优化问题设计，让高中数学教学更有效

鲁明星

【摘要】在高中数学教学中，教师要优化问题设计，发展学生的数学思维，促进学生数学素养的提升.本文主要从激发性、关键处、剖析式、实践性、拓展式等角度优化问题设计，以期达到发展学生的数学思维的目的.

【关键词】高中数学;问题设计;素养提升

在高中数学课堂教学中，教师要提出目的明确的问题，为学生的思考提供指引，激发学生的问题意识，引发学生深入思考，让他们站在不同的角度分析，形成多元的答案.教师要把控问题的范围，加强问题与知识点之间的关联.教师要设置有一定梯度的问题，引导学生的思维步步深入，促进学生思维的跨越.教师要把握问题的难度，以引发学生的思考，让学生在思考、交流中获得思维品质的提升.教师要依据学情，针对课堂中出现的问题引导学生交流，从而达到预期的教学效果.

一、以激发性提问吸引参与兴趣

上课开始，教师要以有趣的问题调动学生的求知欲望，吸引学生主动参与知识的探究.学生只有经历知识探究的过程，感受数学知识的发展历程，从而去探寻问题的本质，这样才能将所学的知识纳入自己的认知结构.教师要以激发性的问题，引导学生参与探究求知，为他们的问题探索提供动力.教师创设的情境要有趣，能调动学生参与学习的氛围，能引发他们对问题的思考.例如，在学习苏教版必修一《函数的单调性（1）》内容时，教师呈现滨海县某天24小时内的气温变化图（如下图），并提出问题：气温在哪些时段是逐步升高的或是下降的？如何用数学语言来刻画[14，24]内“随着时间变化气温逐渐降低”这一特征呢？教师借助于情境的创设，引发学生关注生活中的数据变化规律，学会运用函数的观点去分析随时间的变化函数值的大小变化.

很多学生认为高中数学知识较为抽象，他们易产生畏难情绪，如果不及时地对他们的情绪加以缓解，会影响他们对数学知识的理解与内化.教师要联系学生的生活，以生活化的情境调动学生参与数学学习的兴趣，引导学生探索抽象的知识，消除其对数学的畏难心理，让学生积极地融入数学课堂.教师要运用多样的引入方式，设计有效的课堂情境，引发学生的探究兴趣.例如，在学习苏教版必修一《指数函数》一课内容时，教者创设问题情境：（1）某种细胞由1个分裂为2个，由2个分裂成4个，……经过x次分裂后，由1个细胞变为y个，请写出y关于x的函数关系式;（2）某放射物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留质量为原来的 50%，设该物质最初的质量为1，经过x年后剩留量为y，请写出y与x之间的函数关系式.以上两个函数有何共同特征？能否统一写成一般的函数表达式呢？教师创设问题情境，引导学生建构指数函数的定义.

二、在关键处提问顺畅思维

教师要在概念导入处、解决重难点知识时、学生易错处设计问题，调动学生的探索兴趣，深化学生对问题的理解.教师要在学习新知识时导入，让学生抓住其中的本质内容.教师要深挖教材，精研内容，设计有效的问题，促进他们对数学本质规律的探寻.数学知识的探究要经历由一般到特殊的过程，要由教师讲授、学生模仿的方式向学生的自主探索转移.教师要设计能引发学生自主思考的问题，激活学生的思维，促进他们对数学概念的理解.例如，在学习苏教版必修一《幂函数》一课内容时，教师让学生回顾：指数函数的一般形式是什么？y=ax（a>0，a≠1）有什么特征？y=x，y=x2，y=x3，y=x13，y=x12，y=x-1是不是指数函数？这些都是x的多少次幂的形式，叫作什么函数呢？教师引出幂函数的概念，让学生说说幂函数与指数函数有什么联系与区别.

教师可以在讲解重點知识时提问，设计由易到难的一系列问题串，为学生搭建循序而学的台阶，让学生由易到难地解决问题，从而深化对问题的理解.教师可以将重点内容分解成一个个小的问题，并组成层层递进的问题串，这样能降低问题的难度，能促进学生对问题的思考.例如，苏教版必修三《循环语句》一课的重点内容是：条件语句的表示方法、结构、用法以及用条件语句表示算法.教师提出问题一：某浴室为节约用水开始实行计时收费，在30分钟内（含30分钟）每分钟0.1元，超过30分钟的部分按每分钟0.2元收费，请设计算法并用基本语句描述计费过程.学生通过算法程序的设计、输入，能体会到计算机解决问题的便捷性，也从中收获了成功的体验.教师提出问题二：在超市中，唱片售价为每张25元，如果购买5张或5张以上的按九折收费，购买10张或10张以上的按八五折收费，请用算法语句描述计费工作.学生先用变量m表示顾客购买的唱片张数，用变量C表示顾客要缴纳的金额.先输入m，并对m进行判断，分为几种情况：若m<5，则C=25m;若5≤m<10，则C=25m×0.9;若m≥10，则C=25m×0.85.教师要为学生留出单独探索的空间，放手让他们尝试完成，从而培养他们的操作能力与创新精神.

学生在探索交流的过程中，难免会出现一些错误的认知，教师要善于利用这些错误点恰当地设计问题，让学生能发现自己所犯的错误并寻找出错的根源，能有针对性地改正错误，从而学会用错，避免错误的再次发生.通过探错、纠错的学习过程，学生会表现得更加主动，使自己对知识的理解变得更加深刻.例如，有两个圆O1，O2，它们的半径分别为1与2，且|O1O2|=4，若动圆P与圆O1内切，又与圆O2外切，则动圆圆心P的轨迹是什么？请说明理由.部分学生忽略了双曲线定义中的绝对值，因而出现解答错误.教师如果忽略了学生的反馈，而直接讲解，往往会影响教学的效果.教师让学生说说解决的过程.有一名学生是这样说的：因|PO2|-|PO1|=3（常数），且3<4=|O1O2|，故P点的轨迹为以O1和O2为焦点的双曲线的一支.教师让学生观察|PO2|-|PO1|=3与双曲线的定义有无区别.在教师的引导下，这名学生指出|PO2|-|PO1|=3左侧的整体没有绝对值，因而是双曲线的一支.教师依据学生的错误进行引导，能引发学生的思考，让他们对双曲线定义的认识走向深入.

在课堂小结时，教师通过提问梳理知识结构，促进学生对知识的记忆内化.教师可以提出与知识引入时对应的问题，能给学生带来承上启下的感受，帮助学生对知识点形成深刻的认知.例如，在学完幂函数内容后，教师提出问题：为何用五个特殊的函数研究幂函数的性质？幂函数的性质有哪些？你能找出一个研究新函数的方法吗？教师通过问题梳理认知结构，促进学生抽象、推理思维能力的提升.

三、以剖析式提问引生深入

教师在遇到重点、难点问题时，可以将其拆分成低起点、有梯度的问题，引导学生步步深入，最终实现问题的解决.教师要针对数学抽象性强、学生畏难的心理，结合学生的知识经验，合理地拆分问题，让他们感受到成功解题带来的快乐，也能激发学生学习数学的信心.例如，在学习选修二中《导数的概念（2）》内容时，教师提出问题：在高台跳水的运动中，某运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在h=-4.9t2+6.5t+10的函数关系，请问：该运动员在0≤t≤6549内的平均速度是多少？该运动员在这段时间内是静止的吗？用平均速度描述该运动员的运动状态存在怎样的问题？如何求该运动员的瞬时速度？通过计算t=2 s时的瞬间速度，当Δt趋近于0时，观察平均速度的数值，你会得到怎样的结论？运动员在某一时刻t0的瞬时速度如何表示？函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？教师针对教学中的难点问题，选择具有趣味性的问题引发学生的思考，让他们去探寻问题的本质.教师要引导学生运用数学的眼光去观察世界，用数学的思维去思考问题，用数学的语言去表达自己的理解.

教师要抓住单元章节的逻辑体系，带领学生去分析知识中存在的疑难问题，并以一定的逻辑呈现，合理地设计问题串.问题的设计要具有挑战性，但要合理把握问题的难点，能让学生够得着.问题之间有一定的联系，前一个问题是后一个问题的基础，后一个问题是前一个问题的延伸，通过承上启下式的问题，促进学生循序渐进地思考.教师在提问时，要优化提问方式，可以将相似的知识点放在一起，运用对比式的提问，如在讲等比数列的性质时，可以与等差数列的性质放在一起，能调动学生的知识经验去学习新知，大大降低了学生学习的难度.教师要提出具有启发性、拓展性的问题，激活学生的思维，为学生的思考指明方向，引发学生深入思考.

四、以实践性提问发展素养

数学活动离不开认知与操作，学生通过实践活动，能增进对问题的交流，抓住数学问题的本质.教师可以提出实践性的问题，丰富学生的直接经验，促进学生认知经验的发展.数学课堂上的知识来源于间接经验，能让知识得到快速传播.但教师也要充分利用学生的直接经验，让学生经历由特殊到一般的探索过程，教师可以借助于多媒体课件、几何画板等，让学生感受直观的图形，理解数形结合的思想，促进学生对数学问题的深入理解.间接经验往往是由直接经验总结、提炼出来的，教师要发挥其教育价值，通过有效的手段将间接经验转化为直接经验，这能提升学生的自主探索能力.教师要开展实践性的提问，引领学生融入学习活动，让他们动脑动手，积极地参与操作活动，从而体会数学知识的内涵.

例如，在苏教版必修四《学习三角函数的应用》一课内容时，教师向学生呈现某港口在某季节每天的整点时间与水深关系表，请学生观察表格中的数据，看看能否从中获得一些信息.学生通过对数据的观察，发现水深有变化，从而猜想出这种变化呈周期性的变化规律，为借助散点图来表示这些数据做好铺垫.教师提出问题：如何画出这些数据的散点图？你能使用图形计算器画出散点图吗？通过教师的提问、学生的探讨，以时间为横轴、水深为纵轴，运用描点法画出这些数据的散点图，根据曲线的形状与走势，分析曲线的形成与特征，判断函数模型，用正弦函数y=Asin（ωx+φ）+k来近似拟合.我们已知知道港口在某季节每天的时间与水深的关系，确定形如y=2.5sinπ6x+5的模型来刻画，再利用该模型解决有关货船进出港的一些实际问题：一条货船吃水深度为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙，该船何时能进入港口？在港口能待多久？教师引导学生探究问题，分析：货船进入港口所需满足的条件是什么？如何用数学表达式来表示这一条件？如何解这个不等式？若将不等式两端看成两个函数，分别作出它们的函数图像，用数形结合的思想去分析，那么满足条件的解是图像中的哪部分？在[0，24]内满足条件的解集是什么？依据图像货船应选择什么时候进港，什么时候出港？能待多长时间？教师要借助问题，让学生感受三角函数是描述周期现象的重要数学模型，学会运用三角函数的图像与性质解决一些简单的实际问题.

五、以拓展式提问发散思维

教师在结课前十分钟对本课或本章节进行知识梳理、思想概括，并由点到面地呈现知识结构.教师要借助于拓展性的提问促进学生对所学知识结构的理解，帮助学生形成独立思考的能力.例如，在学习苏教版必修一《对数函数》内容后，教师提出问题：你能结合生活实际举出指数函数、对数函数的应用吗？你能说说指数函数概念的拓展过程吗？对数函数是如何推导出来的？你能否依据指数函数与对数函数的研究过程，说说我们可以从哪几个方面研究新函数？你能举出“爆炸式增长”的例子吗？

教师也可以开展由点到面的拓展性提问，加强知识点之间的关联，促进学生对数学本质内容的理解.教师要借助疑问，拓展学生的认知，促进学生的深入思考.教师可对问题进行深度的挖掘，帮助学生理解数学概念.

教师可以向学生展示数学家的研究历史与思维过程，或对错题进行分因，寻找成因，并通过提问帮助学生认识错误，或以问题串引发学生联想，让他们循序而学，探寻知识本质.例如，针对学生对双曲线认识模糊的问题，教师设计变式问题：已知圆C：（x+3）2+y2=4及点M（3，0），P为圆周上一点，MP的垂直平分线交直线CP于点N，则动点N的轨迹方程是什么？已知点A（-1，0），B（1，0），动点M满足||MA|-|MB||=2，则点M的轨迹方程是什么？教师借助于拓展问题引领学生探究，能深化他们对抽象概念的理解.

教师通过对问题加以变化、引申、拓展，能调动学生的思维潜能，拓展学生的知识视野，丰富他们对问题的理解.例如，在学习苏教版必修一《函数的奇偶性》一课内容时，在学生理解函数奇偶性的概念时，用定义判断简单函数的奇偶性后，教师提出拓展问题：已知函数f（x）既是奇函数也是偶函数，求证：f（x）=0.学生通过条件f（x）既是奇函数又是偶函数，从而获得结论f（-x）=f（x）且f（-x）=-f（x），由此可以推导出f（x）=0.教师进一步追问：这样的函数应该有多少个？很多学生会认为这样的函数只有一个，在提示、引导下，他们通过改变函数的定义域从而获得不同的函数.

总之，在高中数学教学中，教师要营造轻松的氛围，提出趣味性、启发性的问题，促进学生的行为投入.教师要在重点处、难点处、易错处提问，帮助学生厘清数学概念，培养学生的数学思维，促进他们思维品质的提升.

【参考文献】

[1]叶强.问题解决式教学在高中数学课堂的应用体会[J].文理导航，2015（14）：22.

[2]余金榮.创设系列数学活动问题情境的若干原则[J].中学数学教学参考，2019（10）：10.

[3]卓斌.例谈数学教学中问题串的设计与使用[J].数学通报，2013（06）：2-5.