用几何直观和代数运算的方法研究三角函数

章建跃

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

现实世界中存在各种各样的运动变化现象，基本初等函数是对其中基本的变量关系和规律的刻画，例如线性函数、指数函数和对数函数分别刻画了“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”等现象.“周而复始”现象随处可见，要用周期函数进行刻画，其中最典型的则是三角函数.

1 课程定位

课程标准指出，三角函数是一类最典型的周期函数.本单元的学习，可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题.内容包括：角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用.

分析课程标准的上述表述，可得出如下几点认识：

第一，三角函数在刻画周期性现象中具有基础性作用，是非常重要的.实际上，绝大多数的周期性都可以用正弦函数、余弦函数构成的无穷级数予以表征，这就是傅里叶级数.

第二，单位圆是建立三角函数概念的理想载体.在各种各样的周期性现象中，匀速圆周运动具有典型性，而单位圆上点的单位速率运动又是不失一般性的，所以借助单位圆建立的函数概念具有简单性、一般性.

第三，三角函数概念与单位圆之间的紧密融合关系表明三角函数性质与圆的几何性质有内在关联.实际上，三角函数的性质就是圆的几何性质的解析表达.所以，研究三角函数的性质要采用几何直观和代数运算相结合的方法.

第四，从三角函数概念可知，确定这些函数的要素(特别是对应关系)的背景条件是一样的，所以这些函数之间一定有内在联系，这是三角函数的“与众不同”之处.这样，探索和研究这些三角函数之间的一些恒等关系就成为研究三角函数的一个重要任务.

第五，掌握三角函数的主要目的之一是用于建立数学模型解决实际问题.

2 内容与要求

课程标准对三角函数提出了如下内容与要求.

1.角与弧度

了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.

2.三角函数概念和性质

(3)结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.

3.同角三角函数的基本关系式

4.三角恒等变换

(1)经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.

(2)能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).

5.三角函数应用

会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.

分析上述内容与要求的框架可以发现：

图1

第一，任意角的概念和弧度制的引入要讲“必要性”，其背景是周期性现象，可以围绕匀速圆周运动的刻画来展开.实际上，引入任意角概念和弧度制也是刻画周期性现象的一环.如图1，圆上一点从点A开始，以角速度ω绕圆周运动到点P，运动时间t与绕过的角α之间的关系是α=ωt.如果起始位置A对应于角φ，那么有

α=ωt+φ.

第二，要让学生充分认识单位圆在研究三角函数中的重要性，从内容到方法都应强调单位圆的“脚手架”作用，将单位圆作为研究三角函数的一个工具，让学生养成使用习惯.

第三，课程标准强调，诱导公式是三角函数的性质，在研究方法上要求借助单位圆的对称性、从定义出发进行推导.老师们习惯于从“任意角三角函数求值”的角度看待内容，“利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数”的定位根深蒂固，但这种观点要得到与时俱进的改变.

第四，课程标准要求借助单位圆的几何直观探索三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值等整体性质；而对一个特定周期内的函数性质则要求达到理解水平.

第五，要注意y=Asin(ωx+φ)的实际意义，与y=sinx建立联系，借助图象变换理解参数ω，φ，A的意义，并在此过程中“拆除”单位圆这个脚手架，为三角函数用于研究广泛的周期性现象打下基础.因为这个函数与现实世界中周期性现象的紧密关联，所以可以结合三角函数的应用安排y=Asin(ωx+φ)的学习.

第六，同角三角函数的基本关系式表明了三个三角函数之间的内在联系，要达到理解水平.这里，如何使学生想到研究“联系”的问题是首要的.

第七，三角恒等变换公式具有层次性，两角差余弦公式是奠基，要求学生掌握推导方法.由此出发推导两角和与差、二倍角的三角公式是第二层次，以任意角概念的理解、诱导公式、角的灵活表示等为基础，要让学生自己进行探索.第三层次是积化和差、和差化积、半角公式等，可以作为两角和与差、二倍角公式的应用结果.

上述七点顺次构成研究三角函数的整体架构，可以作为建构三角函数教材和教学的基本依据.

3 本单元学习的认知分析

下面我们分析一下本单元的认知基础.

1.数学外部的基础

学生每天都能接触到周期性现象，这是日常生活中积累的对“周而复始”现象的认识经验.

物理中已经学习过圆周运动、简谐振动、交变电流等，地理中学习的季节轮替、潮汐变化等，生物中学习的各种动植物的生长规律等.总之，相关学科中积累的关于周期性变化规律的知识都可以成为三角函数的认知基础.

2.数学内部的基础

数学内部积累的三角函数认知基础已经非常丰富.

(1)平面几何方面

在平面几何中学习的圆的性质、相似形的有关知识，初中对圆的研究，从中心对称图形、轴对称图形、旋转对称图形等多角度展开，将这些研究中得出的定性结果用三角函数概念表达出来，就可以直接得到三角函数的性质.同时，平面几何中的相关知识及其蕴含的思想方法也能给证明三角函数的性质提供思路，例如两角差余弦公式的证明.

(2)函数主题方面

在函数一般概念，幂函数、指数函数、对数函数的学习中积累的数学思想、数学活动经验都是本单元的认知基础：

从函数的一般概念、表示与性质等学习中，了解了研究函数的一般路径、方法；

通过幂、指、对函数的学习，基本掌握了研究一类函数的结构、内容、过程与方法.

特别重要的是，在这些学习中养成的一般性思考问题的习惯，例如如何构建一类函数的研究路径，抽象一类函数概念的内容、途径与方法，如何从函数定义出发研究函数性质，如何利用函数概念和性质建立数学模型解决实际问题等等.

3.认知困难分析

已学的多项式函数、幂函数、指数函数和对数函数等，它们的对应关系都是代数运算规律的反映，但三角函数不以“代数运算”为媒介，是几何量(角与有向线段)之间的直接对应，不是通过对α进行代数运算得到函数值，这是一个复杂、不良结构情境，学生不习惯于这样的对应关系，是主要的学习难点.因此，在“对应关系”的认识上必须采取措施破除定势，帮助学生搞清三角函数的“三要素”，特别是要在落实“给定一个角，如何得到对应的函数值”的操作过程的基础上再给定义.

三角函数的性质，核心是周期性，由此引发丰富多彩的内容：丰富的对称性；以单位圆为媒介而建立起各三角函数之间的丰富关联，例如由定义直接推出同角三角函数之间的关系；结合单位圆上点的运动及其坐标的变化规律(非常直观)，推出各种各样的三角公式、恒等变换公式等，这是其他函数所没有的.

研究三角函数性质的方法也有特殊性，即利用三角函数的定义，将圆的几何性质转化为三角函数值之间的关系，这就是通过几何直观研究函数性质，如单位圆关于原点成中心对称、关于坐标轴成轴对称、关于y=±x成轴对称，转化为三角函数之间的关系，就是诱导公式.因此，研究三角函数性质时所使用的数形结合，与通过观察函数图象而得出性质所体现的数形结合，有较大的不同.总之，“正弦函数、余弦函数的基本性质是圆的几何性质的直接反映”，这种研究方法是学生不熟悉的，有的学生甚至会认为这样得到的不是函数性质.

三角函数概念与性质的学习中，与单位圆建立了非常紧密的联系，有利于学生理解三角函数的本质，但同时也带来不利影响.现实中的周期性现象并一定以角为自变量，因此在用三角函数解决实际问题时，需要有更复杂的分析与转化工作.

4 核心内容的理解与教学思考

4.1 本单元内容的整体构建

4.1.1 三角函数发展概述

公元前的亚历山大里亚时期，为了建立定量的天文学，三角术在希腊定量几何学中应运而生，到托勒密出版《数学汇编》，希腊三角术及在天文学上的应用达到顶峰.这部著作中有大量三角恒等变形问题，包括和(差)角公式、和差化积公式等，证明采用了初等几何方法.

三角学的发展与天文学相互交织，且服务于天文学.到十六世纪，三角学开始从天文学里分离出来，并成为数学的一个分支.

应航海、天文、测量等实践之需，制作三角函数表成为三角学研究的核心工作.因为在制作过程中需要大量的三角恒等变形，所以三角恒等变形问题占据了主导地位.随着对数的发明，特别是微积分的创立，三角函数表的制作变得轻而易举，繁杂的三角恒等变形不再需要，曾经重要的三角公式也风光不再.在中学数学课程中，复杂的三角恒等变形似应逐渐退出历史舞台.

4.1.2 课程内容的与时俱进

(1)更加重视对y=Asin(ωx+φ)的研究

从应用的角度看，应强调三角函数作为描述周期现象的重要数学模型的地位，因为“三角函数与其他学科的联系与结合非常重要，最重要的是它与振动和波动的联系，可以说，它几乎是全部高科技的基础之一”(齐民友).因此，优化三角函数课程内容，应该围绕“与其他学科的联系与结合”，在建立三角函数的基本概念、认识它的基本性质的基础上，对y=Asin(ωx+φ)展开深入研究，重视它对学生数学抽象、逻辑推理和数学建模等素养发展中的作用.

(2)发挥单位圆的作用

因为“正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数；而正弦、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质(主要是其对称性)的直接反映.”([1],p.82)所以，研究三角函数的性质，要充分发挥单位圆的作用，以利于提高学生的数形转化、直观想象能力.三角函数的研究中，一定要确立以单位圆为载体的几何直观方法的主导地位，这样才能达到聚焦本质、削支强干、以简驭繁的目的.

(3)体现数学的现代思想

这样认识和处理内容，体现了三角函数性质的整体性，可以更充分地发挥三角函数在培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模等核心素养的作用.

(4)加强与复数、向量等内容的联系

从整体上看，三角函数处于高中数学课程内容的结合点上，“三角学其实就是三角形的解析几何，可以说是具体而微的解析几何，它是整个平面解析几何的基础所在，也是用解析法系统研究几何的基本工具.” ([1],p.82)所以要强调三角函数与向量、复数、解析几何等的联系与综合，可以通过加强三角函数在后续相关内容中的应用来体现(例如解三角形)，也可以通过用向量、复数的方法重新推导三角变换公式等来实现.本单元则要加强诱导公式、三角恒等变换公式与圆的性质(主要是对称性)的联系.

总之，定义三角函数的最好方式是利用直角坐标系中的单位圆.抓住三角函数作为刻画匀速圆周运动的数学模型，这就真正抓住了要领，就能以简驭繁.

4.1.3 本单元的结构体系

三角函数的内容非常丰富，经过多轮课程改革，不断削支强干，其研究的内容、过程和方法都越来越简洁、清晰，但构建教材结构体系的指导思想仍然是一脉相承的：根据数学知识发生发展过程的内在逻辑，体现研究一个数学对象的“基本套路”，使教材具有内容的连贯性、逻辑的严谨性；同时，要发挥核心概念及其蕴含的数学思想和方法的纽带作用，使教材具有思想的一致性.具体按照如下线索展开：

背景、任意角和弧度制——概念——基本性质(直接由定义推出的性质，要素的关系)——图象与性质——三角恒等变换(圆的几何性质的解析表示)——函数y=Asin (ωx+φ) ——应用(注重多样性，撤去单位圆这个“脚手架”).

4.2 具体内容的理解与教学

4.2.1 如何引入本章内容

问题1三角函数刻画了客观世界中哪一类变量关系和规律？如何引导学生分析周期性变化现象？

以往教材的习惯做法是将任意角三角函数作为锐角三角函数的形式推广，人教A版的上一版(2004版)也是在锐角三角函数的基础上进行推广.然而，任意角的三角函数虽然与锐角三角函数有渊源，某种意义上可以把前者看成是后者的进一步发展，但它们研究的是两类不同的问题.“三角学所讨论的课题是三角形的各种各样的几何量之间的函数关系”([1],p.82)，锐角三角函数是解三角形的工具；而任意角的三角函数却不限于此，它是一个周期函数，是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”.另外，从数学发展的历史看，任意角的三角函数在18世纪之所以得到系统研究(其中很重要的是函数的三角级数展开式问题)，主要原因是三角函数具有周期性，这一特殊属性在天文学、物理学中有大量应用.三角级数“在天文学中之所以有用，显然是由于它们是周期函数，而天文现象大都是周期的”([2],182)，而这种应用又与当时数学研究的中心工作——微积分紧密结合，人们在研究行星运动的各种问题时，需要确定函数的Fourier展开式，而这种展开式(三角级数)的系数是用定积分表示的.

所以，锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的，任意角三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的.它们研究的对象不同，具有的性质也不同.我们既不能把任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广(或一般化)，又不能把锐角三角函数看成是任意角的三角函数在锐角范围内的“限定”.

为了避免在三角函数入门时给学生造成错觉，人教A版直接从现实生活中典型的周期性现象引入，指出已有的函数都无法刻画这类现象，然后将学生的思路引到圆周运动的刻画，通过分析圆上点P在圆周上运动时与哪些因素有关，逐步把问题聚焦到圆心角的大小变化与点P之间的内在联系上.

实际上，人教A版这样处理，是为了引导学生经历一个完整的数学化过程，使他们知道三角函数的背景和应用，为掌握本单元知识、思想和方法打下坚实基础.

4.2.2 任意角与弧度制

问题2如何理解角的范围的扩充？需要完成哪几件事？

学生已经比较熟悉数系扩充的过程与方法，角的范围的扩充与数系扩充是完全类似的，只是关于角的运算只有加减.扩充过程中要完成的事情主要有：

(1)背景——引进大于360°的角和负角的必要性，其要点是“角是转出来的”，射线绕端点旋转时，确定一个旋转需要旋转量和旋转方向两个要素.

(2)定义任意角概念(正角、负角和零角的意义)，定义角的相等.要注意，定义一个对象，必须明确对象的集合中怎样的两个元素是“相同的”，这是后续研究的基础.

(3)角的表示，包括符号表示，图形表示等.

(4)角的运算，就像将数轴上的点在数轴上左右运动与实数的代数和统一起来一样，我们把角的终边的顺时针、逆时针旋转与角的加法联系起来，可以定义角的加法、相反角、减法，并将加减运算统一.需要注意的是，将角α的终边绕原点旋转任意角β，无论是顺转还是逆转，终边所对应的结果都是α+β，其原因是β带有符号，符号就表示了角的旋转方向.用符号表示方向，在数学中是常用的、重要的.

顺便指出，有的老师认为角用弧度制度量，就是实数，而实数的运算早就定义了，所以这里不必要再定义角的加减.从上述讨论可以发现，这样的观点是偏颇的.

(5)象限角，让角的顶点与原点重合、始边与x轴非负半轴重合，从而使角的表示统一化、标准化、简单化，更重要的是使任意角成为刻画周而复始现象的数学工具.

这里的一个问题是，如何引导学生发现和提出“终边相同的角的表示”问题？

引入象限角表示后，出现的问题是：给定一个角，其终边唯一确定，但一条终边却可以对应无数个角.这时可以提出一个问题：两个角，其始边、终边都相同，那么它们之间一定有内在联系，有怎样的联系呢？一般地，确定同一事物两种表示之间的联系、转化，是数学的一个基本任务.

教学时，可以从上述一般性角度提出问题，再由形到数、从具体到抽象，把“角α的终边绕原点旋转整数周回到原来位置”用数量关系表示出来就得到结果.

问题3为什么要引入弧度制？如何理解弧度制？

事物数量的度量是基本问题，数学的起源就是建立数(shǔ)数(shù)的规则.度量可以使用不同的进位制.例如，物体的重量可以公制、市制、金衡制、常衡制等等，角度制是六十进制.引入弧度制的一个形式化理由是函数的定义要求定义域、值域都是实数的集合，所以必须建立起一个度量角的十进制，才能满足要求.同时，引入弧度制后，三角函数与其他函数就可以进行运算，可以极大地拓展三角函数的应用范围，这是另一个理由.实际上，引入弧度制的必要性要在后续的数学分析中才能完全体现出来.

图2

接下来自然要研究两种度量制的换算.对于学生而言，主要是能否提出“换算”这个问题.和前面终边相同的角的相互关系一样，要培养学生的一种意识：一个数学对象的两种表示，必然有内在联系.发现联系的关键是找到中间桥梁，这里自然是一个周角，即2π=360°.

4.2.3 三角函数概念的抽象

问题4抽象三角函数概念的主要环节有哪些？

对学生而言，获得研究对象必须经历从事实到概念的数学抽象，概念学习过程就是学会数学化的过程.这里就是要通过数学抽象，将匀速圆周运动归结到单位圆上点的运动规律的刻画，进而得出三角函数概念，具体应解决四个问题：(1)三角函数刻画了哪类运动变化现象，(2)决定这类运动变化现象的要素，(3)要素之间的依赖关系，(4)用什么数学模型来刻画.人教A版安排的抽象过程如下：

首先，以“不失一般性，先研究单位圆上点的运动”，明确“任务是：单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况.”然后以直角坐标系为工具，将问题转化为数学问题：

图3

如图3，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x,y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP．点P的坐标是否能由α唯一确定？

第二步，设置“探究”栏目，引导学生以函数的一般概念为指导，从特殊到一般地认识三角函数对应关系的本质特征，确认“点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数”.

第三步，引入三角函数的符号表示，给出完整的三角函数概念.

上述内容处理有如下考虑：

(1)聚焦周期性现象的数学刻画，发挥单位圆的作用，使问题本质化、简单化、明确化、具体化，排除锐角三角函数的干扰；

(2)突出现实背景到数学概念的逻辑主线，直接针对角α的终边与单位圆交点坐标P(x，y)之间的对应关系展开数学化活动，简捷地完成概念抽象过程，促使学生形成清晰的三角函数概念；

(3)体现学生思维的逻辑性，以认知心理学概念学习理论为指导，以概念形成的方式，引导学生完整经历概念的抽象过程：具体例证的属性分析——共性归纳——定义——符号表示——概念辨析——概念精致.

4.2.4 三角函数的性质

问题5三角函数性质要研究的问题是什么？应按怎样的逻辑顺序研究数学性质？

三角函数的性质有些“与众不同”，有两个不同角度.

第一个角度，从函数的一般性质入手，研究三角函数的图象与性质，探究“变化中的规律性、不变性”，单调性、奇偶性、最大(小)值等是“常规性质”，但这些“规律性”、“不变性”的表现形式又有自身特点——与周期性结合产生的变化，如最大值有无数个且呈周期性，对称轴有无数条也呈周期性等等.

第二个角度，由“正弦函数、余弦函数的基本性质乃是圆的几何性质(主要是对称性)的直接反映”所决定的性质，表现形式是各种各样的三角关系式，如此丰富的关系式是其他函数所没有的.这些关系式可以按如下层次结构展开：

(1)设P(x,y)是单位圆上任意一点，角α的终边是OP.让OP绕原点旋转k(k∈Z)周，这时的终边所对应的角为2kπ+α.因为“单位圆上任意一点在圆周上旋转整数回到原来的位置”，所以由定义可得sin(2kπ+α)=sinα等.

(2)圆的对称性与直角坐标系结合，形成单位圆关于原点、坐标轴、直线y=x等的“特殊对称性”，用三角函数进行解析表达，就是诱导公式.

这里再次强调，为了使诱导公式的教学本质化、简单化，同时让学生感受现代数学的主流思想方法(对称、变换等)，一定要注意按上述方法处理内容.化任意角三角函数求值为锐角三角函数求值、“奇变偶不变，符号看象限”之类的应该扬弃.

(3)三角恒等变换公式

前面已经讨论了三角恒等变换公式的层次性，其中两角差余弦公式是奠基的，它的本质是什么呢？我们把公式

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

(*)

中相关的元素在单位圆上标示出来，如图4.观察可见，△A1OP1是由△AOP旋转β角得到的，由旋转不变性自然有|A1P1|=|AP|，再由两点间距离公式即可得(*).所以，两角差余弦公式的本质是圆的旋转对称性的解析表示.

图4

我们知道，旋转对称性是圆的最重要特性，而三角恒等变换公式是圆的旋转对称性的解析表示，是旋转任意角的诱导公式，在研究三角函数深层次性质中具有重要地位.

总之，各种三角公式本质上是圆的基本性质的解析表示，这些公式可以用旋转变换的方法统一起来：将角α的终边

旋转整数周——(2kπ+α)公式；

旋转任意角β——(α+β)公式.

顺便提及，关于三角恒等变换的课题引入，目前大致有这样几类：①实际问题中的三角计算，例如求塔高；②“准特殊角”的求值，例如“能否利用30°，45°的三角函数值求75°的三角函数值？”；③与诱导公式建立联系，从特殊到一般推广；等等.

考虑到实际问题引入过程较长，“准特殊角”求值中的问题“sin75°=sin(30°+45°)=sin30°+sin45°成立吗？如果不成立，那么sin(30°+45°)=？”人为痕迹重，而且不容易推广为一般情形，所以都不是理想的方法.人教A版采用了如下方法：

先以“观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和(或差)的三角函数与α的三角函数的恒等关系．如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和(或差)的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？”进行宏观引导，再设置“探究”栏目

“如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正弦、余弦吗？”

引导学生自主探究.这一处理方式，与旋转变换联系紧密，从特殊到一般思路比较清晰.

4.2.5 三角函数的图象与周期性、奇偶性、单调性、最大(小)值

(1)正弦函数、余弦函数的图象与性质

这里重点说一下画图象的问题，实际上这是一个学习难点.函数图象就是由对应关系y=f(x)所确定的点P(x,f(x))的轨迹.据此，利用正弦函数的定义，先在一般意义上搞定图象上的一个点(x0，sinx0)，那么就可以通过对x0进行赋值而得出图象上的点.人教A版就是按这一思路处理的：

第一步，以“思考”栏目“在[0，2π]上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0,sinx0)? ”引导学生画出点T(x0,sinx0)(图5)：

图5

第二步，将单位圆12等分，再按上述画点T(x0,sinx0)的方法，画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(图6)：

图6

第三步，利用信息技术取更多的点，作出比较精确的图(图7)：

图7

通过以上三步，画出一个最小正周期内的图象，然后再按照周期性拓展到整个定义域内.同样，先得出y=sinx，x∈[0，2π]的性质，再利用周期性进行拓展即可得出正弦函数的性质.

(2)正切函数的性质与图象

因为课程标准已经去掉三角函数线，所以人教A版先利用正切函数的定义和单位圆给出tanx的图形表示：

图8

图9

4.2.6 同角三角函数的基本关系式

显然，这些基本关系式不难理解，主要问题是如何引导学生发现和提出同角三角函数的基本关系式？这就需要思考：同角三角函数的基本关系式与诱导公式、函数性质等的不同之处在哪里？

可以发现，这里研究的是三个函数之间的关系，而诱导公式、函数性质等研究的是三个函数各自的性质，例如公式一是“终边相同的同一三角函数值相等”.因为三个三角函数都是由“角α的终边与单位圆的交点P(x,y)”这一共同背景所决定的，并且x，y之间有确定的关系x2+y2=1，所以这三个函数之间一定有内在联系.

所以，这里的基本关系看上去不难，但蕴含的思想是深刻的：相同背景下的不同数学对象之间应该具有内在联系，发现这种联系的途径是探究这些对象的要素之间是否具有确定的关系.探究这种联系是数学研究的主要任务之一.

4.2.7 三角函数的应用

三角函数的概念、图象与性质的研究是基于单位圆这一理想化背景的，用三角函数的知识解决实际问题，首先需要“拆除”单位圆这个“脚手架”，将理想化的结果还原到现实去，这里就是要从实际问题出发，利用正弦函数建立数学模型y=Asin (ωx+φ)，研究清楚它的性质，然后用于解释实际问题.这是一个完整的建立函数模型解决实际问题的过程.

在认识参数A，ω，φ的意义时，人教A版不仅借助函数图象，从函数变换的角度入手，而且注意结合函数y=Asin (ωx+φ)的实际背景，这是与以往教材不同的处理方式.

图10

5 本单元教学的几个要点

本单元教学要注意以下几个方面.

5.1 把握内容的主要变化

(1)弧度制：强调引入弧度制的必要性，加强了用初中已学的弧长与半径的关系解释弧度制定义的合理性；

(2)三角函数的定义：直接从建立周期现象的数学模型出发，利用单位圆上点的坐标定义三角函数，然后再建立与锐角三角函数的联系；

(3)正弦线、余弦线和正切线：根据《课程标准(2017年版)》的设置，删除正弦线、余弦线和正切线；

(4)诱导公式：从单位圆关于原点、坐标轴、直线y=x等的对称性出发探究诱导公式，即通过把圆的对称性“代数化”，获得诱导公式；

(5)正弦函数的图象：体现函数图象与三角函数定义之间内在的逻辑联系——图象是函数的一种表示法，先根据定义画出任意一点，掌握了任意一点的作法原理后，通过选择具体的、足够多的点进行描点，最后借助技术描任意多的点，连续成线画三角函数的图象，这里加强了信息技术的应用；

(6)三角恒等变换：一以贯之地强调单位圆的作用，两角差的余弦公式利用圆的旋转对称性进行推导；

(7)函数y=Asin(ωx+φ)：加强现实背景，通过实际意义和图象变换相结合，研究参数A，ω，φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响；

(8)三角函数的应用：体现三角函数应用的层次性，将三角函数应用的问题大致分成三类：第一类是匀速圆周运动的问题，如筒车匀速圆周运动的问题；第二类是弹簧振子、交变电流等物理学中的周期性现象的刻画；第三类是现实生活中仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的问题，如温度随时间呈周期性变化的问题，港口海水深度随时间呈周期性变化的问题.

5.2 发挥单位圆的作用，加强数学的整体性

前面已经指出，单位圆是研究三角函数的工具，在本单元教学中，要自始至终注重发挥单位圆的“脚手架”作用，在加强整体性的同时增强教学效果，降低学习难度，提高教学质量.例如：

(1)利用单位圆直观感受1弧度的大小；

(2)借助单位圆定义三角函数；

(3)利用单位圆研究三角函数的基本性质；

(4)利用圆的对称性研究诱导公式；

(5)利用圆的旋转对称性推导和差角公式；等等.

5.3 在一般观念指导下展开研究

一般观念在本单元中的指导具体体现在如下方面：

(1)以函数的一般概念与性质为线索；

(2)类比指数函数、对数函数展开研究；

(3)注重三角函数的特殊性——周期性；

(4)加强几何直观(利用定义，把圆的对称性“翻译”为三角函数的关系式)；

(5)相同背景条件下的几个对象之间一定有内在联系，发现联系和转化方法是数学研究中的基本任务；等等.

5.4 加强三角函数的应用

三角函数的应用非常广泛，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、音乐、潮汐、波浪、四季变化、生物钟等，教学中要加强三角函数与其他学科的联系.对于函数y=Asin(ωx+φ)要给予特别关注，要注意利用真实的背景材料，让学生在实际应用中加深对周期性的认识，把握A，ω，φ的实际意义.

5.5 加强信息技术的应用

本单元教学必须借助信息技术，例如：

(1)终边相同的角的概念的认识；

(2)弧度制的认识，弧度与角度的互化，非特殊角的三角函数值的计算，sin-1x，cos-1x， tan-1x的使用；

(3)任意角的三角函数的定义；

(4)画三角函数的图象，用三角函数的图象研究三角函数的性质；

(5)画函数y=Asin(ωx+φ)的图象，探索A，ω，φ对y=Asin(ωx+φ)图象的影响；

(6)根据实际数据拟合函数图象；等等．

5.6 提高对三角恒等变换公式的认识水平

要加强从三角函数性质的角度认识三角恒等变换的思想，这些公式是圆的旋转对称性的解析表示，它们都可以借助单位圆作出几何解释.

6 结束语

本单元是必修课程函数主题的“收官”，具有综合性，可以系统应用各种方法对三角函数展开研究，在基本初等函数的研究中具有代表性.在建构本单元教材时，人教A版以“研究一个数学对象的基本套路”为指导，根据三角函数的内容特点，以圆周运动为主要背景，借助单位圆这一强有力的“脚手架”，建立三角函数的概念；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性、单调性和最大(小)值等性质；以“三角函数的性质是圆的几何性质(主要是对称性)的直接反映”为指导，利用圆的几何性质得出三角函数之间的各种恒等关系；利用三角函数刻画一般周期性现象的规律，构建数学模型解决实际问题.这样的内容处理体现了数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性和思维的系统性，实现了人教A版一以贯之的教材编写思想：构建系列化数学活动，引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学研究对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题；充分发挥“一般观念”对数学创新活动的引导作用，使学生掌握抽象数学对象、发现和提出数学问题的方法，以实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，把数学基本思想、基本活动经验落实在基础知识、基本技能的教学过程中，使数学学科核心素养真正落地.