实变函数课程教学对学生数学素养培养的探索

[摘 要]实变函数课程是重要的数学专业课程之一，是研究近代分析论的基础。该课程的理论体系完整，证明过程的构造性和创新性特点鲜明。培养学生的数学素养是数学教学的最本质的目标。在教学过程中，根据各个知识点的特点，将数学思想、数学应用和数学之美等展现给学生，有助于提高学生的数学素养。文章通过作者在教学实践中积累的部分教学案例，探讨在实变函数课程教学中对学生数学素养的培养问题。

[关键词]数学素养;实变函数;教学案例

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2021）12-0092-03

李大潜院士曾说过“数学教学的本质是提高学生的素质”。数学素养指人用数学观点、数学思维方式和数学方法观察、分析、解决问题的能力及其倾向性，包括与数学相关的意识、行为、思维习惯、兴趣、可能性、品质等。实变函数课程作为数学专业本科教育的必修课程之一，在鍛炼学生数学思维以及提高学生数学素养方面有较大的作用。该课程具有比较鲜明的特点即逻辑严谨、概念抽象、证明过程的构造性强[1]，因此学生感觉晦涩难懂。很多教师对该课程的教学方法[1-3]、在教学过程中渗透数学文化以及提高学生的数学素养[4-6]等方面进行了研究。本文列举了几个实变函数课程教学过程中的教学案例，尝试将学生数学素养的培养贯穿到整个课程教学过程中，激发学生的数学学习热情，提高课程教学质量。

一、数学史的渗透——对知识点追根溯源

大多数的数学理论都是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，数学是一门不断更新和发展的学科。因此，了解一门数学课程乃至一个知识点的历史发展，对于了解该门数学课程而言是非常重要的。陈省身先生曾说过“了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤”。在讲授实变函数这门课程时，介绍这门课程和一些知识点的历史发展过程，对于学生的数学思维锻炼和数学文化熏陶都是非常重要的。

案例1：重视第一节课——介绍勒贝格测度思想。实变函数是理论的中心思想，是建立一种新的积分即勒贝格积分。由于学生在数学分析中已经学习了黎曼积分，实变函数是在数学分析这门课程之后开课的，因此有必要在第一次实变函数课程上介绍勒贝格积分创立的意义，这样有助于学生加强对这门课程的整体把握和理解。因此，笔者首先介绍黎曼积分的缺陷、勒贝格创立积分的初衷及勒贝格积分的基本思想，接着介绍建立勒贝格积分需要做的前期的铺垫工作，然后介绍实变函数理论的章节安排。即从“纵切”由[f（x）]围成的曲边梯形开始，设分割得到的第[i]段区间为[[yi-1，yi）]，向OX轴投影得到的集合为[Ei={x：yi-1≤f（x）<yi}]，任取[ηi∈[yi-1，yi）]，接下来引导学生联想黎曼积分的定义，因此，学生很自然就猜到勒贝格积分（曲边梯形的面积）的计算公式[limδ→0i=1nηimEi]，这里的[mEi]可以先解释为集合[Ei]的长度。这说明要完整建立勒贝格积分理论，首先要解决一般集合的测度（长度）问题和可测函数的定义问题，然后才能建立积分。这正与教材[7]章节的安排相对应，即第三章为测度理论，第四章为可测函数，第五章为积分理论，第六章为微分与不定积分。第一章介绍集合元素“个数”的类型、集合的无穷运算、连续函数的集合定义语言等，为第三章集合的测度与第四章可测函数列的极限奠定基础。第二章介绍开闭集的运算规律，也为更好地开展测度理论研究做铺垫。经过这样的讲解，学生就会对实变函数理论框架有比较清晰的整体认识，也会对实变函数理论产生亲近之感，从而提升授课效果。

案例2：讲解勒贝格外测度的定义。在介绍勒贝格外测度定义之前，笔者先带领学生思考圆面积的近似求法：可以用圆的内接或外切正[n]边形的面积来近似代替圆的真实面积，当分点越来越多时，近似的效果越来越好，对正[n]边形的面积求极限，恰为圆的面积计算公式。接下来，和学生一起回顾与黎曼积分相关的达布上和与达布下和以及上下积分。这些例子都是为了说明两个经常用来计算面积的方法即外包法和内填法。由外包法得到的计算公式就称为外测度。然后，介绍约当外测度的定义

[（m∗E）J=inf{i=1n|Ii|：E⊂i=1nIi且Ii为开区间}]，但是，在约当外测度的定义下，[[0，1]]上的有理数集合与无理数集合的外测度均为1， 而[[0，1]]的外测度也为1，这显然是不合理的。由此，再给出勒贝格外测度的定义[（m∗E）L=inf{i=1∞|Ii|：E⊂i=1∞Ii且Ii为开区间}]。

在这个过程中，学生能够体会到数学的历史积累性，也能够体会数学思维的缜密性和严谨性，更能很好地理解和消化勒贝格外测度的定义。在勒贝格外测度的定义下，[[0，1]]上的有理数集合的外测度为0，[[0，1]]上的无理数集合的外测度为1，让学生进一步体会勒贝格外测度的合理性。

案例3：讲解可测函数的定义。在实变函数课程的第一节课中已经交代了勒贝格积分的思想，学习第四章第一节时，可以先再一次简单回顾勒贝格的积分思想，引入集合[Ei={x：yi-1≤f（x）<yi}]，并说明该集合在勒贝格积分理论中扮演着重要的角色，勒贝格积分需要该集合可测，而该集合可测与否与函数[f（x）]的性质密切相关，然后引导学生发现以集合[E={x：a≤f（x）<b}]（[a，b]为实数）可测来定义函数[f（x）]的可测性，接下来再进一步思考（[f（x）]为有限实数）

[E={x：a≤f（x）<b}={x：  f（x）≥a}-{x：f（x）≥b}]

因此，集合[E={x：a≤f（x）<b}]的可测性就转化为集合[{x ： f（x）≥a}]的可测性。这正是教材对可测函数的定义方式，因此可以自然地引出可测函数的定义以及等价刻画。这就使得可测函数的定义不突兀，与学生的思维非常接近，便于学生接受和记忆。

二、数学思维的引导——重视讲解课程的理论框架和展开方式

案例4：教材[7]的第五章，由非负简单函数的积分逐步实现对一般可测函数的勒贝格积分的定义。因此笔者在讲授第五章时，先让学生对教材逐步展开的方式有所了解。由于任何一个可测函数都可以写成两个非负可测函数之差（正部与负部），即[f=f+-f-（非负可测函数之差）]，同时，“任何一个非负可测函数都可以写成非负的单调递增的简单函数列的极限”，因此我们可以先定义非负简单函数的勒贝格积分。这正是这一章积分定义的展开方式。

笔者在具体的讲解过程中，由勒贝格“纵切”的思想引导学生给出非负简单函数的勒贝格积分的定义。在介绍非负可测函数的勒贝格积分之前，笔者让学生根据“任何一个非负可测函数都可以写成非负的单调递增的简单函数列的极限”这一结论，尝试着给出非负简单函数的勒贝格积分，并提示“任何一个可测函数都可以写成两个非负可测函数之差”，让学生自己给出一般可测函数的勒贝格积分的定义。在讲解各类函数的积分性质时，也是逐步递进展开的。笔者这样由浅入深，由易到难，由已知到未知，层层展开，学生学习起来有奔头也有解决问题的信心，对其整体把握积分的思想、定义和性质非常有好处。这样的教学过程，不仅能让学生理解教材的框架安排，也能引导学生积极思考，锻炼學生的数学思维。

三、领略数学的魅力——对知识点进行拓展

实变函数课程中的很多知识如集合论、数学分析、概率等与其他课程有所联系，在课程教学中适当介绍实变函数课程与其他课程的联系，不仅可以让学生感受到这门课程的重要性，还可以让学生感受到数学的实用性以及数学之美。

案例5：在讲解康托尔三分集的时候，借助教材[7]中的描述向学生形象地展示科赫曲线、牛顿分形、Nova分形等，把美丽的数学图像展示在学生的面前，再由此介绍分形的维数与分形几何。虽然分形是一个数学构造，但在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用。如果时间充裕，还可以和学生一起观看视频“Hunting the Hidden Dimension（寻找隐藏的维度）”，共同感受数学的魅力，这样可以拓宽学生的视野，加深学生对数学的认识，激发学生对数学的兴趣和热爱之情。信息时代的发展日新月异，要让学生体会到自我完善和认真学习的重要性。

案例6：函数列的依测度收敛是实变函数这门课程中最中心的理论之一，因此对依测度收敛的内涵与外延的讲解都非常重要。在讲解依测度收敛的时候，笔者带领学生一起回忆概率论中的随机变量收敛，特别是依分布收敛和大数定律以及分布函数等，并列举一些概率论中非常重要的概念和结论，因为这些概念和结论与测度理论、可测函数的收敛、勒贝格积分等有着重要的联系。可以说，实变函数与概率论这两门课程的基本概念和收敛性之间的联系千丝万缕。然后进一步向学生说明测度论是现代概率论的地基，地基深房子才能盖得高。这对于爱好概率论学科的学生以及打算以后从事与概率论相关科研和工作的学生，无疑是非常具有吸引力的。

在讲解依测度收敛的定义的时候，笔者配合与比较函数列的收敛的定义，让学生体会到，依测度收敛，不要求处处收敛，但不收敛的点“不能太多”，不收敛的点集测度要随着n的增加趋向于零。这样就可以很自然地带领学生去思考依函数列的测度收敛与收敛到底有什么样的关系，很自然就引出了里斯定理和勒贝格定理。逻辑自然流畅的授课，容易将学生带入课堂，提高授课效率。

四、数学家的风采——进一步加大数学文化教育力度

本门课程涉及众多数学家如康托尔、勒贝格、博雷尔、 卡拉西奥多里、富比尼等，这些数学家的品格与他们取得的成就一样出色。因此，在课堂上适当介绍一些数学家的生平与轶事，可以让学生感受到他们对数学乃至真理认真探索的态度和高贵的品格，从心里敬佩与仰慕这些数学家，从而对数学学习与探索产生热情和向往之心，这样可对学生的学习生涯和人格培养起到潜移默化的作用。下面就以cantor和勒贝格为例。

案例7： 集合论是实变函数的第一章。在这部分内容的讲授过程中，我们可以看到许多在我们身边的不可思议的结论，比如有理数集具有可数基数，无理数集具有连续基数。学生在惊讶于这些结论与证明方法之余可以感受得到，集合论的创立者康托尔的强大思维。在集合论这一章的结尾处介绍康托尔的生平与主要工作以及简要介绍第二次数学危机，可以让学生感受到集合论作为数学的基石曾经经历的风雨， “半丝半缕，恒念物力维艰”，从而体会到康托尔、蔡梅罗等几位数学家对这个世界的贡献。从数学是自然科学的基础方面引导学生体会到正是一代代学者对数学的热爱和孜孜不倦的追求，成就了科学飞速发展的今天，也成就了我们今天丰富的物质生活，因此我们要心怀感恩地生活。

案例8：实变函数主要介绍的就是勒贝格积分，因此勒贝格的生平是很多学生关心的问题。笔者在介绍勒贝格时介绍他与博雷尔之间的师生关系。由于自己的研究受到当时某些人的排斥，因此勒贝格毕业十年后都找不到工作，最后是到巴黎大学任教。虽然勒贝格曾经受到打击，但是，勒贝格积分最终还是站在了历史的舞台上，出现在当今数学与工程的多种理论中。然后告诉学生：认真学习实变函数这门课程不仅是数学学习的一项任务，同时也是对数学家们表达尊重和敬佩之情的一种方式。

五、结束语

根据《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020）》中对人才培养的要求和目标，以及为贯彻落实党的十八大以及十八届三中全会、四中全会、五中全会的精神，辽宁省制定了《 辽宁省教育事业发展“十三五”规划》并要求教育积极适应人才需求变化，推动本科高校转型发展，加大专业结构调整力度，实现高校和职业学校与社会需求的密切对接，大力培养创新创业人才，增强科技创新能力，为辽宁全面振兴提供有力的人力支撑和保障。培养学生的数学素养是数学教学的最终也是最高的目标。李大潜先生认为对学生开展数学文化方面的训练， 理想的方式应该是结合数学课程特别是数学主干课程的教学来进行。这样做有助于数学文化教育的开展，虽然表面上看仅仅是一个配角，但在密切结合数学内涵这一载体的讲授过程中， 却不显山、不露水地起着画龙点睛的作用[8]。

实变函数课程作为数学专业的一门重要的基础课程，不仅是后续课程的基础，更是一种思维模式，对锻炼学生的数学思维能力、理解能力和创新能力以及培养学生严谨认真的作风和思维模式起着非常重要的作用。从上面的案例可以看到，对学生数学素养的培养，从第一次课开始，一直贯彻于实变函数课程的教学始终，环环相扣，使这门课程变得生动又富有吸引力，不仅可以增加学生学习这门课程的兴趣，更使学生对数学学科产生热情和向往之心，热爱思考和探索，从而在潜移默化中提高学生的数学素养。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 苏先锋，秦喜梅，李晓萌.关于实变函数教学中的一些注记[J].淮北师范大学学报（自然科学版），2014（1）：78-80.

[2] 刘晓波.“教学做合一”理论在实变函数课程教学中的实践[J].高等理科教育，2013（4）：82-85.

[3] 欧阳顺湘.实变函数论中的概率方法[J].高等数学研究，2020（1）：64-66.

[4] 吴照奇，朱传喜.数学文化在实变函数与泛函分析教学中的渗透[J].数学教育学报，2019（1）：89-91.

[5] 冯颖.在实变函数教学中融入数学文化的思考[J].高师理科学刊，2015（7）：66-68.

[6] 贾利东，王慧，李权.数学史融入实变函数教学中的探究[J].河套学院学报，2016（4）：70-72.

[7] 程其襄，张奠宙， 魏国强，等. 实变函数与泛函分析基础[M].3版. 北京：高等教育出版社，2010.

[8] 李大潜.浅谈数学文化[J].中国大学教学，2013（9）：4.

[责任编辑：庞丹丹]

[收稿时间]2020-07-28

[作者简介]王诗云（1978-），女，辽宁沈阳人，博士，副教授，研究方向：运筹学。