一类收敛的带无限次叠套的数学式子及其探讨
2021-01-22陈宏健
陈宏健
【摘要】本文探讨一类带有无限次叠套运算的算式，类似于yn=n1+n1+n1+n1+…（n=2，3，4……） 的带有无限次叠套运算的算式，验证其收敛性，并在收敛的条件下转化为有限次叠套数列yn1=1，yn2=n1+n1，yn3=n1+n1+n1，…，ynk=n1+n1+n1+…+n1的极限，通过分析简单情形，归纳推导出一般情形，并且寻找解法，尝试将解决方法推广到其他无限次叠套运算中.
【关键词】无限次叠套;有限次叠套;收敛;有界单调递增数列
一、引言
数的叠套运算常见于实数的无限次重复运算中，其特征为每一步的运算又叠套在下一步的运算当中，层层叠套，直至无穷.例如初等数学中的无限连分数，高等数学中有关特定函数与极限、级数的问题，以及几何图形中的分形图，其中都有与无限次叠套运算相关的例子.
二、概念与记号
定义1带有无限次叠套运算的算式（n=2，3，4，……）
yn=n1+n1+n1+n1+…，
则有y2=1+1+1+…，
y3=31+31+31+…，
y4=41+41+41+41+…，
…，
yn=n1+n1+n1+n1+….
定义2假设k为有限次叠套次数，
则ynk=n1+n1+n1+…+n1k个 可取：
yn1=1，
yn2=n1+n1，
yn3=n1+n1+n1，
以此類推得出k次叠套数列：
ynk=n1+n1+n1+…+n1k个.
定义3当有限次叠套式ynk的极限存在时，无限次叠套式yn为有限次叠套式ynk的极限.
即当ynk的极限存在时ynk→yn（n→+∞）.
反之，当有限次叠套式ynk的极限不存在时，无限次叠套式yn发散.
定理1 当k→+∞时，有限次叠套数列
ynk=n1+n1+n1+…+n1k个 的极限存在.
这个证明分两部分：
（1）当k增加时，ynk为单调递增数列
（2）ynk为有界数列 （k=1，2，3……）.
证明（1）当n=1时，n1<n1+n1，
即yn1<yn2.
假设n=k时，ynk<ynk+1，
则当n=k+1时，n1+ynk<n1+ynk+1，
n1+n1+n1+…+n1k+1个<n1+n1+n1+…+n1k+2个
则 ynk+1<ynk+2.
由数学归纳法得ynk为单调递增数列，
即yn1<yn2<yn3<…<ynk（n=2，3，4……）.
（2）依据开方运算性质易知
nx<n-1x<…<x（x>0）.
则对任意的t（t=2，3，4，…，n-1），有
t+11+t+11+t+11+…+t+11k个<t1+t1+t1+…+t1k个，
即y（t+1）k<ytk，
1<ynk<y（n-1）k<y（n-2）k<…<y3k<y2k.
由于1+1<3，
1+1+1<1+3<3，
1+1+1+1<1+3<3，
以此类推，
有y2k=1+1+…+1< 1+3<3，
则1<ynk<3（n=2，3，4……）.
即 y2k，y3k，…，ynk当中的每个数列均为有界单调递增数列.
根据有界单调递增数列极限存在定理有
limk→∞=yn.
定理2当n→+∞时有限次叠套式ynk的极限为1.
证明1<yk<3（n=2，3，4……），
ynk=n1+yn（k-1），
则1<n1+yn（k-1）<n4，
1<ynk<n4，
limn→+∞n4=1，
由夹值法有limn→+∞ynk=1（k=1，2，3……）.
三、有限次叠套式ynk的简单情形
当n=2时，y2=1+1+1+…，
y2k有极限，
则 y2=1+y2，
y22=y2+1，
则 y22-y2-1=0（y2>0），
解得y2=1+52≈1.618.
叠套次数y21y22y23y24y25…极限值y2y2k大约值11.4141.5521.5981.612…1.618y2k为有界递增数列，y2k有极限，
即当k→+∞时，y2k→y2.
当n=3时，
y3=31+31+31+…，
y3=31+y3，
则y33=y3+1，
即 y33-y3-1=0.
根据三次方程求根公式，有
y3=3-q2+q22+p33+
3-q2-q22+p33
=312+23108+312-23108
≈1.3247.
叠套次数y31y32y33y34y35…极限值y3y3大约值11.2601.3121.3221.324…1.3247则有 y3k为有界递增数列，y3k有极限.
即当k→+∞时，
y3k→y3.
当n=4时，
y4=41+41+41+…，
y44=1+y4，
以此类推，
当k→+∞时，y4k→y4 .
代入Matlab求解y4≈1.2207.
四、一般情形的推广
yn=n1+n1+n1+n1+…，
yn=n1+yn，ynk极限存在，
则ynn-yn-1=0.
代入Matlab求解如下：
clc，clear
fid=fopen（'d：＼＼char1.txt'，'at+'）;
for n=2：40
p=[1，zeros（1，n-2），-1，-1];
gen=roots（p）;
fprintf（fid，'%g＼＼n'，gen）;
end
fclose（fid）;
ynkyn1yn2yn3yn4yn5…極限值 yny2k11.41421.55381.59811.6119…约1.6180y3k11.25991.31231.32241.3243…约1.3247y4k11.18921.21641.22011.2207…约1.2207y5k11.14871.16531.16711.1673…约1.1673y6k11.12251.13361.13461.1347…约1.1347…y（10）k11.07181.07561.07581.0758…约1.0758…y（20）k11.03531.03621.03621.0362…约1.0362…y（40）k11.01751.01771.01771.0177…约1.0177…极限值ynk11111…1定理3：当n→+∞时，无限次叠套算式
yn=n1+n1+n1+n1+…的极限为1，
即limn→+∞yn=1.
证明 （1）ynk=n1+n1+n1+…+n1的极限存在，
当k=1时，由于n1<n1+n1，
即yn1<yn2，
假设n=k时，ynk<yn（k+1），
则当n=k+1时，由于ynk<yn（k+1），
0<1+ynk<1+yn（k+1），
n1+ynk<n1+yn（k+1），
yn（k+1）<yn（k+2），
由数学归纳法得ynk<yn（k+1）（k=1，2，3……），
则ynk（k=1，2，3……）为单调递增数列.
（2） 假设 limn→∞yn=a，
limn→∞yn=limn→∞n1+limn→∞yn，
则a=limn→∞（1+a）1n.
因为 limn→∞1n=0，
所以a=limn→∞yn=1.
五、推广与应用
定理4：收敛的有限连分数的极限为无限连分数
[a0，a1，a2，a3，…，an]=a0+1a1+1a2+…+1an
limn→∞[a0，a1，a2，a3，…，an]=[a0，a1，a2，a3……]
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]菲赫金哥尔茨.微积分学教程[M].北京：人民教育出版社，1956.
