浅析高等数学中导数的概念浅析高等数学中导数的概念

周小红

【摘要】高等数学教学指导思想是：培养学生数学思维，提高学生数学修养.高等数学课的开设不仅是为各专业提供数学工具，更重要的是培养学生用数学观念进行定量思考的能力，这是衡量一个人文化素质的重要标志之一，也是学生长期发展所必须具备的基本能力.本文以高等数学中导数的概念教学为例，浅析高等数学教学过程中教师如何培养学生的数学思维.

【关键词】高等数学;导数的概念;数学思维

恩格斯曾经说过这样一句话：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了.”微积分对人类的作用是巨大的，它能使人们更科学地看待世界，培养人们正确的世界观和科学的方法论.微积分的产生和发展是伴随着生产力的发展的，自然科学因为社会实践的发展面临着巨大的挑战，社会实践的发展对物理、化学、生物提出了更高要求，而数学又是这些科目的基础.求变速运动的瞬时速度、求曲线上某一点的切线、求最大值及最小值这类实际问题导致了微积分的产生，这些问题的核心就是函数相对于自变量的变化而变化的快慢程度.这也是导数的精髓.

高职学生正处于培养正确的价值观、世界观的关键时期，学好高等数学对学生今后的工作和生活都有重要的意义.导数的概念以极限知识为基础，又是学习微分、不定积分、定积分的基础，对于学生来说，学好导数是学习高等数学的基础.

一、导数概念的讲解要适合学生的情况

1.时代背景

经济和社会的高速发展，对人才的综合素质提出了更高的要求，同时对人才的多样化需求也越來越高.高职院校培养的高素质技能型人才是国家建设很需要的人才，所以学校对高职学生的培养方向十分重要.

2.教育背景

高职学生生活观念和价值观等多种因素造成了学校对学生的培养存在一定的难度.高职一年级学生的生源复杂，有从高中通过高考考上来的学生，有从初中升上来的五年一贯制的学生，也有从初中升上来的七年一贯制的学生，还有通过自主招生入学的学生，不同生源的学生的数学基础不尽相同，学习态度也有明显的差异，对问题的看法也多种多样，同时学生的兴趣爱好、学习习惯、心理等非智力因素存在较大的差异.这个阶段的学生想象力、观察力和动手能力较强，思维比较活跃.所以学校应根据学生的特点对学生进行适宜的教育.

3.能力储备

高职学生已经初步具备了一定的分析能力和逻辑思维能力，但这些能力还都很薄弱.在认知习惯方面，有些学生学习主动性差，以被动接受知识为主，学习态度和积极性较差，对学习没有热情，得过且过，没有学习目标，对于比较枯燥的内容持消极对待的态度.有的学生则有明确的学习目标，积极参与教师的授课过程，有比较强的自制力.这就要求教师在对学生能力培养上持多样化的培养方案，对于没有学习目标的学生，教师应帮助他们形成学习动机，形成自己的学习方法.

4.知识准备

数学在高速发展的社会里起着至关重要的作用，被各个领域广泛应用，培养学生的数学思维和素养已经是高职教育不可或缺的重要组成部分.高职学生数学成绩参差不齐，学生的数学基础也不尽相同，有一部分高中升上来的学生已经掌握极限和导数的基本概念及应用等知识，也有部分自主招生和贯通制的学生数学基础非常薄弱.基于上述情况，教师在教学的过程中应通过交流了解情况，对不同情况的班级实施不同的教学方案，对同一班级不同的学生实施因人而异的不同深度、不同教学方法、不同角度的数学教学.在教学过程中，教师尽量通过提问、启发、引导，让学生主动地去探究，让他们自己去发现和解决问题.

二、导数的概念在讲解的过程中要和专业相结合

1.教学内容与学生专业结合

高等数学是我院水利与建筑、计算机、食品、畜牧与兽医等专业必修的一门公共基础课程，是学生学好其他专业课程的基础，可以提高学生的逻辑思维能力、学习能力、综合素质，并且能提高学生独立解决实际问题的能力和创新能力.

高等数学课程是概率论与数理统计、试验设计等数学课程和其他专业课程的基础，高等数学在教学中的重要地位不言而喻.微积分在高等数学中占据重要地位，而导数的概念是微积分的核心，其作用可以被概括为承上启下，其思维方式在许多专业内均有应用.

2.教学目标与学生专业结合

目标是行动的指南，教师只有明确了教学目标才能制定正确的教学策略.教学目标有三个方面，即知识与能力目标、过程与方法目标、情感态度与价值观目标.学生通过对概念的理解和掌握，提高思维能力，培养数学素养.

3.教学方向与学生专业结合

导数的概念历经了发现、探究和形成三个过程，这个过程中蕴含着丰富的数学思想.理解并牢固掌握数学概念是学生学好数学、提高数学能力和修养的基础.有了对概念的深层次理解，学生在遇到一些生活中的实际问题时就能够利用导数的理论知识和思维逻辑进行解决，提高处理问题的能力.教师明确了教学方向，确定了难点和重点，接下来的关键就是实现教学目标和突破教学重难点.三、导数教学中教师对学生的引导

教师引导学生掌握并应用导数的概念及导数解题思路.具体的引导方法有探究式教学、小组合作学习等.

教育家苏霍姆林斯基曾经说过：“人的心灵深处总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者的固有需要.”教师采用探究式教学可以挖掘学生的潜能，引导学生积极参与概念的产生、深化过程.探索发现的过程使学生对知识产生兴趣，并激励学生继续探究，从而让学生不断创新，从中掌握新的学习方法，使学习过程越来越科学.学生掌握了这种学习方法，对其终生学习都有积极意义.而小组合作学习方法可以培养学生的合作精神和合作能力，这也是学生社会能力的一个重要方面.

四、导数教学中教师应注意的教学方法

教师可以采用情境教学、问题驱动教学及分组讨论等教学方法来让学生参与课堂.

根据建构主义教育理论的要求，教师为学生创设良好的学习情境，可以激发学生的学习兴趣和求知欲望，调动学生学习积极性.教师根据数学概念产生的规律，创设问题产生的情境、问题想象的情境、问题解决的情境，通过这几个情境让学生充分感受导数概念的发现、探索和形成过程，从而培养学生利用数学的思维方式观察问题、解决问题的能力，提高学生的数学素养，让学生积极主动地参与教学过程，增强学生之间的协作和交流.

五、导数概念的探析过程

1.教学分析

本过程教师主要采用情境教学法、问题驱动教学法以及分组讨论教学法.教师通过多媒体展示有關导数概念的图片和相应的文字，给学生介绍牛顿和莱布尼茨是怎样从不同角度、不同专业给出和阐明了导数的概念和本质，让学生体会高等数学中某些概念的引出过程，激发学生的好奇心和求知欲.创设情境，导入新课，引导探究，获取新知，讲练结合，学以致用，师生讨论，归纳小结，这些教学环节可有效提高教学效率.

2.具体教学过程

（1）创设情境，导入新课

教师通过多媒体展示有关导数概念的图片和相应的文字，向学生介绍牛顿和莱布尼茨是如何从不同方面和不同领域发现和引入了导数这个概念，让学生体会数学中某些理论的获得过程，激发学生的好奇心和求知欲.

（2）引导探究，获取新知

教师采用情境教学法、问题驱动教学法以及分组讨论教学法进行教学.

（3）实例引入

情景1：求变速直线运动的瞬时速度.跳水运动员从跳板上跳下是变速运动，那么从运动员跳下（t=0时刻）开始计时（如图1），求运动员在t=1秒，t=2秒……t=t0的瞬时速度.

在这段时间间隔内的运动员的平均速度是v-=ΔsΔt=s（1+Δt）-s（1）Δt，当时间间隔很小时，我们可以认为物体在Δt这一小段时间内所做的运动近似匀速运动，因此，可以用v-作为v（1） 的近似值，且Δt越小，其近似程度越高.当Δt→0时，我们把平均速度v-的极限称为时刻t=1秒的瞬时速度，即v（1）=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0s（1+Δt）-s（1）Δt.我们知道跳水运动员的跳水运动可以被看作自由落体运动，所以s（t）=12gt2，于是有limΔt→012g（1+Δt）2-12g12（1+Δt）-1=g，学生可以用同样的方法把t=2秒……t=t0的瞬时速度算出来：

limΔt→012g（2+Δt）2-12g22Δt=2g，limΔt→012g（t0+Δt）2-12gt20Δt=t0g.

情景2：设曲线C是函数f（t）=12gt2的图像（如图2），求曲线在点M[1，f（1）]处的切线斜率.

分析思路：求切线的斜率有两种方式.

一是利用公式k=tan α求，但切线的倾斜角α没有给出.

二是根据两点公式k=y2-y1x2-x1 进行求解，但只知道一个点M[1，f（1）].

于是我们想到在点M附近曲线上取一点N，N应该距离M较近.教师引导学生连接MN形成一条割线，先求出割线斜率，根据割线斜率的求法再引出切线的斜率，设割线斜率为

k=limΔt→0ΔyΔt

=limΔt→012g（1+Δt）2-12g12（1+Δt）-1

=limΔt→012g2Δt+Δt2Δt

=limΔt→012g（2+Δt）

=g

①情景2中曲线C其实就是跳水运动员自由落体运动函数f（x）=12gt2的曲线.

②情景2中曲线C在点M[1，f（1）]处切线的斜率和情景1中跳水运动员自由落体运动在t=1秒时的瞬时速度相等，都等于g.所以瞬时速度反映到图像上就是对应曲线的切线斜率.

以上两个实例的共同点：当函数自变量变化Δt，因变量变化Δy，Δt→0时，Δy与Δt之比总是趋向于一个定值.数学教师通过这个现象引出导数的定义.这两个实例涵盖了导数概念的发现、探索和形成的过程.

3.对导数的概念进行阐述

假设一个函数y=f（x）在x0的某一邻域内有定义，当x0取得一定增量Δx（x0+Δx在x0的领域内）时，y值也取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.如果Δy与Δx的比例在Δx→0时的极限值是存在的，则y=f（x）在x0处可导，我们称这个值为函数y=f（x）在x0处的导数，记为f′（x0），从而有f′（x0）=limΔt→0ΔyΔx=limΔt→0=f（x0+Δx）-f（x0）Δx，还记为y′x=x0，dydxx=x0，df（x）dxx=x0.

六、结束语

教师在导数概念的教学过程中，始终从学生的学习基础出发，坚持和学生的专业结合，发展学生的应用意识，在课程活动中以实际事物作为中介工具，可以使学生实现对导数的实质的把握，并学会把导数的意义应用到日常生产活动中.

导数来源于生活，同时应用于生产实践，随着社会的发展，特别是在信息技术高速发展的时代，各行各业的发展都越来越依赖于数学.导数是高等数学的重要内容，学生若想把高等数学学好，就要先把导数的知识学好.教师应让学生在掌握导数知识的基础上对其中蕴含的数学思想和文化有深入的了解，让学生知道除了学习知识，还要建立自己的思维模式，加强思维训练，体会数学思维对人类社会的积极作用.社会发展对数学的发展和人类的思维模式提出了更高的要求.教师在教学中把数学方法展示给学生，把数学思想运用到教学中，并且在教学中注重导数知识的应用，培养学生的创造性，可以使学生体会到数学来源于生活并创造生活，数学与现实生活密不可分.

【参考文献】

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