揭示本质深化运用

张带辉

摘  要：根的判别式在解决一元二次方程根的情形方面有着广泛的应用，但判别式在其他方面的应用威力就连许多初中数学老师都感到很惊讶，究其原因是我们不知道判别式的真实面目，没有真正认识清楚判别式的本质，也没有真正理解判别式与一元二次方程的内在联系.本文将通过自己对判别式的认识，，揭示判别式的本质，理解判别式运用的威力.

关键词：判别式的本质;认识;联系;运用

为了揭示判别式的本质，看清楚判别式的真实面目，理解判别式与一元二次方程的内在联系，现将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）……①作如下的配方：

项移，得ax2+bx=-c

方程两边都乘以4a，得4a2x2+4abx=-4ac

方程两边都加上b2，得（2ax）2+2·（2ax）·b+b2=b2-4ac

配方，得（2ax+b）2=b2-4ac

即b2-4ac=（2ax+b）2……②

对判别式的认识我们不能仅仅只看到Δ=b2-4ac，也不能孤立的只看到②式，既要由①式往②a式去看，也要由②式往①式去想，这样才能真正理解判别式的本质，因此本人对判别式的认识有下列五点看法。

第一，从①式到②式的演变过程来看，判别式是配方的结果，因此能用判别式法解决的问题也能用配方法解决。

例1.若x、y为实数，且满足x2+5y2+4xy-2y+1=0，求x、y的值.

解法1：（用判别式法）∵x、y为实数

∴关于x的一元二次方程x2+4yx+（5y2-2y+1）=0有实数解

即Δ=（4y）2-4（5y2-2y+1）=-4y2+8y-4=-4（y-1）2≥0

∴（y-1）2≤0

又∵（y-1）2≥0，∴y-1=0，得y=1，从而得到x=-2.

解法2：（用配方法）∵x2+5y2+4xy-2y+1=0

∴（x2+4xy+4y2）+（y2-2y+1）=0，即（x+2y）2+（y-1）2=0

得到    x+2y=0                        x=-2

y-1=0      ，解得：    y=1

第二，由②式往①式的联系来看，知道形如b2-4ac≥0或≤0的问题，可以转化为一元二次方程来解决。

例2.已知实数a、b、c满足   （b-c）2=（a-b）（c-a），求

的值.

分析：本題看似与判别式无关，但由已知可转化得（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0，联想到Δ=0，这样便可以用一元二次方程来解决。

解：当a=b时，可得b=c=a.故         = 2.

当a≠b时，设关于x的一元二次方程为（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0∵（b-c）2-4（a-b）（c-a）=0，即Δ=0

∴方程（a-b）x2+（b-c）x+（c-a）=0有两个相等的实数根。又∵（a-b）+（b-c）+（c-a）=0∴方程的两根都为1

由根与系数的关系，得            =1，得到b+c=2a，故          = 2.

∴          的值为2.

第三，从②式的结构特征来看，当x为实数时，（2ax+b）2≥0，即b2-4ac≥0。

也就是说①式中，x为实数↔b2-4ac≥0.利用它能解决一元二次方程待定系数的取值范围。

例3.求代数式                    的取值范围.

分析：通过换元将等式转化为一元二次方程，再利用Δ≥0来确定范围.

解：设y=                   ，则（2y-1）x2+2（y+1）x+（y+3）=0.

当y≠     时，∵x为实数，∴Δ=4（y+1）2-4（2y-1）（y+3）≥0

即y2+3y-4≤0.∴（y+4）（y-1）≤0.∴-4≤y≤1

当2y-1=0时，即y=     ，方程有解.

∴-4≤                 ≤1.

第四，从②式的整体来看，一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况等价于方程（2ax+b）2=b2-4ac的解的情况。容易得到：1.当b2-4ac≥0时，一元二次方程有实数根;2.当b2-4ac>0时，该方程有两个不相等的实数根，此时x=                      ;3.当b2-4ac=0时，该方程有两个相等的实数根，此时x1=x2=-       ;4.当b2-4ac<0时，该方程没有实数根。

第五，从①式的左边来看，若二次三项式ax2+bx+c是一个完全平方式，那么②式的右边就等于0，即b2-4ac=0。

例4.已知二次三项式4x2+（m-1）x+9是完全平方式，求m的值.

解：∵4x2+（m-1）x+9是完全平方式

∴（m-1）2-4×4×9=0.即（m-1）2=144，

解得m1=13，m2=-11.

例5.已知2x2-xy-y2+2my-8能分解成两个一次因式的积，求m的值并进行因式分解。

解：设2x2-xy-y2+2my-8=0，则关于x的二次方程为2x2-yx+（-y2+2my-8）=0.

∵多项式能分解成两个一次因式的积

∴判别式Δ是完全平方式

即（-y）2-8（-y2+2my-8）=（3y）2-2m·y·8+82是完全平方式，∴m=±3.

（1）当m=3时，由方程2x2-xy-y2+6y-8=0解得x=y-2或x=-     y+2.

∴原式=（x-y+2）（2x+y-4）.

（2）当m=-3时，由方程2x2-xy-y2-6y-8=0解得x=y+2或x=-     y-2.

∴原式=（x-y-2）（2x+y+4）.

参考文献：

[1]王家成，李锐.判别式活用掠影[J].中学数学教学参考（中旬·初中），2009，5.

（作者单位：惠州市博罗县龙溪第二中学，广东   惠州   516121）