问题导向：初中数学深度教学的实践研究

孙雅琴

(苏州市吴中区木渎南行中学 215101)

“深度教学可以理解为触及教学本质的教学”，[1]因此，初中数学的深度教学不仅要求教师传授数学知识,更要引导学生探究数学本质，培养学生的数学思维.通常，问题导向指以解决问题为方向，少做与问题关联不大、不做与问题无关的无用功.数学课堂教学中的问题导向则是走向教学本质的一种引领方式.通过实践研究，本文所谈的问题导向是指在初中数学课堂教学中，设置阶梯型、体验型、合作型、反思型等能够让初中生走向“最近发展区”的问题，激发学生理解数学知识、求证数学结论的思维兴趣，提升学生数学认知水平，促进学生数学高阶思维的发展.

1 设置阶梯型问题，深化数学认知

深度认知有两大特点：一是对客观事物有理有据的解读；二是对客观事物本来面貌的探究过程.[2]要实现初中数学课堂的深度教学，首先需要让学生深化数学认知，也就是达到深度认知.因此，课堂上教师们不仅要在关注数学本质的高度上把握知识，更要关注初中数学知识的系统性，带领学生经历探索的过程，在数学的天地里感受，我们不仅仅是知道了什么，而且我们怎么知道了什么.设置阶梯型问题，旨在为学生的认知过程铺设台阶，在实践中逐步深化认知.案例1的问题是笔者在教学“字母表示数”时所设计的.

案例1用同样大小的小正方形纸片，按以下方式拼大正方形.

(1)第①个图形有有( )个小正方形； 第②个图形有( )个小正方形；

图1

(2)第②个图形比第①个多( )个小正方形；第③个图形比第②个多( )个小正方形；第④个图形比第③个多( )个小正方形；

(3)第2020个图形比第2019个图形多( )个小正方形.

(4)根据第(2)、(3)小题的解题经验，你能用数学方法来描述这里的规律吗？

笔者做此设计旨在让学生理解 “字母除了可以表示实际问题中的未知的数，还能表示问题中的数量关系和变化规律，感悟字母表示数的必要性和优越性”.(1)、(2)意在让学生拼一拼，在拼的过程中激发兴趣，并直观感知规律.实践发现，(1)和(2)学生都是拼一拼，数一下就报答案了；到第(3)题学生会觉得数字太大，不可能拼了，学生观察之前的拼图找出规律：在拼一个大正方形时，就是比前面那个图形在右侧多一行一竖，而那一行一竖所需的小正方形的数量和图形的序号是一样的，但右上角那一个是重复的，所以，第2020个图形就是在第2019个图形的基础上再拼一横行2020个，一竖列也是2020个，但最右上角那一个是重复的，实际就是多了(2×2020—1)个.第(4)题在第(3)题的已经知道用文字描述规律的情况下，用数学方法来描述，很自然的引出一种简单方法——用字母表示数呈现规律，图形序号用n来表示的话，第n个图形比第(n-1)个图形多(2×n—1)个小正方形.不仅让学生感悟用字母表示数的优越性，更是完成了一次从形到数的建模.

【评析】从(1)、(2)题的简单数字，可以直接拼、直接数，到后来第(3)题虽然数值较大，但只要是固定的数，运用发现的规律总能计算出来，到第(4)题，显然用文字描述规律很繁琐，引入字母n，一切问题迎刃而解，学生发现用字母替换文字描述的规律最为直接明了，由特殊到一般的数学建模过程顺利完成.层层递进的四个阶梯型问题的探索，让学生逐步感知一些实际问题中的规律，很容易发现，在描述问题规律的诸多方法中，引入字母表示数，可以使这个变化规律用简单直接的方式展现出来，在完成问题的过程中，逐步加深对字母表示数的优越性和必要性的认知，不知不觉中渗透和感悟.从知识的记忆巩固走向问题探究，是我们设计问题时必须要遵循的原则.让学生以问题为核心开展数学探究, 经历思考的全过程，逐步深化认知.

2 设置体验型问题，激发数学思考

《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出了“基本活动经验”的新目标，指出“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证等活动过程，明确“动手实践”也是学习数学的一种重要方式.因此，体验式教学得到普遍认可.深度体验最大的特点是体验、感悟到的东西会在大脑记忆中留下深刻印象，并且随时可以回想起曾经亲身感受过的生命历程.设置体验型问题，意在通过学生的“动手做数学”，发现问题、分析问题、解决问题，尝试归纳结论，用数学语言表达出结论，在体验过程中不断引发学生的思考，在思考中发展学生的数学思维，享受学习数学的乐趣.案例2是笔者在教学“角(第2课时)”时设计的体验型问题.

图2

案例2每位学生准备如图2的三角板1副，按学习小组进行拼图竞赛.

1.比赛规则如下：

(1)用1副三角板拼图；

(2)1副三角板直接拼出确定度数的小于平角的角为合格图形，如图2的75°的∠ACD；

(3)评分标准：拼成一个合格图形得1分，重复同一个图形不给分.

(4)比赛时间为5分钟，把拼出的角画在记录纸上，并写出度数，标明字母，列出式子A，如图2的∠ACD=∠ACB+∠BCD= 75°)，由裁判评分，计算各组总分.

2.请各小组选择一张你们小组认为最喜欢的图形，用这个图形提出一个关于角的度数的计算问题，根据现场提问的实际效果，由大家投票，得1-3分.

通过动手实践，学生感受到了根据角的特征，要拼成符合题意的角就要用三角板边构成角的边，三角形的顶点构成角的顶点，所以，一副三角板要拼在一起就要有重合的边，找到了解决拼图问题的根本，这个比赛同学拼出很多符合要求的角.强化了角是一个顶点两条边拼成，自然今后解决角的计算问题可以化归为找角的顶点和两边的问题.要求同学就最喜欢的图形提出一个角的计算问题.同学们热情高涨，拼出了各种各样的图形，解决方法也各种各样.特别值得一提的是，有同学提出角的计算中比较典型的问题.甲学生拼了如图3-1的图形，提的问题是计算∠BAB′和∠B′C′C的度数，这个∠B′C′C可以看做是一个平角减去∠B′C′A，这个题出得非常好，不仅让同学们知道拼的角的顶点不一定是三角板顶点与三角板顶点的重合，还可以是一个三角板的顶点在另一个三角板的一边上，用到了一个隐含的平角；乙学生拼了如图3-2的图形，提的问题是计算∠BB′D的度数，也非常好，它的妙处，拼图时三角板的顶点没有与顶点重合，只是重合边，也用到了一个隐含的平角，最为可贵的是，可以发现这个图3-2与图2的位置上的变化，平移的本质初步印象已有.

图3-1

图3-2

【评析】竞争意识是新时代人应具备的一种基本素质，特别是以小组为单位的竞赛，不仅培养了个人的竞争意识，更能激发学生的团队意识.初中生比较适合直观性比较强的体验式教学方式，合理的竞争机制可以有效地激励学生主动参与体验，真正做到“做中思，思中悟”.实践证明适当带有竞争性地体验型问题，提升了学生参与体验的热情，激发了学生主动思考的动力.如案例2的拼图，就是让学生在 “做数学”的过程中，感悟到完成拼图的根本要素在哪里，本题的第2个要求更是让学生在动手的基础上提出问题、解决问题.为了让小组多得分，学生往往会更积极地探索着各种不同的结果，所以会出现图3-2中计算∠B′C′C的度数、图3-2计算∠BB′D的度数，这种高水平的问题.这个题目完成了，角中的基本计算问题也就解决了，还为后面的平移做了铺垫.设置竞赛活动和体验平台，让学生积极动手体验，感悟数学知识和本质，有效训练学生多角度思考问题的习惯，发展了学生数学思考能力，培养了学生的数学思维.

3 设置合作型问题，构建有效合作

孔子说过“ 独学而无友，则孤陋而寡闻”，说明了合作学习的重要性.新时代对提升中学生的关键能力提出了新的要求，提升学生的合作意识和合作能力已成为必需.合作就是个人与个人、群体与群体之间为达到共同目的，彼此相互配合的一种联合行动的方式.提升学生的合作能力的前提是学生之间的合作是有效合作的，要防止伪合作、假讨论.有效合作需具备三个条件：一是一致的目标，二是统一的认识和规范，三是相互信赖的合作气氛.初中数学课堂的有效合作的教学必须真正建立在学生自主活动的基础上，发挥学生的主体作用，把学生的个性探索与小组的合作探究有机结合起来，促进学生的主体性、实践能力及合作意识等多方面素养的协调发展.设置合作型问题，在教学中慢慢培养和渗透学生的合作意识，逐步有效提升学生的合作能力.案例3是笔者在教学“余角、补角、对顶角 (第1课时)”时设计的问题.

图4

案例3请各小组结合对课本和导学案的预习，就导学案的问题1、2、3进行小组讨论，对这3个问题组内形成统一的结论，并讨论为帮助同学正确理解余角的概念想对同学做出怎样的提醒.

问题1：

(1)请用量角器测量如图4的∠α和∠β的度数(精确到度)，∠α和∠β的度数之间有什么特殊关系吗？

(2)如果保持点D的位置不变，转动上面这个三角形，猜想∠α和∠β的度数之间有什么特殊关系吗？

(3)能用已经学过的知识来解释第(2)的猜想吗？

问题2：

如果，那么这两个角互为余角.

问题3：

请同学们在下面方框内画∠1与∠ 2 ，使它们互为余角.

问题4:判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”

图5-1

图5-2

图5-3

(1)如图5-1，点B在直线CD上，且∠ABD=90°，则∠ABE与∠EBD互为余角.

( )

(2)如图5-2，∠AOC=∠BOD=90°，则∠AOB、∠BOC、∠COD互为余角.

( )

(3)如图5-3，∠1=25°,∠2=65°，则∠1与∠2互为余角.

( )

笔者所在的学校坚持推行小组合作学习，合作前老师都会根据预习完成情况提出合作要求，各组的讨论必须在组长的组织之下进行，遇到组内解决不了的问题，举手向老师示意.下面是第2组的合作过程：

组长：请C1同学说说他做的问题1.(一小组6人，为了分组均匀，每组分三个层次2A、2B、2C，C表示数学能力相对弱的，这一组的组长从编号上说是A1)

C1：我测量得到∠α=20°，∠β=70°，发现这两个度数加起来是90°.转动上面这个三角形，我猜想∠α和∠β的度数之间还应该加起来是90°.用已经学过的知识来解释第(2)的猜想，我不是太清楚.

组长：看了一下，(1)、(2)大家都是对的.B1同学你能解释第(3)问吗？

B1：根据图形可知∠α+∠β+ 一个直角= 一个平角，所以∠α+∠β=90°.

大家表示同意.

组长：我们看问题2，这个比较简单，书本上有，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角.我看了大家写的都是对的.请B2同学展示一下你预习的时候做的第3题.

B2：我画了一个直角，然后中间画了一条射线，所分的角标为∠1与∠2就可以了.

组长：B1同学画的就是最简单直接的画法，两角的和为一个直角这两个角互为余角.问题4的前两问大家都做对了.第(1)正确；第(2)题错误，余角是两个角的和是一个直角，这里是3个角就不对了；第(3)题错了3位同学，C2同学你为什么认为他是错的呢？

C2：因为这题的图形和之前的都不一样，是两张图，之前的都是在一张图上.

B2：对哦，我刚刚画的图就是一个直角分的两个角.

……暂时沉默

此时，组长举手向老师示意，需要帮助.

师：请同学们再看一下互为余角的定义，再来考虑这个问题？

B1：书本上说，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角.没有说两个角必须在一张图上.

师：是的，互为余角是两个角之间的数量关系，只要满足两角之和是90°，就可以了，不一定要在一张图上，也不一定要有公共顶点，与位置无关.

笔者在巡视各个小组的讨论时，每次会重点关注某几个组，这次就让第2组把他们小组的合作过程以及得出的结论在班级内进行交流.同时，笔者也在第2组展示结束后马上进行了点评.因为问题1的探究，用的两个角是有公共顶点的两个角，同学们在预习时对互为余角的两个角的理解产生了误解这是正常的，经过大家的自主学习和讨论发现，两角互余的数学本质为两个角的度数之间的关系，是两个角之间的数量关系与位置无关.这是难能可贵的.

【评析】合作中，组长有条不紊的指挥，大家相互理解、互相支持、共同探讨，这才是有效合作.比如这个第2组的合作，都是在组长的组织下进行的，有序发言，碰到问题，先组内商量，有疑问，及时举手示意，老师及时引导.老师带领大家重温余角的概念，这是一种方法引导，就是告诉学生碰到问题要依据课本，根据概念再进行问题解决，此时在学生存在困惑的点上老师讲解的话语的接受度会明显高于平常老师直接灌输式的教学话语.同学们在轻松愉快的氛围下开展小组合作学习，让学生乐于学习数学，善于学习数学.本课的合作学习不仅从探索两角互余的概念的过程中生成和掌握了互余的定义，也了解了数学概念的涵义，更是充分经历了从猜想——归纳——验证的这样探索过程，初步感受探究法在数学中的应用，这是符合学生的认知规律和学生思维发展规律的.

4 设置反思型问题，培养高阶思维

初中数学的深度教学的着眼点在于如何通过教学,培养学生的高阶思维，从“基于答案”走向“通过答案”，培养学生的数学思维和创新能力.反思是一种深度思考，而深度思考需要一个前提就是主观意愿，内心要有这个意愿才能开启思考之门，所以自主反思的培训必不可少.“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾与反思，它在本质上是以科学的态度对问题蕴含的知识、解题的思想方法、自我的解题能力、解题情感以及解题错误成因等进行反思，用新的视角对解题活动进行多维度的再审视，从而加深对问题的理解、优化思维、揭示本质、探索规律，这是培养高阶思维的一种有效方法.笔者参考波利亚怎样解题表的回顾部分，专门制定了问题形式的学生的“解题自主反思评价表(表1)”，供学生在完成解题之后，及时反思.这种反思型问题的设置给学生的自主反思提供了载体，指明了方向，学生在反思中提升数学素养. 如案例4.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，并求出此时P点的坐标和△PBC的最大面积．

表1 解题自主反思评价表

续表

【评析】在这个问题的反思中，看似简单的课堂留白和发言，实际上从不同的角度给学生创造了思维的梯度和空间.第2小题，大多数在初步解题时，都会选择用已知边BC与BC边上的高的乘积除以2的方法直接表示△PBC的面积.但发现虽然BC边的长度可算，为定值，但BC边上的高不方便求.由此，引出间接表示△PBC的面积的方法——分割法.从直接到间接的改变，就是学生思维方式的改变.对于“尝试综合”和“拓展问题”部分的反思问题设置，有利于逐步培养学生善于提问、乐于探究、努力求知的积极态度.特别是，有同学提出的问题“当点P运动到什么位置时，△PBC的BC边上的高最大”，这就是初步思路无法解决，但通过前面的解题，可以发现，初看这个高不可求，但实际上发现，可以用面积反过来表示高.这是真正基于解题的深度思考和反思，提高了学生数学的理性思维.实践表明，特别是拓展问题的开放性，能引起学生极大的探索兴趣.对一些结构良好的问题，都要引导学生进行评价，丰富想象，形成层层推进的探索.事实上，“解题自主反思评价表”的实施，探索问题背景；明确涉及的数学概念、原理；感受直觉思维；找到避免错误发生的途径；提炼思想方法；通过问题的再分析、综合、拓展等行为，揭示问题的本质，提高数学的高阶思维，这远远比多解几个题重要.

深度教学不是要加深教学内容和难度，问题导向则是深度教学的一种有效方式，问题是思维的起点，也是深度思考的焦点.深度教学需要深化教学目标，优化教学过程，通过精心预设问题、用心构建平台、引导积极参与和深刻感悟，养成学生善于提问、乐于探究的情感态度.唯此，才能让我们的数学教学成为学生的智慧之旅，让学生的思维在课堂上起舞.