基于学生，指向素养

郑瑄 施嘉婷

摘要：教学浙教版初中数学八年级下册第3章《数据分析初步》时，融合教材中“平均数”“中位数和众数”“方差和标准差”这三节的基本内容，整体设计并实施了新授课《数据的集中趋势和离散程度》，尝试落实基于学生、指向素养的教学理念。具体表现为：循循善诱，让学生能学;富有趣味，让学生想学;具有整体性，让学生会学;具有现实性，让学生能用。

关键词：基于学生;指向素养;集中趋势;离散程度;单元整体教学

相对于以往传统的教学，21世纪以来不断深化的课程改革，特别强调两个教学理念：一是基于学生，即以学生为主体，让学生“学得进”，能学、想学;二是指向素养，即立德树人、学科育人，让学生“带得走”，会学、能用。当然，如果进一步分析两者关系的话，那么可以说，让学生主体卷入学习是培养学生核心素养的基础。

这两个理念比较上位，做起来并不容易。教学浙教版初中数学八年级下册第3章《数据分析初步》时，融合教材中“平均数”“中位数和众数”“方差和标准差”这三节的基本内容，整体设计并实施了新授课（也是起始课）《数据的集中趋势和离散程度》，尝试落实上述两个教学理念。

一、教学过程与点评

（一）交谈暖场

师亲爱的同学们，大家好！老师的名字中有个“瑄”字，这个“瑄”是带王字旁的，那么三点水的渲是什么渲呢？

生渲染的渲。

师对的。日字旁的暄是什么暄呢？

生寒暄的暄。

师草字头的呢，知不知道？

（学生思考，没有答案。）

师是萱草的萱。火字旁的煊是形容气势特别强盛的煊赫的煊。当然，还有什么偏旁都不带的，是宣传的宣。老师这个瑄是帶王字旁的，《新华字典》中说是古时候用来祭天的六寸大璧。

[点评：教师巧用自己的名字开场，通过不断变换偏旁，拉近与学生的关系，增进与学生的互动，吸引学生的注意。在让学生明白不同偏旁的文字适用于不同的情形，感受到汉语言文字的博大精深的同时，为后续环节引入并解释不同情境下平均数的不同名称做好类比的铺垫。]

（二）复习引入

师最近，我们一直在研究数与代数、图形与几何领域的内容。今天，我们进入另一个领域——统计与概率。其实在七年级的时候，大家学过的数据的收集和整理就是统计与概率的内容。今天，老师将带领大家再次涉足这个领域。（板书“数据的集中趋势和离散程度”）老师慢慢地写了这些字，大家一定是在看这里面的两个词：集中趋势、离散程度。似乎没见过吧？这两个词正是统计学的专有名词。如果同学们对这两个词不大清楚的话，我再写一个词，你们肯定知道。（板书“平均数”）我找一个简单的问题，让大家算一算平均数。（PPT呈现表1）有一个叫小山的同学，一个礼拜下来，他的睡眠时间是这样的。观察这组数据，问题非常简单：平均数等于多少？是怎么算出来的？

生平均数是8，把它们加起来再除以全部的数。

师能不能具体点？加谁？除以什么？

生8+9+7+9+7+8+8再除以7。

师你算得那么快，是把8+9+7+9+7+8+8都算出来再除以7的吗？（问另一位学生）你觉得他是怎么算的？

生把8记为0，把7记为-1，这样算。

师把8记为0，把7记为不够的-1，这样就得到一批小数据。你们都是这样做的？有没有有点新意的？

（学生沉默。）

师在小学，老师确实说过，把所有的数加起来再除以它的个数，就能得到所谓的平均数。但是，这里老师给出的数据很简单，（同步指表1中的数）可以把这个9分1个给这个7，再把这个9分1个给这个7。这种方法，在小学叫什么？

生移多补少。

师是的，叫“移多补少”，从根本上说，就是使大小不一的数变成一样的。求平均数就是要把所有的数变成一样的。同学们，我们再看一下，（PPT呈现表2）还有一个叫小川的同学，他每天的睡眠时间老师也写在这儿了。求这组数据的平均数可以移多补少吗？

（学生有人摇头，有人点头。）

师大家的想法好像不一样哦。摇头的可以用传统的方法，把所有的数据加起来除以7。但是事实上，这个问题也可以通过移多补少解决。

（学生自行尝试。）

师同学们，刚才我们一起回忆的平均数实际上就是之前大家觉得比较陌生的“集中趋势”的一个代表。这还是比较好理解的：8这个数是小山这个礼拜的平均睡眠时间，它就是一个非常好的代表，集中表达了小山每天大概的睡眠时间。

[点评：学生对集中趋势和离散程度不熟悉，但是对平均数比较熟悉。因而，教师从平均数入手。一方面，引导学生复习平均数的求法，重点回顾移多补少的方法，因为这一方法更能增进学生对平均数作为统计量的“虚拟性”的理解，也能促使数据分析素养真正落地。同时，接下来的学习也将多次应用移多补少的方法简化计算。另一方面，利用平均数引导学生初步认识集中趋势，由不熟悉的慢慢变成熟悉的。整体上，教师切实站在学生的视角剖析学生学习该内容时的心理，通过问题链驱动学生思考、探索，循循善诱。]

（三）新知学习

1.极差的学习。

师小山、小川的平均睡眠时间都为8小时。请大家观察一下这些数据，你们能发现两个人有什么不同吗？

生小山的睡眠时间比较稳定，小川的不稳定。

师你用了一个词——稳定。你能不能具体解释一下，你根据什么说一个人稳定，另一个人不稳定的？

生小山最多睡了9个小时，最少睡了7个小时，减一下就等于2个小时。

师（问另一位学生）你算算看小川的呢？

生12-5=7。

师用数据来支撑观点，我觉得所有的同学都能接受。我们看到，最多睡眠时间和最少睡眠时间的差，一个是2个小时，另一个是7个小时;一个比较小，另一个比较大。在数学中或者说在统计学中，这个差也有一个专有名称，叫作——（同步板书）极差。极差如同平均数一样，是一个统计量，一个指标。把一组数据里最大的和最小的作差，结果大，就说明这组数据的波动大，就是那位同学说的不稳定，其实就是到平均数的距离远了，离开了、分散了。也就是说，极差在一定程度上反映了数据的离散程度。（稍停）现在，同学们对集中趋势和离散程度大致有一点了解了吧？

[点评：教师引导学生观察具体数据，赋予数学语言实际意义，并顺势抓住学生的典型发言，借用“稳定”一词让学生自行剖析得出依据，体现了数学学习严谨的逻辑思维和科学的求证态度。学生也从中得出了极差的概念（当然，得到的是含义而非名称），初步体会到离散程度的意味。整个过程，教师充分尊重学生的想法，让学生自己对数据进行分析，得出结论。]

2.算术平均数、加权平均数的学习。

师平均数这个代表很好玩哦！它是一个虚拟数：虽然可以表达一组数据的总体水平，但是往往不是这组数据中的一员。比如小川，他一个礼拜平均每天睡8个小时，但是，你有没有发现，他没有一天是睡8个小时的？所以平均数是虚拟的。（稍停）刚才我们说平均数是用总量除以份数的结果，现在我们给它取一个更学术的名字，叫作——（同步板书）算术平均数。这主要是为了和你们以后会学的几何平均数做区分。另外，初中数学和小学数学还有一点区别：很多时候会用符号、字母来表示，不再用中文和数字。比如，有一组数据记作x1、x2一直到xn，它们的算术平均数也用符号来表示：在字母x上写一横，即x，念作x拔，拔萝卜的拔。于是有——（同步板书）x=x1+x2+…+xnn。这个式子就把算术平均数一般地、普遍地、非常概括地表达出来了。（稍停）第二个问题是关于身高的：（PPT出示表3）要求的是两个同学所在小组的平均身高。当然，用算术平均数计算公式能求出来。不过，论语上说“择善而从”，有更好的算法吗？

（学生计算。）

师同学们已经算了一会儿了，打断一下。我发现，大多数同学都是“劳动模范”。为什么这么说呢？你们都在把164、165、166、167等数据相加。还没有观察这些数据，就拼命地加，我怎么能不评你们做“劳动模范”呢？（指一组同桌）这边有两个女孩子。（指其中一人）我看到她的数据特别小，我特别要称赞她。为什么她的数据会变小？是怎么变小的呢？（问另一人）你懂吗？

生同时减去160。

师她把160当成一个基准，然后每个数都减去160。还有一位同学用的是166。（问前一人）你觉得谁好一些？

生我觉得160更好一点，因为有些数是比166小的。

师小了就不好吗？

生小了就会出现负的。

师请坐。实际上，这里有好几个观点。首先，将大数据变小。那些用大数据算的，稍稍有点惭愧吧？其次，取什么基准将大数据变小。她取了160，并且觉得取160比取166好，因为取166之后会出现负的。出现负的又怎么了？出现负的到底好还是不好？（对另一位学生）你说。

生我觉得两者都一样。

师真的吗？

生差不多。

师差不多，那我要是取170呢？是随意取的吗？

生我觉得取166左右。

师你取166，那就是说，你允许出现负的。（稍停）大家都在说自己的观点，而且都在说“我认为”“我觉得”。我喜欢这样的表达，很自信！当然，我们还要用数学的理性来支撑我们的观点。我们把数据变小，是为了方便计算。接着，当然还要把这些小数据加起来，取平均值。在加的过程中，如果出现负的，会怎么样？会抵消，抵消令人高兴。（指学生）当然，你说“差不多”，也是有道理的。为什么呢？因为取160的时候，每个数据变小后的结果一眼就看出来了，而取166的时候，很容易减错。所以，真是各有千秋。这些都是细节，最重要的是她用了一个基准，把大数据变成小数据，这是一个good  idea。请允许我在这儿写一个——（同步板书）“基准法”。现在，老师仍然想请同学们用符号和式子把观点表达出来。当然，X不动。这回是不是有一组新数据啦？新数据的平均值当然不是原数据的平均值，还差一个基准，160、166之类的。这个时候，我们怎么样把它表达出来呢？

生用字母。

师对。比如，我们就用字母a。把每个数据都减去基准a，求新数据的平均值，然后再加上基准a。（稍停）另外，大家仔细看看，小川组和小山组还是有一点区别的，还可以用什么方法让计算更简便一点？

生可以用移多补少的方法。小川组有很多数据是相同的，（同步指表3中小川组的数）可以把这个171补给这个169，变成2个170，就有4个170了;然后把2个168补给2个164，变成4个166。

师那就有8个166了。这位同学有两个观点：第一，移多补少产生相同的数;第二，相同的数用乘法计算。他比老师灵活！

[点评：算术平均数虽然名字是全新的，但是本质就是小学阶段的平均数，所以，教师在教学中直接告知，不做过多停留。而后，教师通过新的问题重点引导学生掌握“减去基准，将大数据变成小数据”的方法，以及巩固移多补少的方法，帮助学生提升思维灵活性，发展计算能力。此外，在整个教学过程中，教师与学生充分互动，更不吝对学生的赞扬，极大地提升了学生的学习自信。]

师同学们，我们再来看一个名字——（同步板书）加权平均数。我先说说这个“权”字。中文说“位高权重”，英文说“VIP”，即“very important person”，非常重要的人物。我们来看一下，166在这组数据中出现了4次，而且，采用移多补少的方法的话，它要出现8次。这说明，166很了不得，在这组数据中是一个举足轻重的人物，它的权很重。我们规定：权就是一个数据出现的次数。权越大，这个数据就越厉害：对平均数的影响就越大。（稍停）同学们，这里，我还要做一个补充。比方说，数据x1出现了f1次，数据x2出现了f2次，一直到数据xn出现了fn次。现在，仍然要用代数式來表示这组数据的平均数，该怎么表示？先看最简单的分母，它应该怎么写？

生把所有的次数加起来。

师对，就是f1+f2一直加到fn。这个分母看起来简单，其实特别容易出错——变成n，对不对？那分子呢？x1f1+x2f2一直加到xnfn，不能忘了乘权，变成x1+x2一直加到xn哦！（板书“x=x1f1+x2f2+…+xnfnf1+f2+…+fn”）其实，加权平均数我们用到的地方很多。我们开过运动会了吗？

生开过了。

师哦。入场式呢？

生搞过了。

师运动会入场式是有评分的。评分通常有三个指标：服装整齐、动作规范、有创意。一般来说，把三个指标的得分加起来，就是最终得分。但我不是这样，我最看重的是创意，所以我在算总分的时候，会有一个权重的分配。打个比方，总分10分，服装2分，动作2分，还有6分给了创意。你们明白我的意思吗？

（学生点头。）

师好了。我继续编故事：今天这堂课，小山、小川非常辛苦，现在又要去竞选国际文化使者了。听、说、读、写，listening、speaking、reading、writing，都很重要。派谁去？那要看老师需要怎样的人了。我需要一个口译能力比较强的，就是speaking is very important。当然，listening is also important，所以我按照3∶5∶1∶1来计算各项能力的得分。这个比，就是我们刚才说的权。再打个比方，如果你需要一个笔译能力比较强的，你就可以对这个权做调整。

[点评：加权平均数的教学重在让学生体会“权”的含义。教师引入中英文词汇，让学生初识“权”的含义;再利用前面研究过的身高问题进一步讲解，并与学生刚刚结束的运动会挂钩，十分“接地气”;最后，一以贯之地继续利用小山、小川两位主人公编制竞选国际文化使者的故事，让学生充分理解“权”的含义。这样的教学使得原本枯燥单调的数学知识变得生动有趣，体现了基于学生的教学应当有的温度和厚度。]

3.众数和中位数的学习。

师老师先做一个调查。（随机点12名学生）你们这几位同学里，13岁的举个手。（学生举手）14岁的举个手。（学生举手）15岁的举个手。（学生举手）哇，跟老师做的这个功课差不多。（PPT出示表4）小川组现有12名同学，其中13岁1个，14岁9个，15岁2个。猜测一下：这个团队的平均年龄多大？

生14点几。

师同学们，老师今年80岁，如果加入这个团队，这个团队的平均年龄会怎样呢？

（学生哄堂大笑，觉得不可思议。）

师同学们不要笑，我只是长得有点年轻。这是一门关于生命科学的课，下次有机会再说。你们看，我这个80岁的耄耋老人加入这个团队后，这个团队的平均年龄变为19.15岁。由此，你会不会觉得这是一个青年人的团队？但实际上，这是一群少年和一个耄耋老人在一起呢。所以各位，还用平均值19.15来代表整个团队的集中趋势，是不是有失偏颇了？

（学生一齐点头。）

师同学们有没有听过，很多比赛评分的时候，会去掉两个最高分和两个最低分？这就是为了避免像我这样的极端数据造成的影响。那么，上面这一组数据，用哪个数据来表示集中趋势会好一点呢？

生14好一点。

师为什么呢？

生大部分都是14，有9个。

师很好！这其实是显而易见的。重复出现次数最多的那个，众多的那个，在数学中，我们把它称为——（同步板书）众数。大家再动动脑筋，在一组数据里还可以选哪一个做代表？

（学生思考。）

师大家可以这么看：把一组数据排队，从低到高、从小到大，在这样一排数中，选哪一个做代表能够代表这组数据的一般水平或集中趋势？

生中间那个。

师对，中间那个！大的、小的都在它两边，也可以理解为数据都以它为中心，向它集中。显然，在一定意义上，它也能够代表这组数据的集中趋势。不过，中间那个也有个问题：如果是7个数，中间刚好是一个数;如果是8个数，中间是不是有两个数？这时，该怎么办呢？

生取它们的平均值。

师很好哦！仿照上面的众数概念，大家觉得给这个数起个什么名字好呢？

生中间数。

师很好！不过，有点通俗，所以我们把中间的“间”改为位置的“位”，就是——（同步板书）中位数。中位数就是一组数据最中间的数，它也能表示数据的集中趋势。现在平均数、众数、中位数都可以表示数据的集中趋势，它们各有千秋又各有局限，大家知道吗？

（学生讨论。）

师平均数可以把每个数据都用上，但是有时受极端值影响，有失偏颇;众数也挺好的，但是如果一组数据中出现多个众数，它的意义就不大了;中位数呢，它只涉及一两个数，而没有考虑全部的数据。所以，我们要把这几个统计量结合起来考量一组数据，具体要视情况而定。

[点评：这里，教师采用引发学生认知冲突的方法，引入众数和中位数。当学生遇到不能解释的新现象时，就会打破之前低层次的认知平衡，产生认知冲突。有了认知冲突，就想化解，从而产生高层次的认知平衡。由此，就能实现认知的发展。80岁耄耋老人这样的极端数据的加入，使得平均值无法代表这一组数据的集中趋势，引发学生的认知冲突。学生自然想要寻找新的数据来表达这一组数据的集中趋势，进而在教师的引导下学习众数和中位数。其间，教师开玩笑说自己是80岁耄耋老人，使课堂氛围变得轻松愉悦，让学生快乐地学习。]

4.方差和标准差的学习。

师同学们，还记得前面说的极差吗？用它来考虑离散程度有什么局限吗？

（学生思索。）

师我们发现，极差只用到了一组数据里的最大值和最小值，有点儿像中位数和众数，没有把所有数據都用起来。怎么把所有数据都用起来呢？前面，我们计算过小山、小川的平均睡眠时间都是8小时。同学们报给我听听看：小山每一天的睡眠时间偏离平均值的数据是多少？

生0、1、-1、1、-1、0、0。

师很好，小川的呢？

生-1、1、-1、1、-3、4、-1。

师现在每个数据都开工了。接下来怎么考虑这组新数据的离散程度？可以将这些偏离平均值的数据全部加起来吗？

生加起来都是0。

师大家算得很快哦！其实，不可能不等于0的，因为它们都是减去平均值这个基准得到的数据，所以新数据的平均值一定是0，总和也一定是0。如此，是不是说它们没有偏差了呢？

生不对，明明是有偏差的，全部等于平均数才没有偏差。

师是的。尤其是小川的数据，明明离得很开，散得很远。但这是我们的直觉，怎样计算才能让这个离散程度显现出来呢？

生可以加绝对值。

师加绝对值？这是个好办法。往大、往小离散都是离散，不需要考虑正负，只需要考虑绝对值。然后，可以把它们全部加起来。当然，不要忘了除以总数。为什么？因为算一组数据的离散程度，应该算平均程度，而不是总的程度。还用代数式表达，就是——（同步板书）|x1-x|+|x2-x|+…+|xn-x|n。这回它就抵消不了了吧？（稍停）老师再问一问：除了加绝对值能够“拨乱反正”，做到偏差的真正累积，还有什么办法也能够真正累积，而不抵消？

生平方。

师平方？对的，那我觉得四次方也是可以的。

生不行。

师为什么四次方就不行？

生太大了。

师大归大，行还是行的。我也写起来——（同步板书）（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n。不过，这个方法有一个不太好的地方，就是算出的结果会很大，而且单位跟原来的不一样。所以，数学家很有意思，他们给平方以后的这个值再开个方。（在刚才的算式上加根号）同学们说得都非常好！（指板书）加绝对值的式子叫作——（同步板书）平均差，指向离散程度;（指板书）平方以后的式子叫作——（同步板书）方差，当然也指向离散程度;还有，（指板书）再开方的式叫作——（同步板书）标准差。

[点评：类似地，通过极差的局限性，引发学生寻找其他能表示离散程度的统计量的诉求。整个过程中，教师通过问题链循循善诱，引导学生自己得出平均差、方差、标准差的概念（当然，得到的是含义而非名称），同时理解作差、加绝对值、平方、开方计算的原因，即知其然更知其所以然。其中的平均差，虽然不是教材中的内容，却是学生自然而然出现的想法。正是教师时刻不忘学生的主体地位，充分发挥学生的主观能动性，才能让学生迸发出如此难能可贵的思维火花。]

（四）综合应用

师在这节课的最后，老师要讲一个非常有趣的故事。（PPT出示表5）第28届奥运会男子50 m步枪决赛，两名运动员10次射击的成绩如表所示。你们看，乙的成绩，94、104、93……漂亮得不得了，金牌唾手可得;但是最后一次，是0，其实不是0，而是10.6，但打到了别人的靶上。乙就是马修·埃蒙斯，奥运史上的悲情英雄。因为他的最后一击，我们中国的选手获得了奥运冠军。各位，平均值8.84，能代表他的水平吗？

生不能。

师可是，从离散程度来说，他是十分不稳定的，对不对？

生对！

师马修说过一段话，我非常喜欢。他说，数学学习的目标不只是分数，更重要的是对数学知识、学习方法的领悟，以及热爱数学。

[点评：利用奥运史上的真实故事，说明衡量一组数据要综合考量反映集中趋势和离散程度的多个统计量，帮助学生将整节课所学的内容有机地融会贯通，并使学生进一步感受到本节课所学的知识在实际生活中的应用。这组数据选自苏科版初中数学教材，这是基于多版本教材進行教学的一种体现。]

（五）提问结课

师最后，请同学们提三个有价值的问题。

生为什么会有这么多方法来表示集中趋势和离散程度？

生统计学直到如今是否还没有达到一个顶峰？

生今天学习了很多平均数的表示方法，平均数在统计学中的地位和价值如何？

师各位同学，今天回去的作业就是学习单上的“请你提出你的问题和困惑”。下课！

[点评：提出关于这节课的问题，既能让学生回顾整节课的学习，也能让教师了解学生这节课的学习情况，据此进行教学反思，作出教学改进。这是一堂完整的课必不可少的环节。]

二、教学总评

（一）基于学生的教学应该循循善诱，让学生能学

基于学生的教学应该是启发式教学，而非灌输式教学，即尽可能发挥学生的主观能动性，让学生自己思考、探索，解决问题、获得知识。为此，教师需要多提问、少讲授。基于学生的教学还应该基于学生的已有知识和经验，寻找学生的“最近发展区”，循序渐进地让学生解决新问题、获得新知识，而非揠苗助长地让学生解决无法解决的问题、理解无法理解的知识。为此，教师需要设计环环相扣、层层递进的问题链，并且根据学生的反馈生成适当的追问，驱动学生不断思考、探索。

本节课中，教师基于学生已有的平均数知识，先设计简单的问题情境，帮助学生复习平均数的两种求法，理解平均数反映的是数据的集中趋势;再设计对比的问题情境，帮助学生发现极差的内涵与意义;接着，设计数据变大及特征变化的问题情境，引导学习求平均数的基准法和加权平均数的含义;然后，设计数据特征再变化的问题情境，引导学生发现平均数反映数据集中趋势的局限性，进而发现众数和中位数的内涵与意义;而后，让学生类比思考极差反映数据离散程度的局限性，发现平均差、方差、标准差的内涵与意义;最后，设计真实的故事情境，让学生综合运用本节课所学的知识，充分体会其实际意义。这样的主问题设计环环相扣、层层递进，引导学生逐步获得新知。同时，在每一个主问题（环节）的教学中，不断根据学生的反馈生成适当的追问，与学生充分地互动，从而真正做到循循善诱，以自然发生的方式促使学生获得新知。

（二）基于学生的教学应该富有趣味，让学生想学

虽然提问互动的教学能够使课堂气氛轻松而融洽，让学生想学，但是基于学生的教学还应该更加富有趣味，让学生更想学。抽象严谨的数学知识常让学生感到枯燥乏味——其中蕴含的理智之趣并不是那么容易让学生体会到的。但是，教师依然可以设法让数学课堂富有趣味。一靠生动活泼的语言，二靠跨越学科、贴近生活的联系。当然，这需要教师深厚的文化功底作为支撑。

本节课中，教师的语言生动活泼，非常贴近学生：在口语化、通俗化的中文词句中偶尔蹦出一些简单易懂的英文词句甚至古文词句，显得俏皮可爱，具有提神醒脑作用;善用比喻、拟人、夸张等修辞手法，如说学生是劳动模范，说某个数据位高权重，说自己80岁了。另一方面，教师善于举出跨越学科、贴近生活的事例作出解释，如开场“瑄”字的偏旁变化为后续平均数的名称变化埋下了伏笔，编小山、小川的故事，用埃蒙斯的故事。由此，很好地提升了课堂的趣味性，活跃了课堂的氛围，激发了学生的积极性。

（三）指向素养的教学应该具有整体性，让学生会学

认知心理学告诉我们，影响学习迁移的重要认知结构变量有概括程度和清晰程度等。指向素养的教学是少而精的教学，具有整体性，应该用高观点、大概念，即比较上位的观念引领众多下位内容的学习，并且注意辨析下位内容之间的联系与区别，从而使学生建立良好的认知结构，能够迁移，学会学习。同时，特别要注意帮助学生理解知识内容背后的道理（为什么？怎么来的？），因为这些道理往往指向更上位的观念。

本节课的内容便整合了教材一章（三节）的知识。这些知识不难，但是琐碎。一个一个地教给学生，学生也能接受，但是很难有深刻的理解，因而容易忘记、容易混淆。教师用上位的集中趋势和离散程度概念统领下位的平均数、算术平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、平均差、方差、标准差等概念。同时，用真实的数据分析问题激发需求，引导学生自然地生成这些概念。在这个过程中，学生理解了这些概念产生的原因，明晰了各个概念所起的作用。更为重要的是，学生认识到是不同情况下数据分析的需要（比如，只看集中趋势不够，还要考虑离散程度;利用平均数反映集中趋势有时不合理等）导致这些概念的产生，因而，能够建立数据分析这一更上位的观念（也是数学学科核心素养之一）——同时，也建立了数学运算、数学建模等上位的观念。上完这节课，学生无须记忆也不会搞混各个概念，因为他们理解了数据分析根本上的道理。实际上，学生同样无须记忆也不会搞混求平均数的几种方法，因为他们理解了简化计算根本上的道理。

此外，很多上位观念是跨学科的。比如，很多词语的意思在语文和数学中是相通的，很多道理在生活和数学中是相通的（如变中不变的观念）。本节课中，教师打通學科的教学、跨越领域的类比，更好地指向了学生素养的培养。

（四）指向素养的教学应该具有现实性，让学生能用

数学来源于生活，又服务于生活。脱离生活后形式化的数学具有高度抽象的特点（尤其是代数与统计分支），因而也（才）具有广泛的应用性。史宁中教授强调，数学素养要体现在“三会”（会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界）中。因此，指向素养的教学还应该具有现实性，充分引导学生解决生活问题，分析实际案例，认识数学的应用价值，提升数学应用能力。

本节课中，教师选择了睡眠时间、身高、年龄、运动会、文化使者、奥运比赛等源于生活、真实有趣的问题与案例，带领学生运用数学方法分析数据，作出推断，让学生深刻地感受到“数据会说话”“数学有用处”，充分培养学生的数据分析素养以及数学运算素养和数学建模素养，同时发展学生的数感。

参考文献：

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[4] 李祎，陈柳娟.教学不是一种“告诉”行为[J].教育研究与评论，2021（1）.

[5] 唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的内涵与特征[J].教育研究与评论（中学教育教学），2021（1）.

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