见微而知著 小题大世界———对高中数学椭圆离心率问题的探究和拓展

◇ 江苏 石怀荣

高考中椭圆题常作为压轴题,且分值较高．为实现“新课标”对提高学生数学核心素养的要求,教师在实际教学中,常通过对一道题目的多角度分析来解决若干相似的问题．本文剖析了一个经典椭圆离心率问题的求解过程,点评优劣,多元思考各种数学思想,以达殊途同归之效．

例已知F1,F2是椭圆的左、右两焦点,P为椭圆上一点,若则椭圆离心率的取值范围为________．

方法1多数同学遇到这个题目首先想到的是几何方法,数形结合,利用极限(极端)情况来求范围．首先证明当P在y轴上时,∠F1PF2＝θ取最大值．

设|PF1|＝s,|PF2|＝t,椭圆中s＋t＝2a,|F1F2|＝2c,又

点评

当该题是选择题或填空题时,宜考虑使用极限概念求解,不需要证明,但是极限两端要厘清．

方法2利用隐形圆构造齐次不等式．|F1F2|＝2c为定值,定弦对应角为定值,说明为隐形圆．设△F1PF2外接圆半径为R,在∠F1PF2中,由正弦定理得,得,易知外接圆圆心在y轴上,由椭圆的对称性,考虑外接圆在x轴上方,易求得外接圆方程,可知点P既在圆C上,又在椭圆上,说明圆C和椭圆有公共点,可知,又因为(,),所e∈01以离心率的范围是

点评

隐形圆问题是最近几年高考的热点,其本质就是求轨迹,轨迹通常是一个圆或圆的一部分．学生熟练掌握利用隐形圆解题方法后,可以直接用正弦定理求外接圆的半径．

方法1利用焦半径公式、勾股定理．设点P(x0,y0),由勾股定理得|P F1|2＋|P F2|2＝|F1F2|2,代入焦点半径公式(a＋e x0)2＋(a－x0)2＝4c2,所以．由椭圆的有界性－a≤x0＜a,又因为e∈(0,1),所以离心率的范围是

点评

利用直角三角形的性质和x0的取值范围解题,简单明了．

方法2利用向量．设点0,即(－c－x0,－y0)(c－x0,－y0)＝0,得c2,又因为,消去x0,得,由椭圆的有界性0≤y20≤b2,又因为e∈(0,1),所以离心率的范围是

点评

向量是几何和代数沟通的桥梁,是研究数学非常重要的工具,很多难题巧用向量便可迎刃而解．

以上两种方法是角度为直角时的特殊做法,能迅速解题,所以我们平时注重训练通式通法通解的同时,也要注意到特殊的解法,这反而是快速解题的关键,也是数学的魅力所在．一题多解可以锻炼学生思维的灵活性、发散性、创新性．教师绝不能让学生拘泥于通法通解,像做八股文一样做数学题,那样只会禁锢学生学习数学的灵感．