos(wx+φ)+b的图象与性质有全面、深刻的理解,要求考生能够根据零点与对称轴信息,以及单调区间与周期的关系,通过数形结合得出该函数周期性特征,着重考查学生的数形结合能力、逻辑分析能力.

例5(2019 全国Ⅲ理12) 设函数f(x) = sin(ωx+已知f(x)在[0,2π]有且仅有5 个零点,下述四个结论:

①f(x)在(0,2π)有且仅有3 个极大值点; ②f(x)在(0,2π)有且仅有2 个极小值点; ③f(x)在单调递增;④f(x)的取值范围是其中所有正确结论的编号是( )

A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④

评析: 本题作为压轴题,难度较大,主要考查三角函数的图象与性质,考查考生的数形结合能力,更加深刻地考查学生数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养.

答案: D

2.3 解三角形

解三角形是三角函数内容的核心考点,历年文理科高考全国卷必考内容,解三角形是历年高考的必考内容,文科多在选择、填空题中,主要考查利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理以及三角面积公式解三角形,理科在解答题中多数与三角恒等变换结合考查,题型和分值较为稳定,属中等难度.命题方向由以下两种.

题型六 正、余弦定理解三角形

在解有关三角形的形时,如果已知式子中含有角的余弦或边的二次式,通常考虑用余弦定理;如果已知式子中含有角的正弦或边的一次式,通常用正弦定理.

例6(2019 全国I文11)∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA −bsinB=4csinC,cosA=则=( )

A.6 B.5 C.4 D.3

评析: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,考查运算求解能力以及划归与转化思想,考查数学运算,逻辑推理核心素养.

答案: A

题型七 正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用

求解此类问题的突破口: 一是正确分析已知条件中的边角关系,合理设计“边往角化”还是“角往边化”,活用正弦定理、余弦定理;而是求角的值的值时应注意三角形对角的取值范围的限制;三是熟记两角和、差的三角公式.

例7(2019 全国I理17)∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设(sinB −sinC)2=sin2A −sinBsinC.

(1)求A;

(2)若√+b=2c,求sinC.

评析: 本题主要考查正弦定理余弦定理、三角恒等变换,考查考生的划归与转化能力、云算求解能力,考查的核心素养是数学运算,(1)利用正弦定理进行边角互化,再利用余弦定理,即可求出cosA的值,从而求得A的大小;(2)利用正弦定理,将边化为角,再利用(1)的结论以及两角差的正弦公式与辅助角公式,即可求出sinC的值.

答案: (1)A=60°;(2)

题型八 三角函数与其他知识的综合

例8(2018 全国一理16) 已知函数f(x) = 2 sinx+sin 2x,则f(x)的最小值是____.

评析: 本题主要考查导数与三角函数的结合交汇,借助导数的方法求函数的最值,体现导数的工具作用,本题难度较大,综合考查学生化归转化能力、数形结合能力,考查逻辑推理、直观想象、数学运算、数形抽象核心素养.

答案:

3 备考建议

3.1 利用好教材,研究教材中的例题与习题

以必修五第一章“解三角形”为例,教材中至少有如下一些例题、习题需要引起重视,教师要认真研究、分析到位.

人教版A 版第18 页练习3: 三角形射影定理: 在∆ABC中,求证:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.射影定理在2013年全国II卷第17 题,2016年全国II卷第17 题,2017年全国II卷第16 题均考查过.人教版A 版第20 页B 组第1 题: 证明三角形面积公式2017年全国卷I理科第17 题考查过.

通过对比我们不难发现,近年高考中的三角命题多是通过课本习题的一个小结论发展演变而来,通过几个公式环环相扣来提高问题的综合性,这样的命题方式让学生入手容易,但完整解决整道题需要较高的数学素养水平.

3.2 树立“模型”意识,统筹数学思想方法,“以不变应万变”

比如课本20 页A 组第13 题,考查三角形的中线长问题,这是解三角形中一个基础但重要的模型.

几何图象中有多个三角形时,首先观察是否有“够条件”的三角形,若有,则从够条件的三角形解起,逐步扩展到其他三角形, 若没有, 则要注意运用向量、方程的思想、利用“共边”、“等角”、“互补角”等关系建立方程求解.模型是没有背景的规律载体, 应该是具有通用性的大道理.老子说: 道生一,一生二,二生三,三生万物.万变不离其宗,大道归一,大道至简.

3.3 夯实基础,总结方法

比如三角函数求最值：

(1)y=asinx+b,设t=sinx,化为一次函数y=at+b在[−1,1]上的最值求解.

(2)y=asinx+bcosx+c,引入辅助角化为求解方法同类型(1).

(3)y=asin2x+bsinx+c, 设t= sinx, 化为二次函数y=at2+bt+c在[−1,1] 上的最值求解, 也可以是y=acos2x+bsinx+c或y=acos 2x+bsinx+c型.

(4)y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c,设t=sinx±cosx, 则t2= 1±2 sinxcosx, 故sinxcosx=化为二次函数上的最值求解.

(5)y=,根据正弦函数的有界性,既可用分析法求最值,也可用不等式法求最值,更可以用数形结合求最值.

对于三角函数图象变换问题, 首先要处理的是利用诱导公式将不同名函数转换为同名函数, 转换的公式为等诱导公式;另外,在进行图象变换时,注意先有平移后伸缩和先伸缩后平移两种,后者在考试中经常出现,但无论哪种变换,要让学生明确每一个变换总是对变量而言,与其他量无关.

3.4 夯实基础,注重规范大题

熟记与三角函数相关所有公式.如特殊角的三角函数值、诱导公式、恒等变换公式还有正余弦定理、三角形面积公式,同时还包括三角函数图象平移规律,特殊三角形的边角关系等,只有记得准和反映迅速,才能在考试中快速及时的运用相关已知条件;三角函数若考查解答题,则大多在第17题的位置,对解题的规范性要求很高,因此要培养学生规范答题的良好习惯,同时,又因为这是试卷中的第一道大题,因此难度不大,所以更要注重通性通法,做到满分无瑕疵.