关于一道函数零点例题的引申

福建省龙岩第一中学 刘晓生

在教材《函数的应用》章节中有这样一道例题：已知函数f（x）=lnx＋2x－6，求该函数的零点个数。接下来，笔者就谈一谈如何站在学生的角度解决函数零点问题。

一、求函数零点的个数

由教材中的例题可知，函数零点的基本考查类型就是求函数零点的个数，也就是求函数有几个零点的问题。首先，我们应该掌握最基本也非常重要的解题思路，即函数y=f（x）的零点与方程f（x）=0的根是等价的。鉴于学生从小学阶段就开始接触方程问题，所以我们在研究函数的零点问题时，都可以引导学生将其转化为熟悉的方程问题来解决。

针对如何求解函数零点个数的问题，主要有三种方法：

1.直接法

直接令f（x）=0，求解这个方程，解出几个根，那么函数就有几个零点。

例1：已知函数f（x）=x4+x3-6x2，求该函数的零点个数。

解：令x4+x3-6x2=0，则x2（x2+x-6）=0，

则x2（x-2）（x+3）=0，解得x=0 或x=2 或x=-3。

于是函数f（x）有三个零点。

2.定理法

也就是根据零点存在性定理来判断零点的个数，即函数f（x）在区间[a，b]内连续，且f（a）×f（b）<0，则函数在（a，b）内存在零点。

3.数形结合法

将原函数转化为两个函数，分别画出两个函数的图像，由交点个数判断函数零点的个数，有几个交点，就有几个零点。

仍以课本例题为例，将函数f（x）=lnx+2x-6 尽可能地转化为两个简单的函数，如y=lnx和y=-2x+6，分别画出二者的图像，可知只有一个交点，所以函数只有一个零点。

二、由函数零点特征求解参数取值范围

函数零点问题的另一大考题类型就是根据零点特征确定参数的取值范围，这类问题相对复杂，通常需要借助多个知识来综合解决，如函数零点存在性定理、不等式知识、二次方程知识等，需要学生的思路十分明确和清晰，能够迅速调动大脑内的多种知识，将其联系链接，进而找到问题的突破口。

例3：已知函数f（x）=x2+（t-1）x+1 在区间[0，2]上存在零点，求实数t的取值范围。

分析：原题可以转化为方程x2+（t-1）x+1=0 在区间[0，2]上有根，这是一个二次方程，因此它可能有一个根，也可能有两个不同的根，需要进行分类讨论。

三、二次方程根的分布

因为函数的零点等于方程的根，所以二次函数的零点问题就与二次方程根的分布产生了千丝万缕的联系，尤其是变相考查二次方程根的分布问题，受到了高考命题人的偏爱。根的分布问题主要涉及对称轴的位置、两根之和、两根之积等的判断，学生在解题时应该充分利用二次方程的图像，帮助自己找到解题思路，同时应该熟练掌握有关结论，以求提高解题速度和解题正确率。

总之，函数的零点问题是高中数学的重要内容，在学生的高考中扮演着非同小可的角色。作为高中数学教师，我们在平常的教学中，应该结合课本例题或者试卷中遇到的问题进行恰当的引申和拓展，帮助学生系统科学地掌握相关知识，力求触类旁通，举一反三，进而为学生开启高考的绿色通道。