基于无失效数据的某型发动机可靠性参数Bayes估计

李东兵，胡文林

（1.海军参谋部某训练中心，北京100841；2.92728部队，上海200436）

在定时截尾试验中，对于高可靠性、高精度的产品，经常会出现极少失效甚至是无失效数据的情形[1-4]。如何在无失效数据情况下对产品的可靠性参数进行科学合理的评估，具有重要的理论和实用价值[5-10]。

文献[11]给出了泊松分布参数的期望Bayes（Expected Bayes，E-Bayes）表达式；文献[12]给出了只有一个失效数据时失效概率的E-Bayes估计；文献[13]在特定超参数先验分布的条件下，推导了失效率的EBayes 估计；文献[14]采用修正多层Bayes 方法对某型轴承的失效概率进行估计；文献[15]研究了复杂系统可靠度的多层Bayes估计。

这些文献虽然对可靠性参数作出了较为准确和稳健的估计，但大多只专注于某一类估计方法。

本文在某型装备发动机无失效数据服从指数分布时，探讨失效率的多层Bayes估计方法和E-Bayes估计方法，对比2种方法的推导证明过程，并结合实例数据分析得到可靠度的估计结果，指出E-Bayes 估计方法的结果更为准确和稳健，且计算更加方便。

1 失效率的多层Bayes估计

本文研究对象为某型装备发动机，已知其储存失效数据服从指数分布，其概率密度函数为：

式（1）中：t>0；0<λ<∞，λ 为指数分布失效率。

1.1 多层先验分布的确定

在指数分布下，失效率对应的共轭先验分布为Gamma分布[16]，其密度函数为：

根据超参数的减函数构造法[17]，对密度函数关于λ 求一阶导：

因而，当00 时，π(λ|a,b)为λ 的减函数。基于对Bayes 估计的稳健性考虑，超参数b 取值越大，先验分布的尾部将越细，这会使Bayes估计具有越差的稳健性[1]。因此，对b 设立一个上界s，s>0 为某一常数，由此确定超参数的取值范围为0

1.2 多层先验密度函数的确定

考虑a 和b 分别服从[0,1]和[0,s]上的均匀分布，则失效率λ 的多层先验密度函数为：

1.3 失效率的多层Bayes估计

对寿命服从指数分布的产品进行m 次定时截尾试验，结果为{ }(ni,ri,ti),i=1,2,…,m 。其中：ti为在第i 次试验中的截尾时间，且t1

假设失效率λ 的多层先验密度函数πHB(λ)可由式（3）给出，则在平方损失下，λ 的多层Bayes估计为：

证明：

1）似然函数。设随机变量Xi表示第i 次定时截尾试验中发生失效的样品个数，则Xi～π(nitiλ)，即Xi服从参数为nitiλ 的泊松分布：

式中：ri=0,1,2,…,ni，i=1,2,…,m。

事实上，X1,X2,…,Xm是相互独立的，则失效率λ的似然函数表示为：

试验结果为无失效情形时，ri=0，i=1,2,…,m，由此得到无失效情形下失效率λ 的似然函数为：

2）后验分布。依据Bayes 定理，λ 的多层后验密度为：

记(b+Q)λ=ξ ，由于b>0，Q>0，0<λ<∞，故0<ξ<∞。代入式（5）右端的分母积分项可得：

代入式（5）可得

3）多层Bayes 估计。在平方损失下，失效率λ 的多层Bayes估计为：

令(b+Q)λ=ξ，同式（5）的推导过程，可得：

证毕。

2 失效率的E-Bayes估计

2.1 先验分布的确定

在式（1）、（2）的基础上，与1.1节相同，对b 设立一个上界s，s>0 为某一常数，确定超参数的取值范围为0

2.2 失效率的E-Bayes定义

2.3 失效率的E-Bayes估计

根据1.3 节的无失效数据的描述，假设失效率λ的先验密度函数π(λ|a,b)由式（2）给出，则在平方损失下，λ 的E-Bayes估计为：

证明：

1）似然函数。与1.3 节证明相同，似然函数为L(0|λ)=exp(-Qλ)。

2）后验分布。若λ 的先验密度函数由式（2）给出，则依据Bayes定理，λ 的后验密度为：

记(b+Q)λ=ξ，同式（5）的推导过程，可得：

3）λ 的Bayes估计。在平方损失下，λ 的Bayes估计为：

4）λ 的E-Bayes 估计。在平方损失下，失效率λ的E-Bayes估计为：

证毕。

3 实例分析

3.1 可靠度的估计

产品寿命服从指数分布，则其可靠度函数为：

R(t)=exp(-λt)。

由1.3节和2.3节分别给出的λ 的多层Bayes估计和E-Bayes估计，得出可靠度R(t)的多层Bayes估计和E-Bayes估计如下：

3.2 参数估计的评价

稳健性是统计学中的一个专门术语，20世纪70年代开始在控制理论的研究中流行起来，用以表征控制系统对特性或参数扰动的不敏感性[18]。本文主要以可靠性参数估计值的极差来表征由2种估计方法得到的估计值的稳健性，极差值越小，反映得到的可靠性参数估计值越稳健。

3.3 可靠性参数估计及分析

表1 发动机无失效数据Tab.1 Zero-failure data of the engine

表2 λ 的2类估计结果Tab.2 Calculation results of different estimations on λ ×10-5

表3 R(t)的2类估计结果Tab.3 Calculation results of different estimations on R(t)

图1 s=1 000 时可靠度的2类估计值Fig.1 Calculation results of two types of estimations while s=1 000

图2 可靠度2类估计值的极差Fig.2 Ranges of two types of estimations on R(t)

（3）在推导和计算过程中，相比于含有二重积分的多层Bayes估计，失效率的E-Bayes估计计算更为方便简洁，因而也更适用于工程应用中。

4 结论

下一步将针对寿命服从其他分布情形时的参数估计值进行讨论，并探讨超参数服从的分布类型对估计值的影响。