初中数学教材无理数概念编排断想

摘要：分析历史可以发现，无理数本质上是不能用整数之比来表示的数，它是相对于有理数提出来的客观存在的数概念。由此，可以提出对教材中无理数概念编排的总体设想：把有理数和无理数分别称为“可比数”和“不可比数”，以突出本质;把有理数和无理数一起放在数轴之前教学，以强调关联。具体而言，教材的编排要突出三部分内容：给出可比数的概念;在实验操作的基础上展开数学思考，引进不可比数的概念;在数轴上画出表示不可比数的点。

关键词：初中数学教材;数学史;无理数;数轴

有理数和无理数是初中数学“数与代数”领域的重要概念。根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的“課程内容”要求，当下的初中数学教材基本上都把有理数概念与数轴、相反数、绝对值、有理数的运算等内容安排在《有理数》一章，把无理数概念与平方根、立方根等内容安排在《实数》一章。从时段上看，《有理数》一章通常安排在七年级上册，《实数》一章通常安排在七年级下册（如人教版教材）或八年级上册（如苏科版教材）。

只在有理数概念的基础上教学数轴概念，导致教师不能理直气壮地说“数轴是一条……的直线”，因为数轴上存在着大量的不能用有理数表示的“孔隙”点，只用有理数表征数轴是不完备、不连续、不严密的。此外，教材通常延续20世纪50年代以来的传统，将整数和分数统称为有理数，指出有理数都可以写成有限小数或无限循环小数，反之亦然;而有些数是无限不循环小数，从而将无理数定义为无限不循环小数。

笔者认为，这样的编排方式虽然在一定程度上考虑了学生的学习基础和认知水平（比如，学生理解2是无理数的证明有些困难），但是不能很好地彰显科学性原则，没有体现出课程内容的数学实质和逻辑关系。

目前，新的义务教育数学课程标准即将颁布，相关教材的修订工作也将随之展开。在此背景下，追溯无理数概念的诞生史，谈一谈无理数概念的编排问题很有必要。

一、无理数概念的诞生史

人类对数的认识是一个不断深化、发展的过程，无理数的引入在数学上具有特别重要的意义。

公元前500年左右，古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras）创立了一个学派。这个学派的基本观点是“万物皆数”。在他们看来，数只有正整数，“一切量都可以用整数或者整数的比来表示”。这个观点在当时被视为绝对真理。

据说，毕达哥拉斯的学生希帕索斯（Hippasus）第一个发现了正方形的边和对角线长度之比不能用整数之比来表示。这就是说，生活中“实实在在”地存在着不能用整数之比表示的数，即2。这个发现简直“大逆不道”，直接挑战“万物皆数”的观点，使毕达哥拉斯学派的很多人大为惶恐和恼怒。于是，他们便把希帕索斯抛入海中淹死了。

发现了现实中确实存在2后，如何证明2不能用整数之比来表示，即不是有理数呢？基本的思路就是反证法：先假设2是有理数，再从这个假设出发，推出矛盾，说明假设错了，即2不是有理数。这个证明方法曾经出现在古希腊几何学家欧几里得（Euclid，公元前300年左右）所写的《几何原本》一书中。这说明，早在两千多年前，人们已经知道2不是有理数，并且能用反证法证明。

证明了2不是有理数后，就可以利用2造出无穷多个不是有理数的数，如1+2、2+2、3+2、4+2……

中国古代数学家很早就接触到了无理数的问题，但是，没有深入研究这种数的性质，而是致力于探究如何求它的近似值。魏晋时期的数学家刘徽（约225—约295）基于完全平方公式，用a2+r≈a+r2a和a2+r≈a+r2a+1两种方法求不尽根。这体现了中国数学文化和西方数学文化不同的价值取向。

意大利数学家邦贝利（Rafael Bombelli，1526—1572）首先用连分数表示2（如图1所示）。这种表示体现了无理数的极限本质，能让学生体验到数学的结构之美、奇异之美，从而对数学产生浓厚的兴趣。

2=1+12+12+12+12+…

发现了2不是有理数后，又经过两千多年的数学实践，经过大量数学家反复的探索与争论，直到16世纪，无理数才开始被人们逐渐接受和使用。最早接受无理数的是英国代数学者哈里奥特（Thomas Harriot，1560—1621）。他认为，能参与运算就是数，不管它是否能用十进小数确定下来。

直到18世纪，人们也没有完全认清无理数的性质，无法抽象出一个合理的无理数表述方式。无理数逻辑结构真正解决是在19世纪。1886年，德国数学家施图尔兹（Qtto Stolz，1842—1905）得出，“每一个无理数均可表示成不循环小数”的结论。

二、对教材中无理数概念编排的总体设想

分析历史可以发现，无理数本质上是不能用整数之比来表示的数（无限不循环小数只是其表象），它是相对于有理数（能用整数之比来表示的数）提出来的客观存在的数概念。由此，可以提出对教材中无理数概念编排的总体设想。

（一）突出本质：把有理数和无理数分别称为“可比数”和“不可比数”

从概念本质上看，“有理数”和“无理数”这样的名称是不恰当的。而这样的不恰当，是翻译的错误造成的。

“有理数”和“无理数”的英文分别是rational number和irrational number。irrational是rational的反义词。rational一词原本有两个含义：一是“比”，二是“合理”。按照概念内涵，这里应该取第一个含义。也就是说，rational number和irrational number应该分别翻译为“可比数”和“不可比数”。但是，19世纪，日本学者翻译西方数学书时，把这两个词分别翻译成了“有理数”和“无理数”。后来，中国又从日本引进了“有理数”和“无理数”这样的名称，并一直使用到现在。

因此，笔者认为，编写教材时，我们不能“将错就错”，而应回到英文原意，将有理数和无理数分别称为“可比数”和“不可比数”（同时利用是否“可比”定义有理数和无理数），从而突出这两个概念的本质，帮助学生澄清一些模糊的认识（如227究竟是有理数还是无理数）。

（二）强调关联：把有理数和无理数一起放在数轴之前教学

因为无理数是相对于有理数提出来的数概念，所以无理数应该与有理数放在一起（如一节课中），紧跟在有理数之后教学（注意：这里只出现无理数概念，不出现实数概念;只突出不可比的特征，不引入平方根概念），从而强调知识的关联（自然生长）。而且，这样的话，无理数教学就会被安排在数轴教学之前，从而使数轴教学有充分的逻辑基础，有助于学生理解数轴是一条完整无“瑕”的直线。

这里值得一提的是，把无理数教学安排在数轴教学之前，也尊重了数学史。从上述“无理数概念的诞生史”可以看出，无理数约产生于公元前500年左右。而数轴则是由法国数学家笛卡儿（René Descartes，1596—1650）在创立解析几何学时发明的，本质上是一维解析几何的坐标系。可见，无理数的发现远早于数轴的发明。也就是说，在数轴发明时，人类对数的认识已经扩充到实数了。或者说，在数轴产生时，其上已经不存在“空隙”点了。

三、对教材中无理数概念编排的具体建议

把可比数和不可比数一起放在数轴之前教学，教材的编排要突出以下三部分内容：

（一）给出可比数的概念

可比数概念是不可比数概念的基础。学生在小学学习过整数和分数，由此很容易得到可比数的概念。

教材可以列举几个整数和分数，把整数写成分母是1的分数，然后直接给出可比数的定义：能够写成分数形式mn（m、n是整數，n≠0）的数。

通过分数与小数的互化，让学生认识到：可比数都可以写成有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也都是可比数。

（二）引进不可比数的概念

不可比数是教学的重点和难点，这部分内容需要引导学生经历“实验操作→得到新数（扩充数系的必要性）→探索新数特点（扩充数系的合理性）→给出不可比数定义→扩大数学知识结构”的过程。

学生凭借以往经验，往往会觉得不存在“不可比”的数。为了让学生意识到不可比数是确实存在的，教材可以引导学生在实验操作的基础上展开数学思考：

【实验操作】

剪两个边长为1的小正方形硬纸片，并把两个小正方形硬纸片沿对折线剪开（如图2）;把得到的四个三角形硬纸片拼成一个大的正方形（如图3）。

【数学思考】

1.大正方形的面积是多少？

2.如果设大正方形的边长为a，则关于a有什么数量关系？

3.a是整数吗？它会在哪两个整数之间？

4.a是有限小数吗？它会在哪两个有限小数之间？

5.a是无限循环小数吗？

6.a是分数吗？

7.a可能是一个怎样的数？

在实验操作的基础上，问题1和问题2引导学生发现a2=2，a是确实存在的数。问题3和问题4可以引导学生用夹逼的方法不断地求a的近似值，却得不到a的准确值，从而感觉到a是无限小数。问题5引导学生关注循环特征，感觉到a是无限不循环小数。问题6引导学生关注本质，思考a是不是分数（可比数）。对此，既可以让学生从之前探索得到的表象（无限不循环小数）出发，感觉到a不是分数;也可以引导学生从本质出发，用反证法证明a不是分数。问题7追问a到底是什么数，使得不可比数的概念“呼之欲出”。

教师可以抓住这个时机给出不可比数的定义：不能写成mn（m、n是整数，n≠0）形式的数。同时，通过上述分数与小数的关系，让学生认识到：不可比数都可以写成无限不循环小数，反之，无限不循环小数也都是不可比数。

（三）在数轴上画出表示不可比数的点

在学生学习了数轴概念，并且能在数轴上画出表示可比数的点后，提出以下探索问题：如何在数轴上画出表示不可比数的点？对此，可以引导学生把图2中正方形的对角线放到数轴上（如图4），得到画图方法：过点1作垂直于数轴且长为1的线段，连接原点和所作线段的另一端点，以原点为圆心，上述连线的长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，该点（A点）表示的数就是一个不可比数（2）。

然后，可以引导学生将该点向左（右）移动任意（整数）个长度单位，得到更多表示不可比数的点——这时，其实不难引导学生用反证法证明这些点表示的数是不可比数。由此，学生能意识到数轴上存在大量表示不可比数的点。而且，基于可比数和不可比数这样的二分法分类，学生能感悟到可比数和不可比数充满了整个数轴，从而能更好地认识数轴。

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